1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1基本计数原理 加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有 1 m种不同的方法，在第 二类办法中有 2 m种方法，在第n类办法中有 n m种不同的方法那么完成这件事共有 12n Nmmm种不同的方法又称加法原理 乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有 1 m种不同的方法， 做第二个步骤有 2 m种不同方法，做第n个步骤有 n m种不同的方法那么完成这件事 共有 12n Nmmm种不同的方法又称乘法原理 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，
2、使用分类 计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、 组合问题的基本思想方法， 这两个原理十分重要必须认真学好， 并正确地灵活加以应用 2 排列与组合 排列： 一般地， 从n个不同的元素中任取()m mn个元素， 按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n个不同的元素中取出()m mn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号Am
3、 n 表示 排列数公式：A(1)(2)(1) m n n nnnm，mn N，并且mn 全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列 n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用!n表示规定：0!1 组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m ()mn个元素并成一组，叫做从n个 元素中任取m个元素的一个组合 组合数：从n个不同元素中，任意取出m ()mn个元素的所有组合的个数，叫做从n个 不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cm n 表示 排列组合问题的常见模型 2 【学而思高中数学讲义】 组合数公式： (1)(2)(1)! C !()! m n
4、n nnnmn mm nm ，,m n N，并且mn 组合数的两个性质：性质 1：CC mn m nn ；性质 2： 1 1 CCC mmm nnn （规定 0 C1 n ） 排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是 分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做 到分类明确，层次清楚，不重不漏 3排
5、除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元 素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列 5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空 6插板法：n个相同元素，分成()m mn组，每组至少一个的分组问题把n个元 素排成一排，从1n 个空中选1m 个空，各插一个隔板，有 1 1 m n C 7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一 般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等， 必须除以m！ 8错位法：编号为 1 至n的n个
6、小球放入编号为 1 到n的n个盒子里，每个盒子放一个 小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n ，3，4，5 时的错位数各为 1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法 转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题 1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途 径： 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数 求解时应注意先把具体问题
7、转化或归结为排列或组合问题； 再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答 2具体的解题策略有： 对特殊元素进行优先安排； 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； 对于元素相邻的条件， 采取捆绑法； 对于元素间隔排列的问题， 采取插空法或隔板法； 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型 【学而思高中数学讲义】 典例分析 分堆问题 【例 1
8、】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ 一堆一本，一堆两本，一堆三本； 甲得一本，乙得两本，丙得三本； 一人得一本，一人得二本，一人得三本； 平均分给甲、乙、丙三人； 平均分成三堆 【例 2】有 6 本不同的书 甲、乙、丙 3 人每人 2 本，有多少种不同的分法？ 分成 3 堆，每堆 2 本，有多少种不同的分堆方法？ 分成 3 堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，有多少种不同的分堆方法？ 分给甲、乙、丙 3 人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本，有多少不同的分配 方法？ 分给甲 1 本、乙 1 本、丙 4 本，有多少种不同的分配方法？ 分成 3 堆，有 2 堆各一本
9、，另一堆 4 本，有多少种不同的分堆方法？ 摆在 3 层书架上，每层 2 本，有多少种不同的摆法？ 【例 3】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？ 选出 5 个人再分成两组，一组 2 人，另一组 3 人； 选出 6 个人，分成两组，每组都是 3 人； 选出 2 人一组、3 人一组，轮流挖土、运土 【学而思高中数学讲义】 【例 4】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分 配方案有种（用数字作答） 【例 5】 把一同排 6 张座位编号为1 2 3 4 5 6， ， ， ， ，的电影票全部分给 4 个人，每人至少分 1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连
10、续的编号，那么不同的分法种数是（） A168B96C72D144 【例 6】 现有 3 辆公交车、3 位司机和 3 位售票员，每辆车上需配 1 位司机和 1 位售票员， 问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 【例 7】 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检， 每校分配 1 名医生和 2 名护士， 不同的分配方法共有（） A90 种B180 种C270 种D540 种 【学而思高中数学讲义】 【例 8】将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一 名志愿者的方案种数为（） A 540B 300C 180D 150 【例 9】某校安排 5 个
11、班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少 安排一个班，不同的安排方法共有种 （用数字作答） 染色问题 【例 10】如图，正五边形ABCDE中，若把顶点 A、B、C、D、E 染上红、黄、绿三种颜 色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（） A 30 种B 27 种C 24 种D 21 种 【例 11】将1 2 3， ，填入3 3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种 填法，则不同的填写方法共有_ 【学而思高中数学讲义】 ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 【例 12】将1, 2, 3填入3 3的方格中，要求每
12、行、每列都没有重复数字，下面是一种 填法，则不同的填写方法共有（） A6种B12种C24种D48种 【例 13】用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允 许只用其中几种） ，使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种 数为（） ? D ? C ? B ? A A24B36C72D84 【例 14】将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内， 每个小方格内 【学而思高中数学讲义】 至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 _种（用数字作答） 【例 15】如图所示A、B、C、D、E为5个区域，现备有5种颜色为5个区域涂 色，涂色要求
13、：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同 的涂色方法？ ? E ? D ? C ? B ? A 【例 16】如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色， 要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方 法共有_种（用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 17】如图， 用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色， 每个格子涂一种颜色 要 求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 _种（用数字作答） 错位排列 【例 18】编号为1, 2, 3, 4, 5的五人入座编号也为1, 2, 3, 4, 5的五个座位， 至多有 2人对号的坐法有_种 【例 19】7 个人到 7 个地方去旅游，甲不去 A 地，乙不去 B 地，问：共有多少种旅 游方案? 【例 20】7 个人到 7 个地方去旅游，甲不去 A 地，乙不去 B 地，丙不去 C 地，问： 共有多少种旅游方案? 【学而思高中数学讲义】 【例 21】7 个人到 7 个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不 去D地，问：共有多少种旅游方案?
