1、第2课时双曲线及其标准方程的应用 第三章 3.2.1双曲线及其标准方程 1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题. 2.双曲线在实际生活中的应用. 学 习 目 标 双曲线是我们在平时生活中经常见到的图形，这节课研究双曲线在实 际生活中的应用. 导 语 随堂演练课时对点练 一、双曲线定义的应用 二、双曲线方程的设法 三、双曲线的实际生活应用 内容索引 一、双曲线定义的应用 解析设点C(1,4)，点B在圆上，则|PB|PC|r |PC|1， 由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点， 设A为双曲线右焦点， 所以由双曲线定义知|PA|PA|2a|PA|6， 所以|PA|PB|PA|PB|6|PA
2、|PC|6 1|AC|55510. 反思感悟求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双 曲线的定义去解决. 解析设F1是双曲线的左焦点， 根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可 得|PF1|PF|2a， 所以|PF|PF1|2a， 所以|PA|PF|PA|PF1|2a|PA|PF1|4， 当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P处取得最小值， 二、双曲线方程的设法 解如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x 轴的距离为h， 则MF1MF2， 设|MF1|m，|MF2|n， 由双曲线定义，知mn2a8， 又m2n2(2c)280， 由得mn8， 解得4或14(舍
3、去)， 5或30(舍去). 三、双曲线的实际生活应用 例3神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全 救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B， C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30方向，相距4千米， P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A 距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信 号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角. 解设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示， 以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， |PB|PC|，
4、点P在线段BC的垂直平分线上， 又|PB|PA|46|AB|， 点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a2，c3， 反思感悟利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系. (2)求出双曲线的标准方程. (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 跟踪训练3如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东 30方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的 距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是_；现要在曲线PQ 上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB， MC的路程之和最短是_ km. 解析如图所示，以AB所
5、在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直 角坐标系. 则|DA|DB|2， 根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支. 故2c4，c2,2a2，a1，b2c2a2413， 当A，M，C共线时等号成立. 1.知识清单： (1)双曲线定义的应用. (2)双曲线方程的求法. (3)双曲线在实际生活中的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错. 课堂小结 随堂演练 1.如图，双曲线C： 的左焦点为F1，双曲线上 的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|P1F1|的值是 A.3 B.4 C.6 D.8 1234 解析如图所示，设双曲线的右焦点为F2， 连接
6、P2F2，因为双曲线上的点P1与P2关于y轴对称， 根据双曲线的对称性，可得|P1F1|P2F2|， 所以|P2F1|P1F1|P2F1|P2F2|236. 2.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k 千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是 A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线 1234 解析由已知可得|PA|PB|2k4k|AB|， 根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点双曲线上， 则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线. 解析设双曲线的方程为mx2ny21(mn0，n0)有公共焦点， 现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经 过2k(
7、kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为_. 15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线 反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后 要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 2k(am) 解析光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲 线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点， 如图， |BF2|2m|BF1|， |BF1|BA|AF1| |BF2|2m|BA|AF1|AF2|AF1|2m2a2m， 所以光线经过2k(kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(am). 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以1tan 4， 即tan 的取值范围为(1,4). 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
