1、第第 6 讲讲对数与对数函数对数与对数函数 一、选择题 1.(2015四川卷)设 a，b 为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的() A.充分必要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析因为 ylog2x 在(0，)上单调递增，所以当 ab1 时，有 log2alog2blog210； 当 log2alog2b0log21 时，有 ab1. 答案A 2.(2017石家庄模拟)已知 alog23log23，blog29log23，clog32，则 a， b，c 的大小关系是() A.abcC.abbc 解析因为 alog23log23log23 33
2、 2log 231， blog29log23log23 3 a，clog320，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 () 解析由题意 ylogax(a0，且 a1)的图象过(3，1)点，可解得 a3.选项 A 中，y3 x 1 3 x ，显然图象错误；选项 B 中，yx3，由幂函数图象可知正确； 选项 C 中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项 D 中，ylog3(x) 的图象与 ylog3x 的图象关于 y 轴对称，显然不符.故选 B. 答案B 4.已知函数 f(x) log2x，x0， 3 x1，x0，则 f(f(1)f log31 2 的值是() A.5B.3C.1D
3、.7 2 解析由题意可知 f(1)log210， f(f(1)f(0)3012， f log31 2 3log31 213log 321213， 所以 f(f(1)f log31 2 5. 答案A 5.(2016浙江卷)已知 a，b0 且 a1，b1，若 logab1，则() A.(a1)(b1)0 C.(b1)(ba)0 解析a0，b0 且 a1，b1. 由 logab1 得 logab a0. a1，且b a1 或 0a1 且 0 b aa1 或 0ba0. 答案D 二、填空题 6.设 f(x)log 2 1xa是奇函数，则使 f(x)0 的 x 的取值范围是_. 解析由 f(x)是奇函数
4、可得 a1， f(x)lg1x 1x，定义域为(1，1). 由 f(x)0，可得 01x 1x1，1x2 (a0， 且 a1)的值域是4， )， 则实数 a 的取值范围是_. 解析当 x2 时，f(x)4；又函数 f(x)的值域为4，)，所以 a1 3loga24， 解 1a2，所以实数 a 的取值范围为(1，2. 答案(1，2 三、解答题 9.设 f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且 f(1)2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域； (2)求 f(x)在区间 0，3 2 上的最大值. 解(1)f(1)2，loga42(a0，a1)， a2. 由 1x0， 3x0，
5、得1x3， 函数 f(x)的定义域为(1，3). (2)f(x)log2(1x)log2(3x) log2(1x)(3x)log2(x1)24， 当 x(1，1时，f(x)是增函数； 当 x(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数 f(x)在 0，3 2 上的最大值是 f(1)log242. 10.(2016衡阳月考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且 f(0)0， 当 x0 时， f(x)log1 2x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解(1)当 x0，则 f(x)log1 2(x). 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)lo
6、g1 2(x)， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x) log1 2x，x0， 0，x0， log1 2（x） ，x2 转化为 f(|x21|)f(4). 又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数， 所以|x21|4，解得 5xbcB.cba C.cabD.acb 解析函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x(，0时，f(x)为减函数， f(x)在0，)为增函数， bf(log1 24)f(2)f(2)，12 0.32ba. 答案B 12.已知函数 f(x)ln x 1x，若 f(a)f(b)0，且 0ab1，则 ab 的取值范围 是_. 解析由题意可知 ln a 1aln b 1b
7、0， 即 ln a 1a b 1b 0，从而 a 1a b 1b1，化简得 ab1，故 aba(1a) a2a a1 2 2 1 4， 又 0ab1， 0a1 2，故 0 a1 2 2 1 4 1 4. 答案 0，1 4 13.(2016浙江卷)已知 ab1，若 logablogba5 2，a bba，则 a_，b _. 解析logablogbalogab 1 logab 5 2， logab2 或1 2.ab1，log ab0，且 a1)的最大值是 1， 最小值是1 8，求 a 的值. 解由题意知 f(x)1 2(log ax1)(logax2) 1 2(log 2 ax3logax2) 1 2 logax3 2 2 1 8. 当 f(x)取最小值1 8时，log ax3 2. 又x2，8，a(0，1). f(x)是关于 logax 的二次函数， 函数 f(x)的最大值必在 x2 或 x8 时取得. 若1 2 loga23 2 2 1 81，则 a2 1 3， 此时 f(x)取得最小值时，x(21 3) 3 2 22，8，舍去. 若1 2 loga83 2 2 1 81，则 a 1 2， 此时 f(x)取得最小值时，x 1 2 3 22 22，8， 符合题意，a1 2.
