1、第1课时双曲线的简单几何性质 第三章 3.2.2双曲线的简单几何性质 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 学 习 目 标 在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、 焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆 性质的方法研究双曲线的性质. 导 语 随堂演练课时对点练 一、双曲线的几何性质 二、由双曲线的几何性质求标准方程 三、求双曲线的离心率 内容索引 一、双曲线的几何性质 提示1.范围 所以xa 或xa; yR. 2.对称性 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心. 3.顶点 (1)双
2、曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 . 顶点是A1(a，0)，A2(a，0)，只有两个. (2)如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线 段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长. (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 方程为x2y2m(m0). 4.渐近线 (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图. 5.离心率 (2)e的范围：e1. (3)e的含义：因为ca0，所以可以看出e1， 焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 _ 图形 知识梳理 性 质 范围_ 对称性对称轴： ；对称中心：_ 顶点坐标_ _ 渐近线 _ 离心率
3、e ，e ，其中c a，b，c间的关系c2 (ca0，cb0) xa或xa ya或ya 坐标轴原点 A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a) (1，) a2b2 注意点：注意点： (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大. (2)等轴双曲线的离心率为 渐近线方程为yx. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. (4)焦点到渐近线的距离为b. 例1(教材P124例3改编)求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、 实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 因此顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)， 实轴长2a6，虚轴长2b4， 延伸探究若
4、将双曲线的方程变为nx2my2mn(m0，n0)，求双曲线 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 反思感悟由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 跟踪训练1求双曲线25y216x2400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐 标、离心率、渐近线方程. 由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b5； 二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2求满足下列条件的双曲线的方程： 联立，无解. 联立，解得a28，b232. 反思感悟由双曲线的性质求双曲线
5、的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为 解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 渐近线方程为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0). 跟踪训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程： 代入c2a2b2，得a29， 解当所求双曲线的焦点在x轴上时， 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 三、求双曲线的离心率 又由圆C：x2y210y210，可得圆心为C(0,5)，半径r2， 反思感悟求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e 得解. (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2
6、qacra20(p，q， r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解. 由|PF2|QF2|，PF2Q90， 知|PF1|F1F2|， 所以c22aca20， 即e22e10， 1.知识清单： (1)双曲线的几何性质. (2)等轴双曲线. (3)双曲线的离心率. 2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法. 3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. 课堂小结 随堂演练 1. (多选)已知双曲线方程为x28y232，则 A.实轴长为B.虚轴长为4 C.焦距为6D.离心率为 1234 2.双曲线 的左焦点与右顶点之间的距离等于 A.6 B.8 C.9 D.10 1234
7、 解析由已知得左焦点的坐标为(5,0)，右顶点的坐标为(3,0)， 所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x4y120上的等 轴双曲线的方程是 A.x2y28 B.x2y24 C.y2x28 D.y2x24 1234 解析令y0，得x4， 等轴双曲线的一个焦点为(4,0)， 1234 1234 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为 解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2y2(0)， 将点(5,3)代入方程，可得523216，
8、 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.设双曲线 (a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 解析由双曲线的几何性质可得， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 |PF|的最小值为ca2，D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.若一双曲线与椭圆
9、4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒 数，则该双曲线的方程为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 a264，c2641648， 从而a6，b212， 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； 解由两顶点间的距离是6，得2a6，即a3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c4a12，即c6， 于是有b2c2a2623227. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)渐近线方程为2x3y0，且两顶点间的距离是6. 解设双曲线方程为4x29y2(0)， 123456
10、78910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 又b2c2a2，所以16a2(c2a2)3c4， 两边同时除以a4，得3e416e2160， 12345678910 11 12 13 14 15 16 于是双曲线的离心率为2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 又2c10，c5. 由a2b2c2，解得a220，b25. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.若双曲线与椭圆 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y x，则双曲线的方程为 A.y2x296 B.y2x2160 C
11、.y2x280 D.y2x224 解析设双曲线方程为x2y2(0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意得|PF2|F1F2|2c，设直线PF1与圆(xc)2y2c2相切于 点T， 则PF1TF2，|TF2|c， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 32 所以|PQ|12.双曲线图象如图. |PF|AP|2a4， |QF|QA|2a4， 得|PF|QF|PQ|8， 周长为|PF|QF|PQ|82|PQ|32. 123
12、45678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 APF1的周长不小于14，即周长的最小值不小于14， 可得|PA|PF1|的最小值不小于9， 又F2为双曲线的左焦点，可得|PF1|PF2|2a， |PA|PF1|PA|PF2|2a ， 当A，P，F2三点共线时，|PA|PF2|2a取最小值52a， 所以52a9，即a2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以|PF1|PF2|2a，|PF1|2a|PF2|， 12345678910 11 12 13 14 15 16 即|PF2|2a时取等号， 所以|PF1|2a|PF2|4a， 本课结束 更多精彩内容请登录：
