1、2.1函数及其表示函数及其表示 最新考纲考情考向分析 1.了解构成函数的要素， 会求一些简单函数的 定义域和值域，了解映射的概念 2.在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、 列表法、 解析法)表示函数 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数 分段不超过三段). 以基本初等函数为载体，考查函数的表示 法、定义域；分段函数以及函数与其他知 识的综合是高考热点，题型既有选择、填 空题，又有解答题，中等偏上难度. 1函数与映射 函数映射 两个集合 A，B 设 A，B 是两个非空数集设 A，B 是两个非空集合 对应关系 f：AB 如果按照某种确定的对应关系 f，使对 于集合 A
2、 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f，使 对于集合 A 中的任意一个元素 x，在 集合B 中都有唯一确定的元素 y 与之 对应 名称 称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数 称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一 个映射 函数记法函数 yf(x)，xA映射：f：AB 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对 应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)函数的三要素：定义域、对
3、应关系和值域 (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 3分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函 数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段 函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 知识拓展 简单函数定义域的类型 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合； (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合； (4)若 f(x)x0，则定义域
4、为x|x0； (5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1； (6)正切函数 ytan x 的定义域为 x|xk 2，kZ. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)对于函数 f：AB，其值域就是集合 B.() (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等() (3)函数 f(x)的图象与直线 x1 最多有一个交点() (4)若 AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从 A 到 B 的映射() (5)分段函数是由两个或几个函数组成的() 题组二教材改编 2P74T7(2)函数 f(x) x3log2(6x)的定义域是_ 答案3,6) 3 P25B 组
5、T1函数 yf(x)的图象如图所示， 那么， f(x)的定义域是_； 值域是_； 其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是_ 答案3,02,31,51,2)(4,5 题组三易错自纠 4已知函数 f(x)x|x|，若 f(x0)4，则 x0的值为_ 答案2 解析当 x0 时，f(x)x2，f(x0)4， 即 x204，解得 x02. 当 x0 时，f(x)x2，f(x0)4， 即x204，无解，所以 x02. 5(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知 f(x) 2x2，x0， x23，x0， 若 f(a)2，则 a 的值为() A2B1 或 2 C1 或 2D1 或 2 答案B
6、 解析当 a0 时，2a22，解得 a2； 当 a0 时，a232，解得 a1. 综上，a 的值为1 或 2.故选 B. 6已知函数 f(x)ax32x 的图象过点(1,4)，则 a_. 答案2 解析由题意知点(1,4)在函数 f(x)ax32x 的图象上，所以 4a2，则 a2. 题型一题型一函数的概念函数的概念 1若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2，则函数 yf(x)的 图象可能是() 答案B 解析A 中函数的定义域不是2,2，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是0,2，故选 B. 2有以下判断： f(x)|x| x 与 g(x) 1，x0， 1，x0 表
7、示同一函数； f(x)x22x1 与 g(t)t22t1 是同一函数； 若 f(x)|x1|x|，则 f f 1 20. 其中正确判断的序号是_ 答案 解析对于， 由于函数 f(x)|x| x 的定义域为x|xR 且 x0， 而函数 g(x) 1，x0， 1，x0 的 定义域是 R，所以二者不是同一函数，故不正确；对于，f(x)与 g(t)的定义域、值域和对 应关系均相同，所以 f(x)和 g(t)表示同一函数，故正确； 对于，由于 f 1 2 | 1 21| 1 2|0， 所以 f f 1 2f(0)1，故不正确 综上可知，正确的判断是. 思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判
8、断两个函数的对应关系是否相同， 只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值 是否相同 题型二题型二函数的定义域问题函数的定义域问题 命题点 1求函数的定义域 典例 (1)函数 f(x)1 xln x 23x2 x23x4的定义域为( ) A(，42，)B(4,0)(0,1) C4,0)(0,1)D4,0)(0,1 答案C 解析由 x0， x23x20， x23x40， 解得4x0 或 0 x1，故函数 f(x)的定义域为 4,0)(0,1)，故选 C. (2)若函数 yf(x)的定义域是0,2 018，则函数 g(x)fx1 x1 的定义域是() A1,2
9、 017B1,1)(1,2 017 C0,2 018D1,1)(1,2 018 答案B 解析使函数 f(x1)有意义，则 0 x12 018，解得1x2 017，故函数 f(x1)的定义 域为1，2 017所以函数 g(x)有意义的条件是 1x2 017， x10， 解得1x1 或 1 x2 017.故函数 g(x)的定义域为1,1)(1,2 017 引申探究 本例(2)中，若将“函数 yf(x)的定义域为0,2 018”，改为“函数 f(x1)的定义域为0,2 018，” 则函数 g(x)fx1 x1 的定义域为_ 答案2,1)(1,2 016 解析由函数 f(x1)的定义域为0,2 018
10、 得函数 yf(x)的定义域为1,2 017， 令 1x12 017， x1， 则2x2 016 且 x1. 所以函数 g(x)的定义域为2,1)(1,2 016 命题点 2已知函数的定义域求参数范围 典例 (1)(2018衡水联考)若函数y mx1 mx24mx3的定义域为R， 则实数m的取值范围是( ) A. 0，3 4B. 0，3 4 C. 0，3 4D. 0，3 4 (2)若函数 f(x) ax2abxb的定义域为x|1x2，则 ab 的值为_ 答案(1)D(2)9 2 解析(1)要使函数的定义域为 R，则 mx24mx30 恒成立， 当 m0 时，显然满足条件； 当 m0 时，由4m
11、24m30 得 0m3 4， 由得 0m3 4. (2)函数 f(x)的定义域是不等式 ax2abxb0 的解集不等式 ax2abxb0 的解集为 x|1x2， 所以 a0， 12b， 12b a， 解得 a3 2， b3， 所以 ab3 23 9 2. 思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点 值的取舍 (2)求抽象函数的定义域：若 yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式 ag(x)0 恒成立， 得 a0 或 a0， 4a24a20， 解得 0a1， 则 f 4 3 f 4 3 的值为() A.1 2 B1 2 C1D1 答案D 解析f 4
12、 3 f 4 3 f 1 3 f 4 3 1 cos 3cos 4 3 11. 命题点 2分段函数与方程、不等式问题 典例 (1)(2018 届东莞外国语学校月考)已知函数 f(x) 2x 12，x1， log2x1，x1， 且 f(a)3， 则 f(6a)等于() A7 4 B5 4 C3 4 D1 4 答案A 解析函数 f(x) 2x 12，x1， log2x1，x1 且 f(a)3， 若 a1，则 2a 123，即有 2a111，则log2(a1)3，解得 a7， 则 f(6a)f(1)2 1127 4. (2)(2017广东汕头、河北石家庄二中联考)设函数 f(x) x2x，x0， x
13、2，x0， g(x)为定义在 R 上的 奇函数，且当 x0，则x0， 由题意，知 f(2)2， f(g(a)2 即为 f(g(a)f(2) 又 f(x) x2x，x0， x2，x0， g(a)2， a0， a22a52 或 a0， a1 或 0a2 21.故选 A. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路 求函数值：当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 求自变量的值： 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上， 然后求出相应自变量的值， 切记要代入检验 (2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来 跟踪训练 设函数 f(x
14、) 2x，x0， |log2x|，x0， 则使 f(x)1 2的 x 的集合为_ 答案 1， 2， 2 2 解析由题意知，若 x0，则 2x1 2，解得 x1；若 x0，则|log 2x|1 2，解得 x 1 2 2或 x 1 2 2 .故 x 的集合为 1， 2， 2 2 . 分类讨论思想在函数中的应用 典例 (1)设函数 f(x) 3x1，x1， 2x，x1， 则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是() A. 2 3，1B0,1 C. 2 3，D1, ) (2)(2017全国)设函数 f(x) x1，x0， 2x，x0， 则满足 f(x)f x1 2 1 的 x 的取值范围是
15、_ 思想方法指导(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解 析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取 值范围 解析(1)令 f(a)t，则 f(t)2t， 当 t0， g(t)g(1)0，3t12t无解 当 t1 时，2t2t成立，由 f(a)1 可知， 当 a1 时，有 3a11，a2 3， 2 3a1； 当 a1 时，有 2a1，a0，a1. 综上，a2 3，故选 C. (2)当 x1 2时，f(x)f x1 2 2x 1 2 2 x 2x
16、 21； 当 0 x1 2时，f(x)f x1 2 2x x1 2 12xx1 22 x1； 当 x0 时，f(x)f x1 2 x1 x1 2 12x3 2， 由 f(x)f x1 2 1，得 2x3 21，即 x 1 4，即 1 4x0. 综上，x 1 4，. 答案(1)C(2) 1 4， 1下列图象可以表示以 Mx|0 x1为定义域，以 Ny|0y1为值域的函数的是 () 答案C 解析A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定 义可知选项 C 正确 2(2018郑州调研)函数 f(x)ln x x1 1 2 x的定义域为() A(0，)B(1，) C
17、(0,1)D(0,1)(1，) 答案B 解析要使函数 f(x)有意义，应满足 x x10， x0， 解得 x1，故函数 f(x)ln x x1 1 2 x的 定义域为(1，) 3下列各组函数中，表示同一函数的是() Af(x)eln x，g(x)x Bf(x)x 24 x2 ，g(x)x2 Cf(x)sin 2x 2cos x，g(x)sin x Df(x)|x|，g(x) x2 答案D 解析A，B，C 的定义域不同，所以答案为 D. 4(2017湖南衡阳八中一模)已知 f(x) 1 3 x，x0， log3x，x0， 则 f f 1 9等于() A2B3C9D9 答案C 解析f 1 9 lo
18、g31 92， f f 1 9f(2) 1 3 29. 5已知 f 1x xx 21 x2 1 x，则 f(x)等于( ) A(x1)2(x1)B(x1)2(x1) Cx2x1 (x1)Dx2x1 (x1) 答案C 解析f 1x xx 21 x2 1 x x1 x 2x1 x 1，令x1 x t(t1)，则 f(t)t2t1，即 f(x)x2 x1(x1). 6.如图，AOD 是一直角边长为 1 的等腰直角三角形，平面图形 OBD 是四分之一圆的扇形， 点 P 在线段 AB 上，PQAB，且 PQ 交 AD 或交弧 DB 于点 Q，设 APx(0 x2)，图中阴影 部分表示的平面图形 APQ(
19、或 APQD)的面积为 y，则函数 yf(x)的大致图象是() 答案A 解析观察可知阴影部分的面积 y 的变化情况为：(1)当 0 x1 时，y 随 x 的增大而增大，而 且增加的速度越来越快 (2)当 1x2 时， y 随 x 的增大而增大， 而且增加的速度越来越慢 分 析四个答案中的图象，只有选项 A 符合条件，故选 A. 7(2017山东)设 f(x) x，0 x1， 2x1，x1， 若 f(a)f(a1)，则 f 1 a 等于() A2B4C6D8 答案C 解析由当 x1 时 f(x)2(x1)是增函数可知，若 a1，则 f(a)f(a1)，所以 0a1， 由 f(a)f(a1)得 a
20、2(a11)，解得 a1 4，则 f 1 a f(4)2(41)6. 8已知 f(x) 12ax3a，x0， ln 112a3a， a0，由 f(x)的图象可知，当 x(2,8时，f(x)0. 11设函数 f(x) ex 1，x1， x 1 3 ，x1， 则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_ 答案(，8 解析当 x1 时，由 ex 12，得 x1ln 2， x1； 当 x1 时，由 1 3 x2，得 x8，1x8. 综上，符合题意的 x 的取值范围是 x8. 12已知函数 f(x) x2 x3，x1， lgx21，x1， 则 f(f(3)_，f(x)的最小值是_ 答案02 23 解析
21、f(3)lg(3)21lg 101， f(f(3)f(1)0， 当 x1 时，f(x)x2 x32 23，当且仅当 x 2时取等号，此时 f(x) min2 230； 当 x1 时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当 x0 时，取等号，此时 f(x)min0. f(x)的最小值为 2 23. 13设函数 f(x) x22x，x0， x2，x0， 若 f(f(a)3，则实数 a 的取值范围是() A(， 3B 3，) C 3， 3D(， 3 答案D 解析令 f(a)t，则 f(t)3 等价于 t0， t22t3 或 t0， t23， 解得 t3，则 f(a)3 等价于 a0， a22a3
22、 或 a0， a23， 解得 a 3，则实数 a 的取值范围是(， 3，故选 D. 14已知函数 f(x)满足对任意的 xR 都有 f 1 2xf 1 2x2 成立，则 f 1 8 f 2 8 f 7 8 _. 答案7 解析由 f 1 2xf 1 2x2，得 f 1 8 f 7 8 2，f 2 8 f 6 8 2，f 3 8 f 5 8 2，又 f 4 8 1 2 f 4 8 f 4 81 221， f 1 8 f 2 8 f 7 8 2317. 15已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x，y，都有 f(xy)f(x)y(y2x 1)，且 f(1)3，则函数 f(x)的解析式为_ 答案f(x)x2x1 解析令 x0，yx，得 f(x)f(0)x2x.把 x1 代入上式，得 f(0)f(1)21，从 而有 f(x)x2x1. 16(2018 届全国名校第一次联考)定义新运算“”：当 mn 时，mnm；当 mn 时， mnn2.设函数 f(x)(2x)x(4x)，x1,4，则函数 f(x)的值域为_ 答案2,0(4,60 解析由题意知，f(x) 2x4，x1，2， x34，x2，4， 当 x1,2时，f(x)2,0； 当 x(2,4时，f(x)(4,60， 故当 x1,4时，f(x)2,0(4,60
