1、第第 3 节节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 考试要求1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数， 了解周期性的概念和几何意义. 知 识 梳 理 1.函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x) f(x)，那么函数 f(x)是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x) f(x)，那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内 的任何值时，都有 f(xT)f(
2、x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个 函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 常用结论与微点提醒 1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|). 2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原 点对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0).
3、 (2)若 f(xa) 1 f（x），则 T2a(a0). (3)若 f(xa) 1 f（x），则 T2a(a0). (4)若 f(xa)f(x)c，则 T2a(a0，c 为常数). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象 关于直线 xa 对称. (3)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)函数 yx2在 x(
4、0，)时是偶函数.() (2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)0.() (3)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期.() (4)若函数 f(x)满足关系 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于点 ab 2 ，0 对 称.() 解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故 yx2在(0，)上不具有奇偶 性，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，其在 x0 处有意义时才满足 f(0)0， (2)错. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第一册 P84 例 6 改编)下列函数中为偶函数的是() A.yx2sin xB.yx
5、2cos x C.y|ln x|D.y2 x 解析根据偶函数的定义知偶函数满足 f(x)f(x)且定义域关于原点对称， A 选 项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，)，不具有奇偶性；D 选 项既不是奇函数，也不是偶函数. 答案B 3.(老教材必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数， 当x1， 1)时，f(x) 4x22，1x0， x，0 x1， 则 f 3 2 _. 解析由题意得，f 3 2 f 1 2 4 1 2 2 21. 答案1 4.(2020济南一中月考)已知 f(x)ax2bx 是定义在a1，2a上的偶函数，那么 ab 的值是() A.1 3
6、B.1 3 C.1 2 D.1 2 解析由题意，得 b0，且 2a(a1)，解得 a1 3，则 ab 1 3. 答案B 5.(2019全国卷)设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则当 x0 时，f(x) () A.e x1 B.e x1 C.e x1 D.e x1 解析由题意知，当 x0 时，f(x)f(x)(e x1)ex1. 答案D 6.(2020衡水中学调研)已知定义在R上的偶函数f(x)， 满足f(x2)f(x)， 当x0， 1时，f(x)ex1，则 f(2 017)f(2 018)_. 解析由 f(x2)f(x)可知，函数 f(x)的周期为 2，又 f(x)为偶函数
7、，f(2 017) f(2 018)f(2 0161)f(0)f(1)f(0)f(1)f(0)e1. 答案e1 考点一函数的奇偶性及其应用多维探究 角度 1函数奇偶性的判断 【例 11】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 3x2 x23； (2)f(x)lg（1x 2） |x2|2 ； (3)f(x) x2x，x0； (4)f(x)log2(x x21). 解(1)由 3x20， x230，得 x 23，解得 x 3， 即函数 f(x)的定义域为 3， 3， 从而 f(x) 3x2 x230. 因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)， 函数 f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)由
8、1x20， |x2|2，得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称. x20，|x2|2x，f(x)lg（1x 2） x . 又f(x)lg1（x） 2 x lg（1x 2） x f(x)， 函数 f(x)为奇函数. (3)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称. 当 x0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 当 x0 时，x0 且 a1)，则函数 f(x)的奇偶性 () A.与 a 无关，且与 b 无关B.与 a 有关，且与 b 有关 C.与 a 有关，但与 b 无关D.与 a 无关，但与 b 有关 (2)(角度 2)若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则
9、 a_. 解析(1)f(x) 2 a x1b 2ax ax1bf(x)， 所以 f(x)一定不是偶函数； 设 f(x)为奇函数，则由奇函数的定义知 f(x)f(x)0. 即2a x ax1b 2 ax1b 2（ax1） ax1 2b22b0，解得 b1， 即当 b1 时，f(x)为奇函数， 当 b1 时，f(x)为非奇非偶函数， 所以 f(x)的奇偶性与 a 无关，但与 b 有关. (2)由于 f(x)f(x)， 即 ln(e 3x1)axln(e3x1)ax， 化简得 2ax3x0(xR)，则 2a30， 解得 a3 2. 答案(1)D(2)3 2 考点二函数的周期性及其应用 【例 2】 (
10、1) (2020福州调研)已知函数 f(x)对任意 xR，都有 f(x2)f(x)，当 x(0，)时，f(x)2sin x 2，则 f 19 3() A.1 2 B. 3 2 C.1D. 3 (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，且当 x(1，4时，f(x) 3x1，则 f(1)f(2)f(3)f(100)_. 解析(1)因为 f(x2)f(x)，所以 f(x)的周期为 2. 所以 f 19 3f 6 3 f 23 3 f 3 ， 又因为当 x(0，)时，f(x)2sin x 2， 所以 f 3 2sin 61. (2)由题意，得 f(1)f(4)11，f(2)5，
11、f(3)8. 故 f(1)f(2)f(3)24， 所以 f(1)f(2)f(3)f(100)33f(1)f(2)f(3)f(3331)803. 答案(1)C(2)803 规律方法1.注意周期性的常见表达式的应用. 2.根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的 解析式(或相应的函数值). 【训练 2】 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)2 3，且对任意的 x 都有 f(x2) 1 f（x），则 f(2 020)_. (2)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x， 则函数 yf(x)的图象在区间0，
12、6上与 x 轴的交点个数为_. 解析(1)由 f(x2) 1 f（x），得 f(x4) 1 f（x2）f(x)，所以函数 f(x)的 周期为 4，所以 f(2 020)f(4).又 f(2)2 3，所以 f(4) 1 f（2） 1 2 3 2 3.故 f(2 020)2 3. (2)因为当 0 x2 时，f(x)x3x.又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f(0)0， 则 f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又 f(1)0，f(3)f(5)f(1)0， 故函数 yf(x)的图象在区间0，6上与 x 轴的交点有 7 个. 答案(1)2 3(2)7 考点三函数性质的综合运用多
13、维探究 角度 1函数的单调性与奇偶性 【例 31】 (1)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)xf(x).若 ag(log25.1)， bg(20.8)，cg(3)，则 a，b，c 的大小关系为() A.abcB.cba C.bacD.bcf(2x1) 成立的 x 的取值范围为_. 解析(1)易知 g(x)xf(x)在 R 上为偶函数， 奇函数 f(x)在 R 上是增函数，且 f(0)0. g(x)在(0，)上是增函数. 又 3log25.1220.8，且 ag(log25.1)g(log25.1)， g(3)g(log25.1)g(20.8)，则 cab. (2)由已知得函数 f
14、(x)为偶函数，所以 f(x)f(|x|)， 由 f(x)f(2x1)，可得 f(|x|)f(|2x1|). 当 x0 时，f(x)ln(1x) 1 1x2， 因为 yln(1x)与 y 1 1x2在(0，)上都单调递增，所以函数 f(x)在(0， )上单调递增. 由 f(|x|)f(|2x1|，可得|x|2x1|， 两边平方可得 x2(2x1)2，整理得 3x24x10， 解得1 3xf(x2)的形式，再结合单调性，脱去 法则“f”变成常规不等式，如 x1x2)求解. 角度 2函数的奇偶性与周期性 【例 32】 (1)(多选题)(2020济南模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f
15、(x 4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则() A.f(2 019)f(2 017)B.f(2 019)f(2 016) C.f(2 016)f(2 019)D.f(2 016)f(2 018) (2)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3 a1 ，则实 数 a 的取值范围为() A.(1，4)B.(2，0) C.(1，0)D.(1，2) 解析(1)因为 f(x)满足 f(x4)f(x)， 所以 f(x8)f(x)， 所以定义在 R 上的奇 函数 f(x)是以 8 为周期的函数， 则 f(2 016)f(0)0， f(2 017)f(1)，
16、 f(2 018)f(2)， 而由 f(x4)f(x)得 f(2 019)f(3)f(3)f(14)f(1)， 又因为 f(x)在0， 2上是增函数， 所以 f(2)f(1)f(0)0， 即 f(2 019)f(2 017)， f(2 016)f(2 019)， 故选 AC. (2)因为 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数. f(5)f(1)f(1)1. 从而2a3 a1 1，解得1a4. 答案(1)AC(2)A 规律方法1.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期 性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 2.函数 f(x)满足的关
17、系 f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性， 函数 f(x)满足 的关系 f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要 混淆. 【训练 3】 (1)(角度 1)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上单调递增，若 f(ln x)f(2)，则 x 的取值范围是() A.(0，e2)B.(e 2，) C.(e2，)D.(e 2，e2) (2)(角度 2)已知奇函数 f(x)的图象关于直线 x3 对称， 当 x0， 3时， f(x)x， 则 f(16)_. 解析(1)根据题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，则 f(ln x)f(2) |ln x|2，
18、即2ln x2，解得 e 2x3 的解集为() A.(，2)(2，)B.(，4)(4，) C.(2，2)D.(4，4) 解析由题意，f(0)log22b0，解得 b1. 所以 f(x)log2(x2)x1，f(2)3，且在 R 上单调递增，又|f(x)|3，所以 |f(x)|f(2)，即 f(x)f(2)或 f(x)2 或 x1，即 m1 时，f(m2)f(x1)f(3x)， 则有 m23x 对 x1，0恒成立，则10 为奇函数，则 a() A.1B.1C.0D.1 解析由题意，得 f(x)f(x)，则 f(1)f(1)，即 1aa1，得 a 1(经检验符合题意). 答案A 3.若函数 f(x
19、)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数， 当 0 xf(3)B.f(2)f(6) C.f(3)f(5)D.f(3)f(6) 解析yf(x4)为偶函数，f(x4)f(x4)， 因此 yf(x)的图象关于直线 x4 对称， f(2)f(6)，f(3)f(5). 又 yf(x)在(4，)上为减函数， f(5)f(6)，所以 f(3)f(6). 答案BCD 5.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f x3 2 f(x)，当 x 0，1 2 时，f(x)log1 2(1x)， 则 f(x)在区间 1，3 2 内是() A.减函数且 f(x)0B.减函数且 f(x)0D.增函数且 f(x)0. 又函数
20、 f(x)为奇函数，所以在区间 1 2，0上函数也单调递增，且 f(x)0. 由 f x3 2 f(x)知， 函数的周期为3 2， 所以在区间 1，3 2 上， 函数单调递增且 f(x)0 时，f(x)ln x，则 f f 1 e2的值为_. 解析由已知可得 f 1 e2ln 1 e22， 所以 f f 1 e2f(2).又 f(x)是奇函数， 所以 f f 1 e2f(2)f(2)ln 2. 答案ln 2 7.(多填题)奇函数 f(x)在区间3，6上是增函数，且在区间3，6上的最大值为 8， 最小值为1，则 f(6)_，f(3)_. 解析由于 f(x)在3，6上为增函数，所以 f(x)的最大
21、值为 f(6)8，f(x)的最小值 为 f(3)1，因为 f(x)为奇函数，所以 f(3)f(3)1. 答案81 8.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间0， )上是单调递增的.如果实 数 t 满足 f(ln t)f ln 1 t 2f(1)，那么 t 的取值范围是_. 解析由于函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 所以 f(ln t)f ln 1 t ， 由 f(ln t)f ln 1 t 2f(1)，得 f(ln t)f(1). 又函数 f(x)在区间0，)上是单调递增的， 所以|ln t|1，即1ln t1，故1 ete. 答案 1 e，e 三、解答题 9.已知函数
22、f(x) x22x，x0， 0，x0， x2mx，x0 是奇函数. (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数 a 的取值范围. 解(1)设 x0， 所以 f(x)(x)22(x)x22x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x). 于是 x1， a21， 所以 1a3， 故实数 a 的取值范围是(1，3. 10.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 都有 f 3 2xf 3 2x成 立. (1)证明 yf(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值； (3)若 g(x)x2ax3，且 y|f(
23、x)|g(x)是偶函数，求实数 a 的值. 解(1)由 f 3 2xf 3 2x， 且 f(x)f(x)，知 f(3x)f 3 2 3 2x f 3 2 3 2x f(x)f(x)， 所以 yf(x)是周期函数，且 T3 是其一个周期. (2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0， 且 f(1)f(1)2，又 T3 是 yf(x)的一个周期，所以 f(2)f(3)f(1) f(0)202. (3)因为 y|f(x)|g(x)是偶函数， 且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数. 故 g(x)x2ax3 为偶函数，即 g(x)g(x)恒成立， 于是(x)2
24、a(x)3x2ax3 恒成立. 于是 2ax0 恒成立，所以 a0. B 级能力提升 11.(2020泉州质检)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0，1 时，f(x)2xcos x，则下列结论正确的是() A.f 2 020 3f 2 019 2f(2 018) B.f(2 018)f 2 020 3f 2 019 2 C.f(2 018)f 2 019 2f 2 020 3 D.f 2 019 2f 2 020 3f(2 018) 解析f(x)是奇函数，f(x2)f(x)f(x)， f(x4)f(x)，则 f(x)的周期为 4. 因此 f(2 018)f(2)
25、f(0)，f 2 019 2f 1 2 ， f 2 020 3f 16844 3 f 4 3 f 2 3 ， 又 x0，1时，f(x)2xcos x 单调递增， f(0)f 1 2 f 2 3 ， 故 f(2 018)f 2 019 20，f(x2) 1 f（x）对任意 xR 恒成立， 则 f(2 023)_. 解析因为 f(x)0，f(x2) 1 f（x）， 所以 f(x4)f(x2)2 1 f（x2） 1 1 f（x） f(x)， 则函数 f(x)的周期是 4， 所以 f(2 023)f(50641)f(1). 因为函数 f(x)为偶函数， 所以 f(2 023)f(1)f(1). 当 x
26、1 时，f(12) 1 f（1），得 f(1) 1 f（1）. 由 f(x)0，得 f(1)1，所以 f(2 023)f(1)1. 答案1 14.设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x. (1)求 f()的值； (2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积. 解(1)由 f(x2)f(x)得， f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 所以 f()f(14)f(4)f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函数且 f(x2)f(x)， 得 f(x1)2f(x1)f(x1)， 即 f(1x
27、)f(1x). 故知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称. 又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如下 图所示. 当4x4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4SOAB 4 1 2214. C 级创新猜想 15.(多选题)如果定义在 R 上的奇函数 yf(x)，对任意两个不相等的实数 x1，x2， 都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数 yf(x)为“H 函数”.下列函数为 “H 函数”的是() A.f(x)sin xB.f(x)3x 1 3 x C.f(x)x33xD.f(x)x|
28、x| 解析根据题意，对于任意的不相等实数 x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2) x2f(x1)恒成立，则有(x1x2)f(x1)f(x2)0 恒成立，即函数 f(x)是定义在 R 上的 增函数，则“H 函数”为奇函数且在 R 上为增函数.对于 A，f(x)sin x 为正弦函 数，为奇函数但在 R 上不是增函数，不符合题意；对于 B，f(x)3 x3x f(x)，故 f(x)为奇函数，由指数函数性质可得 f(x)在 R 上单调递增，符合题意；对 于 C，f(x)x33x 为奇函数，但在 R 上不是增函数，不符合题意；对于 D，f(x) x|x| x2，x0， x2，x0
29、为奇函数且在 R 上为增函数，符合题意.故选 BD. 答案BD 16.(开放题)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1) f(x1)，已知当 x0，1时，f(x)2x，则有 2 是函数 f(x)的周期； 函数 f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数； 函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是_. 解析在 f(x1)f(x1)中，令 x1t， 则有 f(t2)f(t)， 因此 2 是函数 f(x)的周期，故正确； 当 x0，1时，f(x)2x是增函数， 根据函数的奇偶性知， f(x)在1， 0上是减函数， 根据函数的周期性知， 函数 f(x) 在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故正确； 由知，f(x)在0，2上的最大值 f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值 f(x)minf(0)f(2) 201 且 f(x)是周期为 2 的周期函数，f(x)的最大值是 2，最小值是 1，故错 误. 答案
