1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 2 BAC， 1 2ABACAA，点G与E分 别为线段 11 AB和 1 C C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点若 GDEF，则线段DF长度的最小值是（） A2B1C 2 5 5 D 2 2 【例 2】 如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 AD 平面ABCD，底面ABCD是边长为1的 正方形，侧棱 1 2AA 求证： 1 C D平面 11 ABB A； 求直线 1 BD与平面 11 AC D所成角的正弦值； 板块五.用空间向量解柱体问 题（1） 【学而思高中数学讲义】 求二面角
2、 11 DACA的余弦值 【例 3】 如图， 在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA， 点D是 11 AB的中点， 点E在 11 AC 上，且DEAE 证明：平面ADE 平面 11 ACC A； 求直线AD和平面 1 ABC所成角的正弦值 ? E ? D ? C ? B ? A ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 【例 4】 如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD， 4AB ，2BCCD， 1 2AA ，E， 1 E，F分别是棱AD、 1 AA、AB的中点 证明：直线 1 EE 平面 1 FCC； 求二面角 1 BFCC的余
3、弦值 ? D ? 1 ? E ? E ? 1 ? F ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 5】 已知正三棱柱 111 ABCABC， 底面边长2AB ， 1 2AA ， 点O、 1 O分别是边AC， 11 AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系 求证： 11 ABBC 若M为 1 BC的中点，试用基向量 1 AA 、AB 、AC 表示向量AM ； 求异面直线 1 AB与BC所成角的余弦值 【学而思高中数学讲义】 【例 6】 如图，直三棱柱 111 ABCABC中，90ACB，1AC ，2CB ，侧棱 1 1AA ， 侧面 11 AAB B的两
4、条对角线交点为D， 11 BC的中点为M 求证：CD 平面BDM； 求面 1 B BD与面CBD所成二面角的大小 ? M ? D ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 7】 如图，正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为3，侧棱 1 3 3 2 AA ，D是CB延长线 上一点，且BDBC ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 求证：直线 1 BC 平面 1 AB D； 求二面角 1 BADB的大小； 求三棱锥 11 CABB的体积 【例 8】 如图，直三棱柱 111 ABCABC，底面ABC中，1CACB，90
5、BCA，棱 1 2AA ，MN，分别是 111 ABA A，的中点， 求BN 的长； 求 1 BA与 1 CB的夹角的余弦值； 【学而思高中数学讲义】 求证： 11 ABC M ? N ? M ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 9】 如图，正三棱柱 111 ABCABC所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱 1 CC的 中点，AE交 1 AD于点H 求证：AE 平面 1 ABD； 求二面角 1 DBAA的大小（用反三角函数表示） ； 求点 1 B到平面 1 ABD的距离 【例 10】如图，已知正三棱柱 111 ABCABC的侧棱长和底面边长均为 1
6、，M是底面BC 边上的中点，N是侧棱 1 CC上的点，且 1 CNNC 求证：AM 面 11 BCC B； （或若E为 1 AB的中点，求证：EM 平面 11 AAC C 若二面角 1 BAMN的平面角的余弦值为 5 5 ，求的值； 在第的前提下，求点 1 B到平面AMN的距离 【学而思高中数学讲义】 ? A ? B ? C ? M ? N ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 【例 11】直三棱柱 111 ABCABC中， 1111 BCACBCAB，求证： 11 ABAC ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 12】直四棱柱 1111 AB
7、CDABC D的底面ABCD为平行四边形，其中2AB ， 1BDBC， 1 2AA ，E为DC中点，F是棱 1 DD上的动点 求异面直线 11 AD与 1 BC所成角的正切值； 当 1 4 DF 时，证明 1 EFBC； 当DF的长为多少时，二面角EFBD的大小为60？ ? F ? E ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 13】如图，圆柱 1 OO内有一个三棱柱 111 ABCABC，三棱柱的底面为圆柱底面的内 接三角形，且AB是圆O直径 【学而思高中数学讲义】 证明：平面 11 A ACC 平面 11 B BCC； 设 1 ABAA， 在圆柱 1 OO内随机选取一点， 记该点取自于三棱柱 111 ABCABC内 的概率为p （i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值； （ii）记平面 11 A ACC与平面 1 BOC所成的角为0 90，当p取最大值时， 求cos的值
