1、专题探究课三专题探究课三高考中数列问题的热点题型高考中数列问题的热点题型 1.(2015重庆卷)已知等差数列an满足 a32，前 3 项和 S39 2. (1)求an的通项公式； (2)设等比数列bn满足 b1a1，b4a15，求bn的前 n 项和 Tn. 解(1)设an的公差为 d，则由已知条件得 a12d2，3a132 2 d9 2， 化简得 a12d2，a1d3 2， 解得 a11，d1 2， 故an的通项公式 an1n1 2 ，即 ann1 2 . (2)由(1)得 b11，b4a15151 2 8. 设bn的公比为 q，则 q3b4 b18，从而 q2， 故bn的前 n 项和 Tnb
2、1（1q n） 1q 1（12 n） 12 2n1. 2.(2017东北三省四校模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差 d0，且 S3 S550，a1，a4，a13成等比数列. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列bn的前 n 项和 Tn. 解(1)依题意得 3a132 2 d5a145 2 d50， （a13d）2a1（a112d） ， 解得 a13， d2， an2n1. (2)bn an3 n1，bnan3n1(2n1)3n1， Tn353732(2n1)3n 1， 3Tn33532733(2n1)3n 1(2n1)3
3、n， 两式相减得， 2Tn32323223n 1(2n1)3n 323（13 n1） 13 (2n1)3n2n3n， Tnn3n. 3.已知二次函数 yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f(x)6x2，数列an 的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn 3 anan1，试求数列b n的前 n 项和 Tn. 解(1)设二次函数 f(x)ax2bx(a0)， 则 f(x)2axb. 由于 f(x)6x2，得 a3，b2， 所以 f(x)3x22x. 又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上，
4、 所以 Sn3n22n. 当 n2 时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5； 当 n1 时，a1S131221615，也适合上式， 所以 an6n5(nN*). (2)由(1)得 bn 3 anan1 3 （6n5）6（n1）5 1 2 1 6n5 1 6n1 ， 故 Tn1 2 11 7 1 7 1 13 1 6n5 1 6n1 1 2 1 1 6n1 3n 6n1. 4.在数列an中，log2an2n1，令 bn(1)n 14（n1） log2anlog2an1，求数列b n的前 n 项和 Tn. 解由题意得 bn(1)n 1 4（n1） （2n1） （2n3） (1)n
5、 1 1 2n1 1 2n3 . 当 n 为偶数时，Tn 1 3 1 5 1 5 1 7 1 7 1 9 1 2n1 1 2n3 1 3 1 2n3； 当 n 为奇数时，Tn 1 3 1 5 1 5 1 7 1 7 1 9 1 2n1 1 2n3 1 3 1 2n3， 故 Tn 1 3 1 2n3，n 为奇数， 1 3 1 2n3，n 为偶数. 5.(2017兰州模拟)正项数列an的前 n 项和 Sn满足：S2n(n2n1)Sn(n2n) 0. (1)求数列an的通项公式 an； (2)令 bn n1 （n2）2a2n，数列b n的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 nN*，都 有 Tn0
6、，Snn2n. 于是 a1S12， 当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，又 a1221. 综上，数列an的通项 an2n. (2)证明由于 an2n，bn n1 （n2）2a2n， 则 bn n1 4n2（n2）2 1 16 1 n2 1 （n2）2. Tn 1 16 1 1 32 1 22 1 42 1 32 1 52 1 （n1）2 1 （n1）2 1 n2 1 （n2）2 1 16 1 1 22 1 （n1）2 1 （n2）2 1 16 1 1 22 5 64. 所以对于任意的 nN*，都有 Tn 5 64. 6.已知单调递增的等比数列an满足 a2a3a428，且
7、 a32 是 a2，a4的等差中 项. (1)求数列an的通项公式； (2)若 bnanlog 1 2 an，Snb1b2bn，对任意正整数 n，Sn(nm)an10 恒成 立，试求 m 的取值范围. 解(1)设等比数列an的首项为 a1，公比为 q. 依题意，有 2(a32)a2a4， 代入 a2a3a428，得 a38. a2a420， a1qa1q320， a3a1q28， 解得 q2， a12 或 q1 2， a132. 又an单调递增， q2， a12. an2n. (2)bn2nlog 1 2 2nn2n， Sn12222323n2n， 2Sn122223324(n1)2nn2n1， ，得 Sn222232nn2n 1 2（12 n） 12 n2n 12n1n2n12. 由 Sn(nm)an10， 得 2n 1n2n12n2n1m2n10 对任意正整数 n 恒成立， m2n 122n1，即 m1， m1，即 m 的取值范围是(，1.
