1、2.2.1直线的点斜式方程 第二章 2.2直线的方程 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题. 学 习 目 标 给定一个点P0(x0，y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直 线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0(x0，y0)和斜率k 之间的关系是确定的，如何表示这一关系呢？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、求直线的点斜式方程 二、直线的斜截式方程 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 内容索引 一、求直线的点斜式方程 问题1给定一个点P0(x0，y0)和斜
2、率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么 确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 提示yy0k(xx0) 我们把方程 称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 方程yy0k(xx0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我 们把它叫做直线的 ，简称点斜式. yy0k(xx0) 点斜式方程 知识梳理 注意点：注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用 此式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为yy0.特别地，x轴的方程 是y0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方 程写成xx0.特别地，y轴的方程是x0.
3、例1已知在第一象限的ABC中，A(1,1)，B(5,1)，A60，B 45，求： (1)AB边所在直线的方程； 解如图所示， 因为A(1,1)，B(5,1)， 所以ABx轴， 所以AB边所在直线的方程为y1. (2)AC边与BC边所在直线的方程. 解因为A60， 因为B45， 所以kBCtan 1351， 所以直线BC的方程为y1(x5). 反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程y y0k(xx0). (2)点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但xx0 除外. 跟踪训练1求满足下列条件的直线方程
4、： (2)经过点P(5，2)，且与y轴平行； 解与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x5. (3)过P(2,3)，Q(5，4)两点. 解过P(2,3)，Q(5，4)两点的直线斜率 直线过点P(2,3)， 由直线的点斜式方程可得直线方程为y3(x2)，即xy10. 二、直线的斜截式方程 问题2直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 提示ykxb 1.直线l与y轴的交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距. 2.把方程ykxb叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 纵坐标b 知识梳理 注意点：注意点： (1)直线的
5、斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正 数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是ykxb的形式，但有区别： 当k0时，ykxb为一次函数；当k0时，yb，不是一次函数.故一次 函数ykxb(k0)一定可看成一条直线的斜截式方程. 例2已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平 行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程. 解由斜截式方程知，直线l1的斜率k12
6、， 又因为ll1，所以kl2. 由题意知，l2在y轴上的截距为2， 所以直线l在y轴上的截距b2. 由斜截式可得直线l的方程为y2x2. 延伸探究本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为 “直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程. 解l1l，直线l1：y2x3， l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y4x2， l在y轴上的截距为2. 反思感悟求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程ykxb中只有两个参数，因此要确定直线方程 只需两个独立条件即可. 跟踪训练2已知斜率为 的直线l与两坐标轴
7、围成的三角形面积为6，求 直线l的方程. b216，b4. 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 解当m0时，l1：4y50；l2：x40，l1与l2垂直； 当m0时，l1与l2垂直. 反思感悟若l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1l2k1k2且b1b2， l1l2k1k21. 跟踪训练3已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210. (1)判断直线l1与l2是否能平行； 解当a1时，显然两直线不平行. 若直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210平行， 故当a1时，直线l1与l2平行. (2)当l1l2时，求a的值. 1.知识清单： (1)直线的点
8、斜式方程. (2)直线的斜截式方程. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合思想. 3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 课堂小结 随堂演练 1.方程yk(x2)表示 A.通过点(2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 1234 解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在， 故直线不垂直于x轴. l在y轴上的截距为9. 1234 3.已知直线l的倾斜角为60，且在y轴上的截距为2，则此直线的方程为 1234 4.若直线ykxb通过第一、三、四象限，则有 A.k0，b0
9、 B.k0，b0 C.k0 D.k0，b0，b0，直线yxa在y轴上的截 距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项B，yax过坐标原点，且a0，直线yxa在y轴上的截距应该 大于零，题中图象不符合题意； 对于选项C，yax过坐标原点，且a0，直线yxa在y轴上的截距应该 小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得a2或a1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2或1 13.已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点 . (1,0) 123
10、45678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意可设方程为yaxa， 即y0a(x1)， 由点斜式方程可知，直线过定点(1,0). 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.已知点A(1,3)，B(2，1).若直线l：yk(x2)1与线段AB相交， 则k的取值范围是 . 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由已知得，直线l恒过定点P(2,1)，如图所示. 若l与线段AB相交， 则kP AkkPB， 16.已知直线l：ykx2k1. (1)求证：直线l恒过一个定点； 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明由ykx2k1， 得y1k(x2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(2,1). (2)当3x3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设函数f(x)kx2k1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当3x3时，直线上的点都在x轴上方， 本课结束 更多精彩内容请登录：
