1、第第 8 讲讲曲线与方程曲线与方程 一、选择题 1.方程(2x3y1)( x31)0 表示的曲线是() A.两条直线B.两条射线 C.两条线段D.一条直线和一条射线 解析原方程可化为 2x3y10， x30 或 x310，即 2x3y10(x3) 或 x4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线. 答案D 2.(2017衡水模拟)若方程 x2y 2 a 1(a 是常数)，则下列结论正确的是() A.任意实数 a 方程表示椭圆B.存在实数 a 方程表示椭圆 C.任意实数 a 方程表示双曲线D.存在实数 a 方程表示抛物线 解析当 a0 且 a1 时，方程表示椭圆，故选 B. 答案B 3.(201
2、7长春模拟)设圆(x1)2y225 的圆心为 C，A(1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹 方程为() A.4x 2 21 4y 2 25 1B.4x 2 21 4y 2 25 1 C.4x 2 25 4y 2 21 1D.4x 2 25 4y 2 21 1 解析M 为 AQ 的垂直平分线上一点， 则|AM|MQ|， |MC| |MA|MC|MQ|CQ|5，故 M 的轨迹是以定点 C，A 为 焦点的椭圆. a5 2，c1，则 b 2a2c221 4 ， M 的轨迹方程为4x 2 25 4y 2 21 1. 答案D 4.设点
3、 A 为圆(x1)2y21 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|1，则点 P 的 轨迹方程是() A.y22xB.(x1)2y24 C.y22xD.(x1)2y22 解析如图，设 P(x，y)，圆心为 M(1，0)，连接 MA，则 MAPA，且|MA|1， 又|PA|1， |PM| |MA|2|PA|2 2， 即|PM|22，(x1)2y22. 答案D 5.平面直角坐标系中，已知两点 A(3，1)，B(1，3)，若点 C 满足OC 1OA 2OB (O 为原点)，其中1，2R，且121，则点 C 的轨迹是() A.直线B.椭圆 C.圆D.双曲线 解析设 C(x，y)，因为OC 1OA 2OB
4、 ， 所以(x，y)1(3，1)2(1，3)，即 x312， y132， 解得 1 y3x 10 ， 23yx 10 ， 又121， 所以y3x 10 3yx 10 1，即 x2y5 ， 所以点 C 的轨迹为直线，故选 A. 答案A 二、填空题 6.已知两定点 A(2，0)，B(1，0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹 所包围的图形的面积为_. 解析设 P(x，y)，由|PA|2|PB|， 得 （x2）2y22 （x1）2y2， 3x23y212x0，即 x2y24x0. P 的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为 2 的圆. 即轨迹所包围的面积等于 4. 答案4 7.已知
5、点 A(1，0)，直线 l：y2x4，点 R 是直线 l 上的一点，若RA AP，则 点 P 的轨迹方程为_. 解析设 P(x， y)， R(x1， y1)， 由RA AP知， 点 A 是线段 RP 的中点， xx1 2 1， yy1 2 0， 即 x12x， y1y. 点 R(x1，y1)在直线 y2x4 上， y12x14，y2(2x)4，即 y2x. 答案y2x 8.在ABC 中，|BC |4，ABC 的内切圆切 BC 于 D 点，且|BD |CD |2 2， 则顶点 A 的轨迹方程为_. 解析以 BC 的中点为原点，中垂线为 y 轴建立如图所示的坐标系，E，F 分别 为两个切点. 则|
6、BE|BD|，|CD|CF|， |AE|AF|. |AB|AC|2 2|BC|4， 点 A 的轨迹为以 B， C 的焦点的双曲线的右支(y0)且 a 2， c2， b 2， 轨迹方程为x 2 2 y 2 2 1(x 2). 答案 x2 2 y 2 2 1(x 2) 三、解答题 9.如图所示，动圆 C1：x2y2t2，1t3，与椭圆 C2： x2 9 y21 相交于 A，B，C，D 四点，点 A1，A2分别为 C2的 左、右顶点.求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程. 解由椭圆 C2：x 2 9 y21，知 A1(3，0)，A2(3，0)， 由曲线的对称性及 A(x0，y0)，得
7、B(x0，y0)， 设点 M 的坐标为(x，y)， 直线 AA1的方程为 y y0 x03(x3). 直线 A2B 的方程为 y y0 x03(x3). 由得 y2 y20 x209(x 29). 又点 A(x0，y0)在椭圆 C 上，故 y201x 2 0 9 . 将代入得x 2 9 y21(x3，y0). 因此点 M 的轨迹方程为x 2 9 y21(x3，y3) D.x 2 16 y2 9 1(x4) 解析如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|， 所以|CA|CB|8263). 答案C 12.已知两点 M(2，0)，N(2，0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足|MN |
8、MP | MN NP 0，则动点 P(x，y)的轨迹方程为( ) A.y28xB.y28x C.y24xD.y24x 解析MN (4，0)，MP (x2，y)，NP (x2，y). |MN |4，|MP |（x2）2y2， MN NP 4(x2).根据已知条件得 4 （x2）2y24(2x). 整理得 y28x.点 P 的轨迹方程为 y28x. 答案B 13.如图，P 是椭圆x 2 a2 y2 b21 上的任意一点，F 1，F2是它的两 个焦点，O 为坐标原点，且OQ PF1 PF2 ，则动点 Q 的轨 迹方程是_. 解析由于OQ PF1 PF2 ， 又PF1 PF2 PM 2PO 2OP ，
9、 设 Q(x，y)，则OP 1 2OQ x 2， y 2 ，即 P 点坐标为 x 2， y 2 ，又 P 在椭 圆上，则有 x 2 2 a2 y 2 2 b2 1，即 x2 4a2 y2 4b21. 答案 x2 4a2 y2 4b21 14.(2016全国卷)已知抛物线 C：y22x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点. (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：ARFQ； (2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程. 解由题设 F 1 2，0，设 l1：ya，l2：yb，
10、则 ab0， 且 A a2 2 ，a ，B b2 2 ，b ，P 1 2，a，Q 1 2，b，R 1 2， ab 2. 记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0. (1)证明由于 F 在线段 AB 上，故 1ab0. 记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2， 则 k1 ab 1a2 ab a2ab 1 a ab a bk2. 所以 ARFQ. (2)设过 AB 的直线为 l，设 l 与 x 轴的交点为 D(x1，0)， 则 SABF1 2|ba|FD| 1 2|ba| x11 2|， SPQF|ab| 2 .由题设可得|ba|x 11 2|ab| 2 ，所以 x11，x10(舍去). 设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y). 当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kABkDE可得 2 ab y x1(x1).而 ab 2 y， 所以 y2x1(x1). 当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合. 所以，所求轨迹方程为 y2x1.
