1、3.2.3.2.2 2 奇偶奇偶性性 第三章第三章 函数概念与性质函数概念与性质 一、引入一、引入 观察下列图片，你有何感受观察下列图片，你有何感受? ? 新课新课 在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 和和 的图象的图象 2 xy 2yx 并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。 x y o 1 2 3 4 5 -1 123-1-2-3 x -3-2 -1 0123 f(x)=x2 x -3-2 -1 0123 f(x)=|x|9 4 1 0 1 4 9-1 0 1 2 1 0 -1 x y o 1 2
2、3 4 5 -1 123-1-2-3 图象关于图象关于y轴对称轴对称 f(-1)f(1) f(-2)f(2) f(-3)f(3) = = = -xx (x.f(x) (-x,f(-x) f(-x)f(x)= 任意一点任意一点 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x,都都 有有f(-x)=f(x), 那么函数那么函数f(x) 就叫做偶函数就叫做偶函数. 偶函数偶函数 偶函数的图象偶函数的图象关于关于y轴对称轴对称. 偶函数的定义域偶函数的定义域关于关于原点原点对称对称. O a-ab-b 思考思考: :定义中定义中“任意一个任意一个x, ,都有都有f
3、(-(-x)=)=f( (x) )成立成立”说明了什么？说明了什么？ f(-(-x) )与与f( (x) )都有意义都有意义， 说明说明- -x、x必须同时属于定义域必须同时属于定义域， 牛刀小试 判断下列函数是否为偶函数。 22 (1) ( ), 1,1.(2) ( ), 1,1)f xxxf xxx 是 不是 观察函数观察函数 和和 的图象，并完成下的图象，并完成下 面的两面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共 同特征吗？同特征吗？ xxf)( x xf 1 )( 图象关于原点对称图象关于原点对称 111ff 222ff 333ff x
4、-x 观察函数观察函数 和和 的图象，并完成下的图象，并完成下 面的两面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共 同特征吗？同特征吗？ xxf)( x xf 1 )( ()fx x-3-2-10123 f (x)-3-2-10123 图象关于原点对称图象关于原点对称 ()( )fxf x ( )f x 奇函数的定义：奇函数的定义： 奇函数要满足奇函数要满足： 、定义域关于原点对称、定义域关于原点对称 奇函数图奇函数图象特征：象特征： 奇函奇函数的数的图象关于图象关于原点原点对对称称，反之，一个函数的，反之，一个函数的 图象关于图象关于原点原点对称
5、，那么它是奇函对称，那么它是奇函数数 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一任意一 个个x，都有，都有 ，那么函数，那么函数f(x)就叫做就叫做奇奇 函数函数 ()( )fxf x ()( )fxf x 例例1：判断下列函数的奇偶性： 2 54 1 )()4( 1 )()3( )()2()()1( x xf x xxf xxfxxf 4 )(1xxf）（ 5 )(2xxf=）（ 解：（1）函数f(x)=x4的定义域是R.因为对于任意 的xR，都有 f(-x)=(x)4 =x4= f(x), 所以函数f(x)=x4是偶函数。 （2）函数f(x)= x5的定义域
6、是R.因为对于任意的 xR，都有 f(-x)= （-x）5 = -x5 = -f(x), 所以函数f(x)= x5是奇函数。 例例1：判断下列函数的奇偶性： 2 54 1 )()4( 1 )()3( )()2()()1( x xf x xxf xxfxxf 4 )(1xxf）（ 5 )(2xxf=）（ 解：（3）函数 的定义域是 .因为对于任意的 ， 都有 , 所以函数 是奇函数。 （4）函数 的定义域是 .因为对于任意的 ， 都有 , 所以函数 是奇函数。 )() 1 ( 1 )(xf x x x xxf x xxf 1 )( 2 1 )( x xf 0|xx 0|xxx 0|xxx )(
7、1 )( 1 )( 22 xf xx xf 2 1 )( x xf x xxf 1 )(0|xx 根据定义判断函数的奇偶性的步骤： (3)、根据定义下结论 判断函数的奇偶性的方法：判断函数的奇偶性的方法： (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立； 图象法、定义法图象法、定义法 思考：（1）判断函数 的奇偶性。 （2）如图，是函数 图象的一部分， 你能根据函数的奇偶性 画出它在y轴左边的图象吗？ （3）一般地，如果知道函数为偶（奇）函数，那么 我们可以怎样简化对它的研究？ 3 ( )f xxx 3 ( )f xxx
8、（1）奇函数 达标检测 课堂小结课堂小结 偶函数奇函数 定义 图象 定义域 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个的定义域内任意一个x,都都 有有f(-x)=f(x), 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一 个个x,都有都有f(-x)=-f(x), 关于关于y轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称 关于原点对称关于原点对称 用定义法判断函数的奇偶性的步骤：用定义法判断函数的奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定确定f(-x)和和f(x)的关系；的关系； 作出相应结论。作出相应结论。
