1、2.3.2两点间的距离公式 第二章 2.3直线的交点坐标与距离公式 1.掌握两点间的距离公式并会应用. 2.会用坐标法证明简单的平面几何问题. 学 习 目 标 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一 个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点 到两个小区的距离之和最小？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、两点之间的距离公式 二、坐标法的应用 内容索引 一、两点之间的距离公式 问题1在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示|AB|xAxB|. 问题2已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 提示(1)当P
2、1P2与x轴平行时，|P1P2|x2x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|y2y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在RtP1QP2中，|P1P2|2|P1Q|2 |QP2|2， 1.点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 . 知识梳理 注意点：注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关. 例1已知ABC的三个顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，试判断 ABC的形状. |AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|， ABC是等腰直角三角形. kACkAB1， ACAB. |AC|AB|， ABC是等腰直角三角形. 反思感悟计算两点间距离的方
3、法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2| (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特 殊情况求解. 跟踪训练1若点M到x轴和到点N(4,2)的距离都等于10，则点M的坐标 为_. 解析由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为10. 设点M的坐标为(xM，10). (2,10)或(10,10) 解得xM10或xM2， 所以点M的坐标为(2,10)或(10,10). 二、坐标法的应用 例2求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 证明如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其 中D，E分别为边AC和BC的中点. 设
4、A(0,0)，B(c，0)，C(m，n)， 则|AB|c|. 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 反思感悟(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面 直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之 分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 建立坐标系，用坐标表示有关的量. 进行有关代数运算. 把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 跟踪训练2已知在等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求 证：|AC|BD|. 证明如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D
5、的坐标是(ab，c). 故|AC|BD|. 1.知识清单：两点间的距离公式. 2.方法归纳：待定系数法、坐标法. 3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解. 课堂小结 随堂演练 1.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是 1234 2.已知M(2,1)，N(1,5)，则|MN|等于 1234 3.直线yx上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于 1234 解析P(1,1)，Q(5,5)， 4.已知ABC的顶点坐标为A(1,5)，B(2，1)，C(2,3)，则BC边上的 中线长为_. 1234 解析BC的中点坐标为(0,1)， 课时对点练 基础巩固 12345678
6、910 11 12 13 14 15 16 解析由两点间距离公式得 2.已知ABC的顶点A(2,3)，B(1,0)，C(2,0)，则ABC的周长是 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.在ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，D为BC边的中点，则线段 AD的长是 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则|AB|的 值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)对于 下列说法正确的是 A.可看作点(x，0)与点(1,2)的距离 B.可看
7、作点(x，0)与点(1，2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(1,2)的距离 D.可看作点(x，1)与点(1,1)的距离 12345678910 11 12 13 14 15 16 可看作点(x，0)与点(1，2)的距离，可看作点(x，0)与点(1,2)的距离， 可看作点(x，1)与点(1,1)的距离，故选项A不正确. 6.已知A(5,2a1)，B(a1，a4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是 解析A(5,2a1)，B(a1，a4)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.已知点A(2，1)，B(a，3)，且|AB|5，则a的值为_. 1或5 解析由两点间距离公
8、式得 (2a)2(13)252， 所以(a2)232， 所以a23，即a1或a5. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为 _. (10,0)或(0,0) 解析设Q(x0,0)，则有 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.已知直线ax2y10和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中 点到原点的距离为 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知直线l1：2xy60和点A(1，1)，过A点作直线l与已知直线l1 相交于B点，且使|AB|5，求直
9、线l的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y1k(x1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 即3x4y10. 当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x1. 此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意. 综上所述，直线l的方程为3x4y10或x1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.以点A(3,0)，B(3，2)，C(1,2)为顶点的三角形是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 12345678910 11 12 13 14 15 16
10、综合运用 |AC|2|BC|2|AB|2， ABC为直角三角形.故选C. 12.(多选)直线xy10上与点P(2,3)的距离等于 的点的坐标是 A.(4,5) B.(3,4) C.(1,2) D.(0,1) 解析设所求点的坐标为(x0，y0)，有 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设A(a，0)，B(0，b)， 解析以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标 系(图略)， 设A(4a，0)，B(0,4b)，则
11、D(2a，2b)，P(a，b)， 所以|PA|29a2b2，|PB|2a29b2， |PC|2a2b2， 于是|PA|2|PB|210(a2b2)10|PC|2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 10 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，已知BD是ABC的边AC上的中线，建立适当 的平面直角坐标系，证明：|AB|2|BC|2 |AC|22|BD|2. 证明如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直 角坐标系. 设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(a，0). 12345678910 11 12 13 14 15 16 2a22b22c22a22b22c2， 2|BD|22(b2c2)2b22c2， 本课结束 更多精彩内容请登录：
