1、第1课时距离问题 第一章 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互 平行的平面间的距离问题. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的 作用. 学 习 目 标 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处，修建一个 蔬菜存储库.如何在公路上选择一个点，修一条公路到达A点，要想使 这个路线长度理论上最短，应该如何设计？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、点到直线的距离 二、点到平面的距离与直线到平面的距离 内容索引 一、点到直线的距离 问题1如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直 线l上的定点，P是直线l外
2、一点.如何利用这些条件求 点P到直线l的距离？ 知识梳理 问题2类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 提示在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两 条平行直线之间的距离. 例1在长方体OABCO1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，求O1到 直线AC的距离. 解方法一建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0,0,2)， C(0,3,0)，过O1作O1DAC于点D，设D(x，y，0)， 方法二连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)， 反思感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤
3、 (1)求直线的方向向量. (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投 影向量的长度. (3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距 离之间的转化. 跟踪训练1如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，若 已知AB3，AD4，PA1，求点P到BD的距离. 解如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)， 二、点到平面的距离与直线到平面的距离 问题3已知平面的法向量为n，A是平面内的定 点，P是平面外一点.如何求平面外一点P到平面 的距离？ 提示过点P作平面
4、的垂线l，交平面于点Q， PQ . 知识梳理 注意点：注意点： (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面的距离就是 在直线l上的 投影向量 的长度. (2)如果一条直线l与一个平面平行，可在直线l上任取一点P，将线面距 离转化为点P到平面的距离求解. (3)如果两个平面，互相平行，在其中一个平面内任取一点P，可将两 个平行平面的距离转化为点P到平面的距离求解. 例2如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1， E，F分别为AB，BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离； 解建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)， 设
5、DH平面PEF，垂足为H，则 (2)求直线AC到平面PEF的距离. 解由题意得，ACEF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF 的距离， 平面PEF的一个法向量为n(2,2,3)， 反思感悟用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系. (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标. (3)求向量：求出相关向量的坐标( 内两不共线向量，平面的法向 量n). 跟踪训练2如图所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的 正四棱柱.若点C到平面AB1D1的距离为 求正四棱柱ABCDA1B1C1D1 的高. 解设正四棱柱的高为h(h0)，建立如图所示的空间直角 坐标
6、系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1，1，h)， 设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)， 取z1，得n(h，h，1)， 解得h2. 故正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为2. 1.知识清单： (1)点到直线的距离. (2)点到平面的距离与直线到平面的距离. 2.方法归纳：数形结合、转化法. 3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导 过程的理解是应用的基础. 课堂小结 随堂演练 解析A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)， 点A到直线BC的距离为 1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到
7、直线BC的距离为 1234 2.若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PAPBPC1，则 点P到平面ABC的距离是 1234 解析分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1). 可以求得平面ABC的一个法向量为n(1,1,1)， 3.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之 间的距离为 1234 1234 解析建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)， 设平面A1C1D的一个法向量为m(x，y，1)， 故
8、m(1,1,1)， 显然平面AB1C平面A1C1D， 4.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n(1,0，1)所在直线与l垂直，则点 P(4,3,2)到l的距离为_. 1234 课时对点练 1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBCa，AA12a，则点D1到直线 AC的距离为 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析方法一连接BD，AC交于点O(图略)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 方法二如图建立空间直角坐标系，易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)， 2.两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平
9、面的一个法 向量n(1,0,1)，则两平面间的距离是 解析两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知三棱锥OABC中，OAOB，OBOC，OCOA，且OA1， OB2，OC2，则点A到直线BC的距离为 解析以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A5，AB12，则直线B1C1 到平面A1BCD1的距离是 12345678910 11
10、 12 13 14 15 16 解析以D为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,12,0)，D1(0,0,5). 设B(x，12,0)，B1(x，12,5)(x0). 设平面A1BCD1的法向量为n(a，b，c)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为B1C1平面A1BCD1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB， BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于 12345678910 11 12 13 14 15 1
11、6 则B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，E(2,1，2)，F(1,2,2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面B1EF的法向量为n(x，y，z)， 令z1，得n(2,2,1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心， 则O到平面ABC1D1的距离为 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.RtABC的两条直角边BC3，AC4，PC平面ABC，PC 则点P 到斜边AB的距离是_. 3 解析以C为坐标原点，CA，CB，CP为x轴，
12、y轴，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系. 则A(4,0,0)，B(0,3,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的三 棱锥称为鳖臑(bie nao)，如图.已知在鳖臑PABC中，PA平面ABC，PA ABBC2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角 坐标系， 如图，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，C(0,2,0)，由M为PC的中点可得 M(1,1,
13、1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 设n(x，y，z)为平面ABM的一个法向量， 9.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，M为 BB1的中点，N为BC的中点. (1)求点M到直线AC1的距离； 解建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求点N到平面MA1C1的距离. 解设平面MA1C1的一个法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 取x1，得z2，故n(1
14、,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1,1,0)， 10.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，AD 2AB4，且PD与底面ABCD所成的角为45.求点B到直线PD的距离. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解PA平面ABCD， PDA即为PD与平面ABCD所成的角， PDA45， PAAD4，AB2. 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系，如图所示. 12345678910 11 12 13 14 15 16 设E(x，y，z)， (x，y4，z)(0，4,4)，x0，y44，z4， BED
15、P， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以点B到直线PD的距离为 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.如图，ABCDEFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足 则P到AB的距离为 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 解析如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐 标系， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中 点，M为棱A1B1上的一点，且A1M(02)，设点N为ME的
16、中点，则点N 到平面D1EF的距离为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标 系(图略)， 则M(2，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面D1EF的一个法向量为n(x，y，z)， 取x1，得n(1,0,2)， 13.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的 中点，则直线MN到平面ACD1的距离为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图，以点
17、D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系. 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面ACD1的一个法向量为n(x，y，z)， 令x1，则yz1，n(1,1,1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 故MN平面ACD1， 14.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1底面ABC， 则点B1到平面ABC1的距离为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析建立如图所示的空间直角坐标系， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面ABC1
18、的一个法向量为n(x，y，1)， 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以点C到直线AB1的距离 16.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形， ACB90，CA2，侧棱AA12，D是CC1的中点，则在线段A1B上 是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直 线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 12345678910 11 12 13 14 15 16 则E(2，2(1)，2)， 设n(x，y，z)为平面AED的一个法向量， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
