1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 组合体 【例 1】 （2003 京春）一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径 为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 R r 【例 2】 已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设 四面体EFGH的表面积为T，则 T S 等于（） A 1 9 B 4 9 C 1 4 D 1 3 【例 3】 有一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱， 将它的内部挖去一个与它同底等高的圆 锥，求余下来的几何体的表面积与体积 【例 4】 棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截 形体的表面
2、积为（） A 5 4 B 7 8 CD 7 4 【例 5】 已知正三棱锥SABC，一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上，下底 面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的 侧面积为120 求正三棱柱的高； 求正三棱柱的体积； 求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比 【例 6】 （2008 福建 15） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球 的表面积是 板块四.综合问题 【学而思高中数学讲义】 ? A ? B ? C ? D 【例 7】 正方体全面积为24，求它的外接球和内切球的表面积 【例 8】 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在
3、半球的底面圆内，若正方体棱长为 6，则球的表面积和体积的比为_ 【例 9】 棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ 【例 10】（2007 年天津理 12）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的 三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积_ 【例 11】（2008 浙江卷 14）如图，已知球O的球面上四点A、B、C、D，DA 平 面ABC，ABBC，3DAABBC，则球O点体积等于_ 【例 12】（2007 全国文 15） 正四棱锥SABCD的底面边长与各侧棱长都为2， 点S、 A、B、C、D都在同一球面上，则该球的体积为_ ? O ? O ? H ? D ? C
4、 ? B ? A ? S 【学而思高中数学讲义】 【例 13】求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比 （等边圆锥是指轴截面是等 边三角形的圆锥） 【例 14】设圆锥的底面半径为2，高为3，求： 内接正方体的棱长； 内切球的表面积 【例 15】圆台的内切球半径为R，且圆台的全面积和球面积之比为 21 8 ，求圆台的上， 下底面半径 12 ,r r（ 12 rr） 【例 16】一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半 径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面 的高是多少？ 【例 17】（2009 全国卷 I）直三棱柱 111 ABCAB
5、C的各顶点都在同一球面上，若 1 2ABACAA，120BAC，则此球的表面积等于 【例 18】（06 四川卷文 9） 如图， 正四棱锥PABCD底面的四个顶点, ,A B C D在球O 的同一个大圆上，点P在球面上，如果 16 3 PABCD V ，则球O的表面积是（） A4B8C12D16 ? O ? D ? C ? B ? A ? P 【例 19】正四面体棱长为a，求其外接球和内切球的表面积 【例 20】如图所示，正四面体ABCD的外接球的体积为4 3，求四面体的体积 【学而思高中数学讲义】 ? E ? D ? C ? B ? A ? O ? O ? 1 【例 21】（2008 新课标海
6、南宁夏文理） 一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个 球面上，且该六棱柱的体积为 9 8 ，底面周长为3，那么这个球的体积为_ 【例 22】如图，在等腰梯形ABCD中，22,60ABDCDAB ，E为AB的中点， 将ADE与BEC分别沿,ED EC向上折起，使,A B重合于点P，则三棱锥 PDCE的外接球的体积（） ? D ? E ? C ? B ? A A 4 3 27 B 6 2 C 6 8 D 6 24 【例 23】（2008 重庆理 9）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大 球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球
7、心为中心的正 方形的4个顶点 1 V为小球相交部分（图中阴影部分）的体积， 2 V为大球内、小 球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（） A 1 2 V V B 2 2 V V C 12 VVD 12 VV 【学而思高中数学讲义】 【例 24】(2005 全国，理 12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器 里，这个正四面体的高的最小值为() A 32 6 3 B 2 6 2 3 C 2 6 4 3 D 4 32 6 3 综合问题 与三视图、直观图综合 【例 1】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（） A18 3B15 3C248 3D2416
8、3 ? 左视图 ? 俯视图 ? 主视图 ? 2 ? 3 ? 2 【例 25】若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为_ ? 左视图 ? 俯视图 ? 主视图 ? 2 ? 3 ? 2 【例 26】（2009宁夏海南卷理） 一个棱锥的三视图如图， 则该棱锥的全面积 （单位： 2 cm） 为（） A4812 2B4824 2 C3612 2D3624 2 【例 27】（2010 年丰台一模）年丰台一模） 若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm） ， 【学而思高中数学讲义】 则该几何体的体积是 3 cm 【例 28】（2010 石景山石景山一模一模） 一个几何体的三视图如图所
9、示，那么此几何体的侧面积（单位： 2 cm）为（） A80B60C40D20 【例 29】（20102010 年东城一模）年东城一模） 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 【例 30】（20102010 年东城一模）年东城一模） 已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（） A62 2B62C52 2D52 【学而思高中数学讲义】 【例 31】（2010 年宣武一模）年宣武一模） 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 3 cm 【例 32】右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 _ 【例 33】（20102010 年年崇文一
10、模崇文一模） 有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm） ，该几何体的表面积和体积为 （） A 23 24cm ,12cmB 23 15cm ,12cm C 23 24cm ,36cmD以上都不正确 【学而思高中数学讲义】 【例 34】（朝朝阳阳文文题题 12） 如下图所示， 一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为 1 的正方形， 俯视图是一 个直径为 1 的圆，那么这个几何体的全面积为 俯视图 侧视图 正视图 【例 35】（2010 天津高考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 【学而思高中数学讲义】 【例 36】（2010 浙江高考）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所
11、示，则此几何体 的体积是 3 cm 【例 37】（2010 年崇文二模）年崇文二模） 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（） A12B 8 3 3 C 56 3 D4 【例 38】（20102010 年年朝阳二模朝阳二模） 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（） A112B80C72D64 【学而思高中数学讲义】 【例 39】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边 长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形 求该几何体的体积V； 求该几何体的侧面积S 【例 40】已知某个几何体的三视
12、图如下，根据图中标出的尺寸， ? 20 ? 10 ? 10 ? 20 ? 20 ? 20 ? 主视图 ? 左视图 ? 俯视图 可得这个几何体的体积是_ 【例 41】（2009 扬州中学高三期末）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所 【学而思高中数学讲义】 示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ? 2 ? 4 ? 3 【例 42】（2008 山东文理 6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何 体的表面积是（） A9B10 C11D12 【例 43】已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形， 俯视图是直径为 2的圆，如图，则此几何体的外接球的表面积为 ? 俯视图 ? 左
13、视图 ? 主视图 【例 44】（2008 新课标海南宁夏） 如下的三个图中， 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图， 它的正视 图和侧视图在下面画出（单位：cm） 在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； 按照给出的尺寸，求该多面体的体积； 在所给直观图中连结 BC ，证明：BC面EFG 【学而思高中数学讲义】 【例 45】一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中 M、 N 分别是 AF、 BC 的中点） ? 直观图 ? 三视图 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? N ? M ? F ? E ? D ? C ? B ? A 求证：MN平
14、面 CDEF； 求多面体 ACDEF 的体积 其他问题 【例 46】已知一个全面积为 24 的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积 为 【例 47】有一塔形几何体由若干个正方体构成， 构成方式如图所示， 上层正方体下底面 的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为 2，且该 塔形的表面积（包括上下底面面积）超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是 【学而思高中数学讲义】 （） A4B5C6D7 【例 48】（2001 年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：单向倾斜； 双向倾斜；四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为 1 P、 2 P、 3 P若屋顶斜面 与水平
15、面所成的角都是a，则（） A 321 PPPB 321 PPP C 321 PPPD 321 PPP 杂题 【例 49】（2008 江西） 如图 1， 一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥 形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P如果将容 器倒置，水面也恰好过点P（图 2） 有下列四个命题： A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号） 【例 50】（2002 年全国文最后一题）给出两块相
16、同的正三角形纸片（如图 1，图 2） ， 要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型， 另一块剪拼成一个正三棱柱模型， 使它们 的全面积都与原三角形的面积相等， 请设计一种剪拼方法， 分别用虚线标示在图 1、 图 2 中，并作简要说明； 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3） ，要求剪拼成一个直三棱柱，使 它的全面积与给出的三角形的面积相等请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明 P P 图 12图 【学而思高中数学讲义】 ? 图3 ? 图2 ? 图1 【例 51】（2006 江苏）两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1
17、的正方 体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点 均在正方 体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（） A1个B2个 C3个D无穷多个 【例 52】（06 江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与 四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体 分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是 1 S， 2 S，则必有（） A 12 SSB 12 SS C 12 SSD 1 S， 2 S的大小关系不能确定 【例 53】（2004 福建，16）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等 的
18、四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（如图） 当这个正六棱 柱容器的底面边长为时，其容积最大 【学而思高中数学讲义】 【例 54】（2005 全国， 理 12） 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容 器里，这个正四面体的高的最小值为（） A 32 6 3 B 2 6 2 3 C 2 6 4 3 D 4 32 6 3 【例 55】养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建 的仓库的底面直径为12 m，高4m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放 更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变） ； 二是高度增加4m（底面直径不变） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； 哪个方案更经济些？
