1、第三章第三章 函数函数 3 3. .1 1. .1 1 函数及其表示方法函数及其表示方法 我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在 一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程 中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函 数. ， 再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函 数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。 （1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创 新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。 以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y
2、的 的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？ （2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此 可以描绘出心电图，如下图所示。医生在看心电图时，会根据图形 的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率 等）. 如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的 函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？ 初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问 题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中 的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不 同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有 了限制
3、，等等。 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果 对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对 应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作 y=f（x），xA， 其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围 （即数集A）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合 yB|y=f（x），xA 称为函数的值域. 函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用 其他小写英文字母如g，h等表示。 值得注意的是，这种函数的表示中，自变量与因变量 用什么字母来表示是无关紧要的，例如函数 f（x）=2x+1，xR与 y=2s+1，sR 应该看成同一个函数.习惯上，人
4、们总用x表示自变量， y表示因变量 更一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关 系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数 值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.例 如 y= ，xR与g（x）=|x|，xR表示同一个函数. 在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省 略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所 有实数组成的集合。 在上述约定下，以下表达式都可以表示函数f（x）=2x+1，xR： f（x）=2x+1， y=2x+1. 典型例题 例1 求下列函数的定义域： （1）f（x）= （2）g（x）= 1x 1 2x 1 x
5、 1 以下都是求函数定义域常用的依据： （1）分式中分母不能为零； （2）二次根式中的被开方数要大于或等于零. 典型例题 例2 设函数g（x）= 的值域为S，分别判断-和3是否是 S中的元素. 1x 例2的解法，实质上是在用方程判断一个数是否属于函数的 值域. 典型例题 例3 已知f(x)= （1）求f（-1），f（0）和f（2）； （2）求函数f（x）的值域. 1 1 x 2 判断方程 是否有解，由此给出求函数f（x）值 域的一种方法。 例3（2）中的方法一实质上用的是不等式的性质. 前面我们所接触到的函数y=f（x）中，绝大多数f（x） 都是用代数式（或解析式）来表示的，例如f（x）=2x
6、+1，这种表 示函数的方法称为解析法. 前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表 的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表 法. 如果将这个函数记为i=f（y），则从表格中可以看出 f（2013）=152.6，f（2 015）=171.5 另外，如果将这个函数的定义域记为D，值域记为S，则有 D=2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015， S=116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5 前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给 出了函数的对应关系. 一般地，将函数y=f（x
7、），xA中的自变量x和对应的函数 值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件 的点（x，y）组成的集合F称为函数的图像，即 F=（x，y）|y=f（x）， xA）. 这就是说，如果F是函数y=f（x）的图像，则图像上任意一点 的坐标（x，y）都满足函数关系y=f（x）；反之，满足函数关系y=f （x）的点（x，y）都在函数的图像F上. 用函数的图像表示函数的方法称为图像法. 从理论上来说，要作出一个函数的图像，只需描出所有点 即可.但是，很多函数的图像都由无穷多个点组成，描出所有点并不 现实.因此，实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点， 然后再根据有关性质作出函数
8、图像，这称为描点作图法. 例如，我们知道，一次的数y=-x+1的图像是一条直线，又易知 图像过点（0，1）和（1，0），所以容易作出其图像如下图所示. 典型例题 例4 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量 不超过180m3的部分，水价为5元/m3；超过180m3但不超过260m3的部分， 水价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为xm3，其要缴纳的水费为f （x）元。假设0 x260，试写出f（x）的解析式，并作出f（x）的 图像. 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区 间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 【尝试与发现尝试与发现】 函数D（x）=1
9、，xQ =0，x Q 被称为秋利克雷函数， 你能说出这个函数的定义域、值域吗？你能作出这个函数的图像 吗？ 可以看出，狄利克雷函数的定义域为R，值域为0，1，但它 的图像不能形象地展示出来。 典型例题 例4 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量 不超过180m3的部分，水价为5元/m3；超过180m3但不超过260m3的部分， 水价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为xm3，其要缴纳的水费为f （x）元。假设0 x260，试写出f（x）的解析式，并作出f（x）的 图像. 典型例题 例5 设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应关 系是否是函数。如果是
10、，作出这个函数的图像；如果不是，说明理由。 依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数。 解 因为当nZ且xn，n+1）时，有 y=n， 因为任何一个实数x，都必定在某个形如n，n+1）的区间内.因此给 定一个x，有唯一的y与之对应，所以这种对应关系是函数。 由上可看出， 在每一个区间n，n+1）内，函数的图像是直 线的一部分，由此可作出这个函数的图像如下图所示。 例5中的函数通常称为取整函数，记作 y=x， 其定义域是R，值域是Z 这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯 取整函数. 在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类 函数通常称为常数函数.也就
11、是说，常数函数中所有自变量对应的函数 值都相等.例如f（x）=7，xR是一个常数函数，它的值域是7，图 像是一条垂直于y轴的直线. 典型例题 例6已知函数y= ，指出这个函数的定义域、值域，并作出这 个函数的图像. x 解解 函数的定义域为0，+）.由y= 在y0时有解可 知，函数的值域为0，+）. 通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如下图所示. x 由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的 解析式也具有多种形式.在确定函数的解析式时，可以借助方程 或方程组的知识，使用待定系数法完成，如例7所示. 典型例题 例7 已知二次函数的图像过点（-1，4），（0，1），（1，2），求 这
12、个二次函数的解析式. 解 设函数解析式为y=ax2+bx+c（a0），则 由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函数解析式为 a-b+c=4， c=1， a+b+c=2. y=2x2-x+1. 典型例题 例8 已知f（x）=x2，求f（x-1）. 【尝试与发现】 求出f（0），f（1），f（2）的值，再求出f（a），f（a-1）. 解 由已知可得 f（x-1）=(x-1)2=x2-2x+1. 例8中，如果设g（x）=f（x-1），则有g（x）=x2-2x+1，因此g（x） 与f（x）是不同的函数. 已知f（x-1）=x2，你能求出f（x）的解析式吗？试总 结f（x）与f（x-1）的关系. 利用计算机软件可以迅速作出函数的图像，从而可以观察 函数的性质等。 在GeoGebra中，只要输入函数的表达式，就可以得到对应的图 像.例如，依次输入以下各行内容（每输完一行之后按回车键）： f（x）=1/（x2+1） g（x）=sqrt（x） h（x）=x2 i（x）=h（x-1） j（x）=if 0=x=1，x，if 1x=2，2-x 即可得到如下图所示的函数解析式和函数图像（最后的命令实际上 是画出了分段函数的图像）.
