1、2.5.2圆与圆的位置关系 第二章 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 学 习 目 标 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太 阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食. 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关 系是怎样的？ 导 语 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了 直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研 究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究 圆与圆的位置关系. 随堂演练课时对点练 一、两圆位置关系的判断 二、相交
2、弦及圆系方程问题 三、圆与圆的综合性问题 内容索引 一、两圆位置关系的判断 1.代数法：设两圆的一般方程为 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数2组1组0组 两圆的公共点个数 个 个 个 两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含 210 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位 置关系如下： 位置关系外离外切相交内切内含 图示 d与r1，r2 的关系 d r1r2d r1r2 |r1r2| d0)，圆C2：x2y24ax 2y4a20(a0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切； 解圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(
3、xa)2(y1)216， C2：(x2a)2(y1)21， 圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r14，r21. 当|C1C2|r1r25，即a5时，两圆外切； 当|C1C2|r1r23，即a3时，两圆内切. (2)相交； (3)外离； (4)内含. 解当3|C1C2|5，即3a5，即a5时，两圆外离. 解当|C1C2|3，即0a4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条. 二、相交弦及圆系方程问题 例2已知圆C1：x2y26x40和圆C2：x2y26y280. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 解设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ，得xy40. A，B两点
4、的坐标都满足此方程， xy40即为两圆公共弦所在直线的方程. (2)求经过两圆交点且圆心在直线xy40上的圆的方程. 得两圆的交点A(1,3)，B(6，2). 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线xy40上，故ba4. 即x2y2x7y320. 方法二设所求圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0(1)， 解得7. 故所求圆的方程为x2y2x7y320. 反思感悟(1)若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2x E2yF20相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1D2)x(E1 E2)yF1F20. (2)公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用
5、两点间的距离公 式求出弦长. 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦 心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. (3)已知圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF2 0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2y2D1xE1yF1(x2 y2D2xE2yF2)0(1). 跟踪训练2圆心在直线xy40上，且经过圆x2y24x60与圆 x2y24y60的交点的圆的方程为_ _. (x3)2(y1)216(或x2y26x 2y60) 所以圆x2y24x60与圆x2y24y60的交点分别为A(1，1)， B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y
6、1(x1). 所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216. 方法二同方法一求得A(1，1)，B(3,3)， 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216. 方法三设所求圆的方程为x2y24x6(x2y24y6)0，其中 1， 所以所求圆的方程为x2y26x2y60. 三、圆与圆的综合性问题 解设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 由题知所求圆与圆x2y22x0外切， 延伸探究将本例变为“求与圆x2y22x0外切，圆心在x轴上，且过 点(3， )的圆的方程”，如何求？ 解因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r， 则所求
7、圆的方程为(xa)2y2r2， 所以圆的方程为(x4)2y24. 反思感悟通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用 方程思想，解决求圆的方程问题. 跟踪训练3圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心为O2(2,1). (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； 解因为圆O1的方程为x2(y1)24， 所以圆心坐标为O1(0，1)，半径为2. 又因为圆O2的圆心O2(2,1)， 此时，圆O2的方程为(x2)2(y1)24. 此时，圆O2的方程为(x2)2(y1)220. 综上，圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220. 1.知识清单： (1)两圆的位置关系.
8、 (2)两圆的公共弦. (3)圆系方程. (4)圆与圆的综合性问题. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：将两圆内切和外切相混. 课堂小结 随堂演练 1.圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是 A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 1234 解析把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x1)2y21，圆 O2：x2(y2)24， 2.(多选)圆C1：(x2)2(ym)29与圆C2：(xm)2(y1)24外切， 则m的值为 A.2 B.5 C.2 D.5 1234 解析圆C1：(x2)2(ym)29的圆心为(2，m)，半径为3， 圆C2：(xm)2(y1)
9、24的圆心为(m，1)，半径为2. 即m23m100， 解得m2或m5. 3.已知以C(4，3)为圆心的圆与圆O：x2y21相切，则圆C的方程是 _. 1234 (x4)2(y3)216或(x4)2(y3)236 解析设圆C的半径为r， 当圆C与圆O外切时，r15，解得r4； 当圆C与圆O内切时，r15，解得r6， 则圆C的方程为(x4)2(y3)216 或(x4)2(y3)236. 解析将两圆的方程相减， 1 1234 所以a1. 课时对点练 1.圆C1：x2y24x8y50与圆C2：x2y24x4y10的位置关 系为 A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 解析由已知，得C1(2，4)，r
10、15，C2(2，2)，r23， 则d|C1C2|2， 所以d|r1r2|， 所以两圆内切. 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.圆x2y22x50与圆x2y22x4y40的交点为A，B，则线段 AB的垂直平分线的方程是 A.xy10 B.2xy10 C.x2y10 D.xy10 解析圆x2y22x50的圆心为M(1,0)，圆x2y22x4y40的 圆心为N(1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.圆(x4)2y29和圆x2(y3)24的公切线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.
11、4条 解析圆(x4)2y29的圆心为(4,0)，半径为3， 圆x2(y3)24的圆心为(0,3)，半径为2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知圆C：x2y22xm0与圆(x3)2(y3)236内切，则实数m 的值为 A.0 B.120 C.0或120 D.5 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.圆C1：(x1)2y24与圆C2：(x1)2(y3)29的相交弦所在的直线 为l，则直线l被圆O：x2y24截得的弦长为 解析 由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x3y20. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.
12、(多选)下列圆中与圆C：x2y22x4y10相切的是 A.(x2)2(y2)29 B.(x2)2(y2)29 C.(x2)2(y2)225 D.(x2)2(y2)249 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由圆C：x2y22x4y10，可知圆心C的坐标为(1,2)，半径r2. A项，圆心C1(2，2)，半径r13. 12345678910 11 12 13 14 15 16 两圆相交； B项，圆心C2(2，2)，半径r23， |C2C|5rr2，两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2,2)，半径r35， |C3C|3r3r，两圆内切； D项，圆心C4(2，2)，半
13、径r47， |C4C|5r4r，两圆内切. 7.已知圆C1：x2y24ax4a240和圆C2：x2y22byb210只 有一条公切线，则实数a，b的关系是_. 4a2b21 解析圆C1：x2y24ax4a240，化为标准方程为(x2a)2y24， 圆心坐标为(2a，0)，半径长为2. 圆C2：x2y22byb210，化为标准方程为x2(yb)21. 圆心坐标为(0，b)，半径长为1. 由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切， 12345678910 11 12 13 14 15 16 整理得4a2b21. 8.经过直线xy10与圆x2y22的交点，且过点(1,2)的圆的方程为 _. 12345
14、678910 11 12 13 14 15 16 9.已知两圆C1：x2y24，C2：(x1)2(y2)2r2(r0)，直线l：x2y 0. (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值； 解由圆C1：x2y24，知圆心C1(0,0)，半径r12， 又由圆C2：(x1)2(y2)2r2(r0)， 可得x2y22x4y5r20，两式相减可得公共弦所在的直线方程为 2x4y9r20. 因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)， 即r29(r0)，解得r3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)当r1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和
15、直线l相切的圆的方程. 解设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x1)2(y2)21(x2y24) 0(1)，即(1)x2(1)y22x4y4(1)0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 故所求圆的方程为x2y2x2y0. 10.已知圆C：x2y26x8y210. (1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解圆C：x2y26x8y210化为标准方程为(x3)2(y4)24， 所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2. 若直线l1的斜率不存在，即直线为x1，符合题意. 若直线l1的斜率存在，设直线
16、l1的方程为y1k(x1). 即kxyk10.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 综上，所求l1的方程为x1和5x12y70. (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：xy20上，且与圆C外切，求圆 D的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解依题意，设D(a，a2). 又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|5， 解得a1或a6. D(1,1)或D(6,8)， 所求圆D的方程为(x1)2(y1)29或(x6)2(y8)29. 11. 设两圆C1，C2都和两
17、坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离 |C1C2|为 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 解析两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， 两圆圆心均在第一象限且都在直线yx上. 设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4a)2(1a)2a2，(4b)2(1b)2b2， 即a，b为方程(4x)2(1x)2x2的两个根， 整理得x210 x170，ab10，ab17. (ab)2(ab)24ab10041732， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.(多选)圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y22x4y0的交
18、点为A，B， 则有 A.公共弦AB所在直线的方程为xy0 B.线段AB中垂线的方程为xy10 C.公共弦AB的长为 D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A，由圆O1：x2y22x0与圆O2：x2y22x4y0的交点 为A，B， 两式作差可得4x4y0，即公共弦AB所在直线方程为xy0，故A正确； 对于B，圆O1：x2y22x0的圆心为(1,0)，又kAB1，则线段AB中垂线 的斜率为1，即线段AB中垂线的方程为y01(x1)，整理可得x y10，故B正确； 12345678910 11 12 13 14 15
19、 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题知，直线AB为2xy8a0， 当PAB90或PBA90时， 设C1到AB的距离为d，因为ABP为等腰直角三角形， 13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1 : x2 y28与圆C2 : x2y22x ya0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得ABP为等腰直角三角 形，则实数a的值组成的集合为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 当APB90时，AB经过圆心C1，则8a0，即a8. 14.过两圆x2y22y40与x2y24x2y0的交点，且圆心在直线l： 2x4y10上的圆的方程是_.
20、 解析设圆的方程为x2y24x2y(x2y22y4)0(1)， 则(1)x24x(1)y2(22)y40， 12345678910 11 12 13 14 15 16 x2y23xy10 所以所求圆的方程为x2y23xy10. 15.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x22axy22ay2a210上存在点 P到点(0,1)的距离为2，则实数a的取值范围是_. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为圆C：x22axy22ay2a210， 所以(xa)2(ya)21，其圆心C(a，a)，半径r1. 因为点P到点(0,1)的距离为2， 所以P点的轨迹为x2(y1)24. 因为P又在(xa)2(ya)21上， 所以圆C与圆x2(y1)24有交点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)判断圆M与圆N的位置关系； 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以圆M的半径 12345678910 11 12 13 14 15 16 故圆M与圆N相离. 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明设P(x0，y0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
