1、2.2.2直线的两点式方程 第二章 2.2直线的方程 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 学 习 目 标 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥 塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、直线的两点式方程 二、直线的截距式方程 内容索引 一、直线的两点式方程 问题1我们知道已知两点也可以确定一条直线，在 平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k， 可得出直线方程.若给定直线上两点
2、P1(x1，y1)，P2(x2， y2)(x1x2，y1y2)，你能否得出直线的方程呢？ 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2，y1y2)的直线方程_ ，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 . 注意点：注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1x2)或斜率为0(y1 y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线 的斜率相等. 两点式 知识梳理 例1已知A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中： (1)求BC边所在的直线方程； 解
3、BC边过两点B(5，4)，C(0，2)， 即2x5y100， 故BC边所在的直线方程为2x5y100. (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 解设BC的中点为M(a，b)， 又BC边的中线过点A(3,2)， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10 x11y80. 延伸探究 若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程. 即10 x4y370. 反思感悟利用两点式求直线的方程 首先要判断是否满足两点式方程的适用条件. 若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用 斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 跟踪训练1(1)过点A(2,1)，B(3，3)的直线方程为_. 解析
4、因为直线过点(2,1)和(3，3)， 4x5y30 化简得4x5y30. 解由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有 可能不存在. (1)当直线斜率不存在，即m1时，直线方程为x1； (2)当直线斜率存在，即m1时， (2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 即x(m1)y10. 综上可得，当m1时，直线方程为x1； 当m1时，直线方程为x(m1)y10. 二、直线的截距式方程 问题2若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a0，b0)，你能否得出 直线的方程呢？ 我们把方程 叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的 交点(a，
5、0)的横坐标a叫做直线 ，此时直线在y轴上的截距 是 . 在x轴上的截距 b 知识梳理 注意点：注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的 方程. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距， 这一点常被用来作图. (3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (4)过原点的直线的横、纵截距都为零. 例2求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解得a1. 即xy10. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时， 即直线l过原点时，设直线l的方程为ykx， 因为l过点(3,4)，所以4k3， 即
6、4x3y0. 综上，直线l的方程为xy10或4x3y0. 延伸探究 1.若将点A的坐标改为“A(3，4)”，其他条件不变，又如何求解？ 解(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， (2)当直线l过原点时，设直线l的方程为ykx，由于l过点(3，4)， 所以直线l的方程为4x3y0. 综上，直线l的方程为xy10或4x3y0. 2.若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 所以直线l的方程为xy70. (2)当截距为0时，设直线l的方程为ykx， 综上，直线l的方程为xy70或4x3y0. 反思感悟截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用
7、截距式方程，用 待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐 标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 两边平方整理得ab12(ab)720. 所以直线l的方程为3x4y120或15x8y360. 1.知识清单： (1)直线的两点式方程. (2)直线的截距式方程. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 课堂小结 随堂演练 1.在x轴、y轴上的截距分别是3,4的直线方程是 1234 2.过(1,2)，(5,3)的直线方程是 1234 解析所求直线过点(1,2)，(5,3)， 3
8、.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_ _. 1234 2xy0或 xy10 解析当直线过原点时，得直线方程为2xy0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 将x1，y2代入方程可得a1， 得直线方程为xy10. 直线方程为2xy0或xy10. 4.已知点A(3,2)，B(1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方 程为_. 2xy10 1234 解析AB的中点坐标为(1,3)， 即2xy10. 课时对点练 1.过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为 A.yx3 B.yx1 C.yx2 D.yx2 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15
9、16 整理得yx3. 2.已知直线l：axy20在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是 A.1 B.1 C.2或1 D.2或1 12345678910 11 12 13 14 15 16 直线l：axy20在x轴和y轴上的截距相等， A.a0，b0 B.a0，b0 C.a0 D.a0，b0 解析因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b， 且经过第一、二、三象限，故a0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.经过点A(2,5)，B(3,6)的直线在x轴上的截距为 A.2 B.3 C.27 D.27 12345678910 11 12 13 14 15 16
10、即x5y270，令y0，得x27. 5.已知ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点， N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为 A.2xy80 B.2xy80 C.2xy120 D.2xy120 解析由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 即2xy80. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析依题意知，a2，P(0,5). 设A(x0,2x0)，B(2y0，y0)， 所以A(4,8)，B(4,2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16
11、 7.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是_. 3xy60 解析由题意知直线过点(2,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 整理得3xy60. 8.若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_. 2 即xy10. 又点P(3，m)在直线AB上， 所以3m10，得m2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得a2或a1， 9.求过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(2,6)
12、， C(8,0). (1)求边AC和AB所在直线的方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由截距式，得边AC所在直线的方程为 即xy40. (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意，得点D的坐标为(4,2)， 即2xy100. 11.(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 A.xy5B.xy5 C.x4y0D.x4y0 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 即x4y0； 把(4,1)代入，解得a5，所以直线方程为xy5. 综上可知，直线方程为
13、xy5或x4y0. 12.已知ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(4,0)，C(6，0)，则过点B将 ABC的面积平分的直线方程为 A.2xy40 B.x2y40 C.2xy40 D.x2y40 解析由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)， 则过点B将ABC的面积平分的直线过点D(4,4)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1， 一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足. 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截
14、距是在y轴上截距的两倍，则直线 l的方程为_. 解析若l在坐标轴上的截距均为0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3x2y0或x2y80 即3x2y0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b， 所以l的方程为x2y80. 综上，直线l的方程为3x2y0或x2y80. 15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_. 3 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18， 求直线l的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， 直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 a6， 直线l的方程为xy60. 若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y 轴上的截距为a(a0)， a6， 直线的方程为xy60. 综上所述，直线l的方程为xy60或xy60. 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
