1、第1课时空间中点、直线和平面的向量表示 第一章 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量. 学 习 目 标 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、 宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉 璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大.如 图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直， 我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、空间中点的向量和直线的向量表示 二、空间中平面的向量表示 三、求平面的法向量 内容索引 一、空
2、间中点的向量和直线的向量表示 问题1在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 问题2空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用 向量表示直线l? 式和式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直 线上一点及直线的方向向量唯一确定. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使 . (3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 . 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 知识梳理 注意点：注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件： 是非零向量；向量所在的直线与l
3、平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向 向量有无数个. 例1(1)已知直线l的一个方向向量m(2，1,3)，且直线l过A(0，y,3)和 B(1,2，z)两点，则yz等于 解析A(0，y,3)和B(1,2，z)， 直线l的一个方向向量为m(2，1,3) ， yz0. (2)在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体， 棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_，直线 BC1的一个方向向量为_. (0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一) 故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1). 反思感悟理
4、解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 跟踪训练1(1)(多选)若M(1,0，1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一 个方向向量是 A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(3,0,1) 故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量. (2)从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长 34，则B点 的坐标为 A.(18,17，17) B. (14，19,17) 解析设B点坐标为 (x，y，z)， 即 (x2，y1，z7)(8,9，12)， 所以x18，y17，z17
5、. 二、空间中平面的向量表示 知识梳理 3.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 如图，直线l，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面的法向量. 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全 确定，可以表示为集合 注意点：注意点： (1)平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 三、求平面的法向量 例2如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形， ADBC，ABC90，SA平面ABCD，SAAB BC1，AD 试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD的一个法向量； 解以点A为原点，AD，AB，AS所
6、在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， SA平面ABCD， (2)求平面SAB的一个法向量； 解ADAB，ADSA，ABSAA，AB，SA平面ABS， AD平面SAB， (3)求平面SCD的一个法向量. 设平面SCD的法向量是n(x，y，z)， 令y1，得x2，z1，n(2，1,1). n(2，1,1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一). 反思感悟求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量， (2)设平面的法向量为n(x，y，z)； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐 标为常数(常数不能为0)便可
7、得到平面的一个法向量. 跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD， PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，ABC60，E是PC的 中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一 个法向量. 解如图，连接PF，CF. 因为PAPB，F为AB的中点， 所以PFAB， 又因为平面PAB平面ABCD， 平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB， 所以PF平面ABCD. 因为ABBC，ABC60， 所以ABC是等边三角形， 所以CFAB. 以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空 间直角坐标系(如图所示). 设平面DEF的一个
8、法向量为m(x，y，z)， 1.知识清单： (1)空间点、直线、平面的向量表示. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 课堂小结 随堂演练 1.若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 1234 所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量. 2.(多选)在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量 的是 1234 3.若n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量
9、中能作为平面的 法向量的是 A.(0，3,1) B.(2,0,1) C.(2，3,1) D.(2,3，1) 1234 解析求与n共线的一个向量. 易知(2，3,1)(2,3，1). 4.已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1,2，3)是的一个法向量，M(x，y， z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_. x2y3z0 1234 故x2y3z0. 课时对点练 1.已知向量a(2，1,3)和b(4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的 值是 A.1 B.1或1 C.3 D.1 解析由题意得ab， 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析PA平面
10、ABCD， BDPA. 又ACBD， BD平面PAC，PCBD. 故选项B成立，选项A和D显然成立.故选C. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知平面上的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面的一个法向量为 A.(1，1,1) B.(2，1,1) C.(2,1,1) D.(1,1,1) 解析显然a与b不平行， 设平面的法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 令z1，得x2，y1. 所以n(2,1,1). 4.已知向量 (2,4，x)，平面的一个法向量n(1，y,3)，若AB， 则 A.x6，y2 B.x
11、2，y6 C.3x4y20 D.4x3y20 12345678910 11 12 13 14 15 16 可得3x4y20. 5.已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是 解析设平面ABC的法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 xyz，又单位向量的模为1，故只有B正确. 6.已知平面内有一个点A(2，1,2)，它的一个法向量为n(3,1,2)，则下 列点P中，在平面内的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 同理可排除C，D. 12345678910 11 12 13 14
12、 15 16 7.(多选)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重 合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是 解析由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或 重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1表示棱长为 1的正方体，给出下列结论： 直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；直线BC1的一个 方向向量为(0,1,1)；平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)； 平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是
13、_.(填序号) 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面 ABCD，PDDC1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解如图所示建立空间直角坐标系. 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面EDB的法向量为n(x，y，z)， 取x1，则y1，z1， 故平面EDB的一个法向量为n(1，1,1). 10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB
14、 60，AB2AD2，PD底面ABCD，且PDAD，试建立恰当的空间 直角坐标系，求平面PAB的一个法向量. 12345678910 11 12 13 14 15 16 从而BD2AD2AB2，故BDAD，以D为坐标原点，以射 线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面PAB的一个法向量为n(x，y，z). 11.(多选)已知直线l1的方向向量a(2,4，x)，直线l2的方向向量b(2， y,2)，若|a|6，且ab，则xy的值是 A.1 B.1 C.3 D.3 12345678910 11 12 13 14
15、 15 16 综合运用 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以x4. 因为ab，所以ab224y2x0， 所以当x4时，y3； 当x4时，y1. 所以xy1或xy3. 12.在三棱锥PABC中，CP，CA，CB两两垂直，ACCB1，PC2， 如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面PAB的一个法向量为n(x，y,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以n(2,2,1). 13.已知直线l过点P(1,0，1)且平行于向量a(2,1,1)，平面过直线l与
16、点 M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 23(4) a是平面的一个法向量， 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.(多选)已知平面内两向量a(1,1,1)，b(0,2，1)，且cmanb (4，4,1)，若c为平面的一个法向量，则 A.m1 B.m1 C.n2 D.n2 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析cmanb(4，4,1)(m，m，m)(0,2n，n)(4，4,1) (m4，m2n4，mn1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以APAB，APAD. 又ABADA，所以AP平面ABCD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求平行四边形ABCD的面积. 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
