1、1.1.1集合及其表示方法 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针 对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体 情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集 教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3. 元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5.区间的概 念 教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合. 【情境导学】(教师独具内容) 一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义于是他请教一位 数学家：“先生，您能告诉我
2、，集合是什么吗？” 由于集合是不定义的概念，数学家很难向那位渔民讲清楚直到有一天，数 学家来到渔民的船上， 看到渔民撒下渔网， 然后轻轻一拉， 许多鱼虾在网中跳动 数 学家非常激动，高兴地对渔民说：“这就是集合！” 你能理解这位数学家的话吗？ 【知识导学】 知识点一集合与元素的定义 (1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成 一个集合(有时简称为集) (2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素 (3)表示：通常用英文大写字母 A，B，C，表示集合，用英文小写字母 a， b，c，表示集合中的元素 知识点二元素与集合的关系 (1)“属于”：如果 a 是集合 A 的
3、元素，就记作 01aA，读作“a 属于 A” (2)“不属于”：如果 a 不是集合 A 的元素，就记作 02aA，读作“a 不属于 A” 知识点三 空集 一般地，我们把不含任何元素的集合称为 01空集(empty set)，记作02. 知识点四 集合中元素的三个特性 (1)确定性； (2)互异性； (3)无序性 知识点五 集合的分类 (1)有限集； (2)无限集 知识点六 几个常用数集的固定字母表示 知识点七 集合的表示方法 集合常见的表示方法有： 01 自然语言、 02列举法、03 描述法、 04 “区 间”(以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法) (1)列举法：把集合中的元
4、素 05一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并 写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法 (2)描述法：如果属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x)，而不属于集 合 A 的元素都不具有这个性质，则性质 p(x)称为集合 A 的一个 06特征性质此 时，集合 A 可以用它的特征性质 p(x)表示为x|p(x)这种表示集合的方法，称为 特征性质描述法，简称为描述法 知识点八 区间 实数集 R 可以用区间表示为 01(，)，“”读作“无穷大”，“ ”读作“负无穷大”， “”读作“正无穷大” 我们可以把满足 xa， xa， xb，xb 的实数 x 的集合分别表示为 02a，)，(
5、a，)，(，b，( ，b) 可以看出， 区间实质上是一类特殊数集(即由数轴某一段上所有点对应的实数 组成的集合)的符号表示； 例如，大于 1 且小于 10 的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表示. 【新知拓展】 1元素和集合关系的判断 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中 是否出现即可此时应先明确集合是由哪些元素构成的 (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中 元素所具有的特征即可此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合 中元素要满足哪些条件 2集合的三个特性 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，
6、它同平面几何中的 “点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明 (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此 一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体 (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是 人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素 3使用列举法表示集合时需注意的几点 (1)元素之间用“，”隔开； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性； (4)对于含较多元素的集合， 如果构成该集合的元素有明显规律， 可用列举法， 但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号 1判一判(正确的打“”，错
7、误的打“”) (1)某校高一年级 16 岁以下的学生能构成集合() (2)已知 A 是一个确定的集合，a 是任一元素，要么 aA，要么 aA，二者必 居其一且只居其一() (3)对于数集 A1,2，x2，若 xA，则 x0.() (4)对于区间2a，a1，必有 a0， x0， 0 x6，x0,1,2,3,4,5. 当 x 分别为 0,3,4,5 时， 6 6x相应的值分别为 1,2,3,6， 也是自然数， 故填 0,3,4,5. 答案(1)B(2)0,3,4,5 金版点睛 1.常用数集之间的关系 2.确定集合中元素的三个注意点 1判断集合中元素的个数时，注意集合中的元素必须满足互异性. 2集合
8、中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性. 3若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的 方法进行研究. 跟踪训练 2 (1)用符号“”或“”填空 0_N*；1_N； 1.5_Z；2 2_Q； 4 5_R；若 x210，则 x_R. (2)设 xR，集合 A 中含有三个元素 3，x，x22x. 求实数 x 应满足的条件； 若2A，求实数 x 的值 答案(1)(2)见解析 解析(1)0 不是正整数，0N*. 1 是自然数，1N. 1.5 是小数，不是整数，1.5Z. 22是无理数，2 2Q. 4 5是无理数，无理数是实数，4 5R. 满足 x210 的实数不存
9、在， x 为非实数，xR. (2)根据集合元素的互异性，可知 x3， xx22x， x22x3， 即 x0，且 x3 且 x1. x22x(x1)211，且2A，x2. 题型三 集合中元素的特性 例 3已知集合 A 有三个元素：a3,2a1，a21，集合 B 也有三个元素： 0,1，x. (1)若3A，求 a 的值； (2)若 x2B，求实数 x 的值 解(1)由3A 且 a211，可知 a33 或 2a13， 当 a33 时，a0；当 2a13 时，a1. 经检验，0 与1 都符合要求 得 a0 或1. (2)当 x0,1，1 时，都有 x2B， 但考虑到集合元素的互异性，x0，x1，故 x
10、1. 金版点睛 利用集合元素互异性求参数问题 (1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元 素的互异性对集合中元素进行检验(也是本讲易错问题) (2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用 跟踪训练 3 已知集合 A 包含三个元素：a2,2a25a,12，且3A，求 a 的值 解因为 A 包含三个元素 a2,2a25a,12， 且3A，所以 a23 或 2a25a3， 解得 a1 或 a3 2. 当 a1 时，A 中三个元素为：3，3,12，不符合集合中元素的互异性， 舍去 当 a3 2时，A 中三个元素为： 7 2，3,12，满足题意故 a 3 2.
11、题型四 集合的分类 例 4下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集， 还是空集 (1)非负奇数； (2)小于 18 的既是正奇数又是质数的数； (3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点； (4)在实数范围内方程(x21)(x22x1)0 的解集； (5)在实数范围内方程组 x2x10， xy1 的解构成的集合 解(1)能构成集合，是无限集 (2)小于 18 的质数是 2,3,5,7,11,13,17.只有 2 是偶数，其余的都是正奇数，所 以能构成集合，是有限集 (3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于 0，能构成集合，是无限集 (4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合
12、中的元素是1，1，是有限 集 (5)由 x2x10 的判别式30， 12x3x5 的整数解组成的集合； (2)式子|a| a |b| b (a0，b0)的所有值组成的集合 解(1)由 2x60， 12x3x5 得 30，b0 时，|a| a |b| b 2； 当 a0，b0，b0 或 a0 时，|a| a |b| b 0. 故所有值组成的集合为2,0,2. 题型六 用描述法表示集合 例 6用描述法表示下列集合： (1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (2)所有被 3 除余 1 的整数的集合； (3)使 y 1 x2x6有意义的实数 x 的集合 解(1)因为不在第一、三象限的点分布在第
13、二、四象限或坐标轴上，所以 坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为(x，y)|xy0，xR，yR (2)因为被 3 除余 1 的整数可表示为 3n1，nZ，所以所有被 3 除余 1 的整 数的集合为x|x3n1，nZ (3)要使 y 1 x2x6有意义， 则 x2x60. 由 x2x60，得 x12，x23. 所以使 y 1 x2x6有意义的实数 x 的集合为x|x2 且 x3，xR 金版点睛 用描述法表示集合的注意点 (1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类 型一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示 (2)用描述法表示集合时，若描述部分
14、出现元素记号以外的字母，要对新字母 说明其含义或取值范围 (3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集 合内 跟踪训练 6 试用描述法表示下列集合： (1)方程 x2x20 的解集； (2)大于1 且小于 7 的所有整数组成的集合 解(1)方程 x2x20 的解可以用 x 表示，它满足的条件是 x2x20， 因此，方程的解集用描述法表示为xR|x2x20 (2)大于1 且小于 7 的整数可以用 x 表示， 它满足的条件是 xZ，且1x7， 因此，该集合用描述法表示为xZ|1x7. 题型七 列举法和描述法的综合运用 例 7集合 Ax|kx28x160，若集合 A 只有一
15、个元素，试求实数 k 的 值，并用列举法表示集合 A. 解当 k0 时，原方程为 168x0， x2，此时 A2，符合题意 当 k0 时，由集合 A 中只有一个元素， 方程 kx28x160 有两个相等实根 即6464k0，即 k1，从而 x1x24， 集合 A4 综上所述，实数 k 的值为 0 或 1.当 k0 时，A2； 当 k1 时，A4 条件探究把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数 k 取值范围的集合 解由 题 意 可 知 方 程 kx2 8x 16 0 有 两 个 不 等 的 实 根 k0， 6464k0， 解得 k1 且 k0. k 的取值范围的集合为k|k1 且
16、k0 金版点睛 分类讨论思想在集合中的应用 (1)本题在求解过程中，常因忽略讨论 k 是否为 0 而漏解由 kx28x 160 是否为一元二次方程而分 k0 和 k0 两种情况，注意做到不重不漏 (2)解答与集合描述法有关的问题时，明确集合中的代表元素及其共同特征是 解题的切入点 跟踪训练 7 (1)设集合 B xN| 6 2xN . 试判断元素 1,2 与集合 B 的关系； 用列举法表示集合 B. (2)已知集合 Ax|x2axb0，若 A2,3，求 a，b 的值 解(1)当 x1 时， 6 212N. 当 x2 时， 6 22 3 2N.所以 1B,2B. 6 2xN，xN，2x 只能取
17、2,3,6， x 只能取 0,1,4.B0,1,4 (2)由 A2,3知，方程 x2axb0 的两根为 2,3，由根与系数的关系，得 23a， 23b， 因此 a5，b6. 题型八 集合中的新定义问题 例 8已知集合 A1,2,4，则集合 B(x，y)|xA，yA中元素的个数为 () A3B6C8D9 解析根据已知条件，列表如下： 由上表可知，B 中的元素有 9 个，故选 D. 答案D 金版点睛 本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题 清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题 或发现问题的规律，此方法通常配合图表含树形图使用. 跟踪训
18、练 8 定义 A*Bz|zxy，xA，yB，设 A1,2，B0,2， 则集合 A*B 中的所有元素之和为() A0B2C3D6 答案D 解析根据已知条件，列表如下： 根据集合中元素的互异性，由上表可知 A*B0,2,4，故集合 A*B 中所有元 素之和为 0246，故选 D. 1下列所给的对象不能组成集合的是() A我国古代的四大发明 B二元一次方程 xy1 的解 C我班年龄较小的同学 D平面内到定点距离等于定长的点 答案C 解析C 项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性故选 C. 2 已知集合 A 含有三个元素 2,4,6， 且当 aA 时， 有 6aA， 则 a 为() A2B2
19、 或 4C4D0 答案B 解析集合 A 中含有三个元素 2,4,6，且当 aA 时，有 6aA.当 a2A 时，6a4A，a2 符合题意；当 a4A 时，6a2A，a4 符合 题意；当 a6A 时，6a0A，综上所述，a2 或 4.故选 B. 3由实数a，a，|a|， a2所组成的集合最多含有的元素个数是() A1B2C3D4 答案B 解析对 a 进行分类讨论：当 a0 时，四个数都为 0，只含有一个元素； 当 a0 时，含有两个元素 a，a，所以集合中最多含有 2 个元素故选 B. 4用适当符号(，)填空 (1)(1,3)_(x，y)|y2x1； (2)2_m|m2(n1)，nZ 答案(1)
20、(2) 解析(1)当 x1 时，y2113，故(1,3)(x，y)|y2x1 (2)当 n2Z 时，m2(21)2，故 2m|m2(n1)，nZ 5设 aR，关于 x 的方程(x1)(xa)0 的解集为 A，试分别用描述法和 列举法表示集合 A. 解Ax|(x1)(xa)0，当 a1 时，A1；当 a1 时，A1，a A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1已知集合 Sa，b，c中的三个元素是ABC 的三边长，那么ABC 一 定不是() A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰三角形 答案D 解析因为集合 Sa，b，c中的元素是ABC 的三边长，由集合元素的互 异性可知 a，b，c 互不相
21、等，所以ABC 一定不是等腰三角形故选 D. 2下列集合的表示方法正确的是() A第二、四象限内的点集可表示为(x，y)|xy0，xR，yR B不等式 x14 的解集为x5 C全体整数 D实数集可表示为 R 答案D 解析A 中应是 xy0；B 中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规 范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素 x，应为x|x0，所以 2 不满足不等式 xa0，即满足不等式 x a0，所以 2a0，即 a2，故选 C. 二、填空题 6若 A2,2,3,4，Bx|xt2，tA，则用列举法表示 B_. 答案4,9,16 解析由题意，A2,2,3,4，Bx|xt2，tA，依次计算出
22、B 中元素， 用列举法表示可得 B4,9,16，故答案为4,9,16 7已知集合 Ax|ax23x40，xR，若 A 中至多有一个元素，则实数 a 的取值范围是_ 答案a0 或 a 9 16 解析当 a0 时，Ax|x4 3；当 a0 时，关于 x 的方程 ax 23x4 0 应有两个相等的实数根或无实数根，所以916a0，即 a 9 16.故所求的 a 的取值范围是 a0 或 a 9 16. 8已知集合 A 中的元素均为整数，对于 kA，如果 k1A 且 k1A，那 么称 k 是 A 的一个“孤立元”给定集合 S1,2,3,4,5,6,7,8，由 S 的 3 个元素 构成的所有集合中，不含“
23、孤立元”的集合共有_个 答案6 解析根据“孤立元”的定义， 由 S 的 3 个元素构成的所有集合中， 不含“孤 立元”的集合为1,2,3， 2,3,4， 3,4,5，4,5,6，5,6,7， 6,7,8， 共有 6 个 故 答案为 6. 三、解答题 9用适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于 3 的偶数的集合； (2)被 3 除余 1 的正整数的集合； (3)一次函数 y2x3 图像上所有点的集合； (4)方程组 xy1， xy1 的解集 解(1)2,0,2 (2)m|m3n1，nN (3)(x，y)|y2x3 (4)(0,1) 10已知集合 Aa3，(a1)2，a22a2，若 1A，求
24、实数 a 的值 解若 a31，则 a2， 此时 A1,1,2，不符合集合中元素的互异性，舍去 若(a1)21，则 a0 或 a2. 当 a0 时，A3,1,2，满足题意； 当 a2 时，由知不符合条件，故舍去 若 a22a21，则 a1， 此时 A2,0,1，满足题意 综上所述，实数 a 的值为1 或 0. B 级：“四能”提升训练 1已知集合 Ax|x3n1，nZ，Bx|x3n2，nZ，Mx|x 6n3，nZ (1)若 mM，则是否存在 aA，bB，使 mab 成立？ (2)对于任意 aA， bB， 是否一定存在 mM， 使 abm？证明你的结论 解(1)设 m6k33k13k2(kZ)，
25、令 a3k1，b3k2，则 mab. 故若 mM，则存在 aA，bB，使 mab 成立 (2)不一定 证明如下：设 a3k1，b3l2，k，lZ，则 ab3(kl)3. 当 kl2p(pZ)时，ab6p3M， 此时存在 mM，使 abm 成立； 当 kl2p1(pZ)时，ab6p6M，此时不存在 mM，使 abm 成立 故对于任意 aA，bB，不一定存在 mM，使 abm. 2设实数集 S 是满足下面两个条件的集合： 1S；若 aS，则 1 1aS. (1)求证：若 aS，则 11 aS； (2)若 2S，则 S 中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合 S 中至少有三个不同的
26、元素 解(1)证明：1S，0S，即 a0. 由 aS，则 1 1aS 可得 1 1 1 1a S， 即 1 1 1 1a 1a 1a11 1 aS. 故若 aS，则 11 aS. (2)由 2S，知 1 121S； 由1S，知 1 11 1 2S， 当1 2S 时， 1 11 2 2S， 因此当 2S 时，S 中必含有1 和1 2. (3)证明：由(1)，知 aS， 1 1aS,1 1 aS. 下证：a， 1 1a，1 1 a三者两两互不相等 若 a 1 1a，则 a 2a10，无实数解， a 1 1a； 若 a11 a，则 a 2a10，无实数解， a11 a； 若 1 1a1 1 a，则
27、a 2a10，无实数解， 1 1a1 1 a. 综上所述，集合 S 中至少有三个不同的元素 1.1.2集合的基本关系 (教师独具内容) 课程标准：1.理解子集、真子集的概念，能识别给定集合的子集.2.理解两个 集合包含与相等的含义，能用子集的观点解释两个集合的相等关系 教学重点：1.子集、真子集定义的理解.2.写出给定集合的子集.3.两个集合之 间关系的判定.4.用子集观点解释两个集合的相等关系 教学难点：1.两个集合之间关系的判定.2.一些关系符号(， )的准确使用.3.具体问题中易忽视空集的情况. 【情境导学】(教师独具内容) 我们学校共有高一、高二、高三三个年级，每个年级都分为两个级部，
28、每个 级部都有若干个班级，每个班级都有若干个学生学校可以看成“所有学生组成 的集合”， 而年级、 级部、 班级可以看成“某些学生组成的集合” 这里有个体(学 生)、局部(年级等)、整体(学校)一些研究对象怎么用集合语言刻画它们之间的 关系呢？ 【知识导学】 知识点一子集 一般地，如果集合 A 的任意一个元素 01都是集合 B 的元素，那么集合 A 称 为集合 B 的 02 子集，记作 03 AB(或 04 BA)，读作“ 05 A 包含于 B”(或 “ 06B 包含 A”) 对应地，如果 A 不是 B 的子集，则记作 07A B(或 08BA)，读作“09A 不包含于 B”(或“ 10B 不包
29、含 A”) 规定： 11空集是任何集合的子集 注意：(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关 系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系) (2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系例如：A1,2，B1,3， 因为 2A，但 2B，所以 A 不是 B 的子集；同理，因为 3B，但 3A，所以 B 也不是 A 的子集 (3)子集有下列两个性质： 自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即 AA； 传递性：对于集合 A，B，C，如果 AB，且 BC，那么 AC. (4)为了直观地表示集合间的关系，常用平面上的封闭图形的内部表示集合， 称为维恩图因此，AB 可用维恩图表示
30、为 知识点二真子集 一般地，如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A， 那么集合 A 称为集合 B 的 01真子集，记作02A B(或 BA)，读作“ 03A 真包 含于 B”(或“ 04B 真包含 A”)可用维恩图表示为 很明显，空集是任何非空集合的真子集从真子集的定义可以看出，要想证 明 A 是 B 的真子集，需要两步：一是证明 05AB(即 A 中的任何元素都属于 B)， 二是证明 B 中至少有一个元素不属于 A. 知识点三集合的相等 一般地，如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，则称集合 A 与集合 B 01相 等，记作 02AB，读作“03A 等于
31、B” 由集合相等的定义可知：如果 04AB 且05BA，则06AB；反之，如 果 07AB，则08AB 且09BA. 【新知拓展】 1对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素， 即由 xA， 能推出 xB， 这是判断 AB 的常用方法 (2)不能简单地把“AB”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合” 因为若 A，则 A 中不含任何元素；若 AB，则 A 中含有 B 中的所有元素 (3)在真子集的定义中，AB 首先要满足 AB，其次至少有一个 xB，但 x A. 2集合子集的个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要
32、求的子集 集合的子集、真子集个数的规律为：含 n(nN*)个元素的集合有 2n个子集， 有(2n1)个真子集，有(2n2)个非空真子集写集合的子集时，空集和集合本身 易漏掉 3由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：不能忽视集合为的情形； 当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论 (2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的 范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 AB，则 B 中至少有一个元素不属于 A.() (2)若 AB，则要么 AB，要么 AB.() (3)空集没有真子集() (4)
33、若 AB，则 B 不会是空集() (5)若 AB，则必有 AB.() 答案(1)(2)(3)(4)(5) 2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)用适当的符号(，)填空 N*_N，R_Q， x|x21_1,1， (x，y)|xy1_ x，y| xy1， xy0. (2)给出下列集合： Ax|x 是平行四边形， Bx|x 是矩形， Cx|x 是菱形， Dx|x 是正方形，它们的关系可以表示为_ 答案(1) (2)DBA，DCA 题型一 判断集合之间的关系 例 1判断下列各组集合的关系： (1)A1,2,4，Bx|x 是 8 的正约数； (2)Ax|x 是等边三角形，Bx|x 是有一个内角是
34、60的等腰三角形； (3)Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n1，nN* 解(1)集合 A 中的元素 1,2,4 都是 8 的正约数，从而这三个元素都属于 B， 即 AB；但 B 中的元素 8 不属于 A，从而 AB，所以 AB. (2)等边三角形的三个内角都是 60且等边三角形都是等腰三角形，即 AB； 有一个内角是 60的等腰三角形是等边三角形，即 BA，所以 AB. (3)解法一：两个集合都表示一些正奇数组成的集合，但由于 nN*，因此集 合 A 含有元素“1”，而集合 B 不含元素“1”，故 BA. 解法二：由列举法知 A1,3,5,7，B3,5,7,9，所以 BA. 金版点睛 集合间
35、的关系是由两集合中元素的关系确定的， 因此， 要判定集合间的关系， 必须根据集合的表示方法，弄清集合中的元素是什么，再根据元素之间的关系给 出结果；很明显当 AB 或者 AB 时，不宜表示为 AB. 跟踪训练 1 例 1 中(3)，两集合中条件“nN*”改为 nZ，结果如何？ 解AB. 题型二 写出集合的子集和真子集 例 2写出集合a，b，c的所有子集和真子集 解因为集合a，b，c中有 3 个元素，所以其子集中的元素个数只能是 0,1,2,3. 有 0 个元素的子集：； 有 1 个元素的子集：a，b，c； 有 2 个元素的子集：a，b，a，c，b，c； 有 3 个元素的子集：a，b，c 因此集
36、合a，b，c的所有子集为，a，b，c，a，b，a，c，b， c，a，b，c 集合a，b，c的所有真子集为，a，b，c，a，b，a，c，b，c 金版点睛 本例采用分类列举的办法，分类的标准是子集中元素的个数，这样做，所写 的子集不重不漏， 是一种思路清晰、 条理明确的解题方法.在写出的集合的子集中， 除去集合本身，剩下的都是该集合的真子集. 跟踪训练 2 写出集合1,2,3的所有子集和真子集 解集合1,2,3的所有子集为， 1， 2， 3， 1,2， 1,3， 2,3， 1,2,3 集合1,2,3的所有真子集为，1，2，3，1,2，1,3，2,3. 题型三 有限集子集个数探究 例 3令集合 A0
37、，集合 Ana1，a2，a3，an(nN*)，试探究集合 An 子集的个数 解为了方便，不妨设集合 An的子集数为 m(An)我们把 An的子集分为两 类，第一类：含元素 an；第二类：不含元素 an.易知，第二类就是集合 An1的子 集，且第一类和第二类同样多因此，m(An)2m(An1)从而，m(An1)2m(An 2)，m(A1)2m(A0)，易知 m(A0)1.所以 m(An)2m(An1)22m(An2)23m(An 3)2nm(A0)2n. 金版点睛 若一组对象分为甲、乙两类，当两类对象同样多时，我们只要知道其中一类 对象的个数，也就知道了另一类对象的个数，从而也就知道了这组对象的
38、总个 数“同样多”是一种一一对应的观点 如下例： 很明显，第二行就是 A2的所有子集，从而 m(A3)2m(A2) 注意：如果非空集合 A 中有 n(nN*)个元素，那么集合 A 的子集有 2n个，真 子集有(2n1)个，非空真子集有(2n2)个 跟踪训练 3 满足1,2M1,2,3,4,5的集合 M 有多少个？ 解由1,2M 可知， M 中必定有 1,2 两个元素， 且至少还有异于 1,2 的“其 他”一个元素；由 M1,2,3,4,5可知，上面所说的“其他”应当来自于 3,4,5 这 三个数：可以是其中的 1 个(三种情况)，2 个(三种情况)，3 个(一种情况)故满足 条件的集合 M 有
39、 7 个(也就是集合3,4,5的非空子集的个数). 题型四 集合相等的应用 例 4设集合 A1，a，b，Ba，a2，ab，且 AB，求 a2019b2020. 解由 AB，有 a21， abb 或 a2b， ab1. 解方程组得 a1， bR 或 a1， b0 或 a1， b1， 由集合元素的互异性，知 a1. a1，b0，故 a2019b20201. 金版点睛 集合相等的应用方法 根据两个集合相等求集合的待定字母，一般是从集合中元素对应相等来建立 方程(或方程组)，要注意将对应相等的情况分类列全，最后还需要将方程(方程组) 的解代入原集合检验，对不符合题意的解要舍去 跟踪训练 4 已知集合
40、A2，x，y，B2x,2，y2，若 AB，且 x，y 为整数，求(xy)2019的值 解AB，集合 A 与集合 B 中的元素相同 x2x， yy2 或 xy2， y2x， 解得 x0， y0 或 x0， y1 或 x1 4， y1 2 (舍去) 验证得，当 x0，y0 时，A2,0,0，这与集合元素的互异性相矛盾，舍 去 当 x0，y1 时，AB0,1,2，符合题意 x，y 的取值为 x0， y1， (xy)20191. 题型五 含参问题探究 例 5已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1若 BA，求 实数 m 的取值范围 解当 B时，如图所示： m12， 2m12， 2m15， 2m1m1
41、， 解这两个不等式组，得 2m3. 当 B时，由 m12m1，得 m2. 综上可得，m 的取值范围是m|m3 金版点睛 跟踪训练 5 已知集合 Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且 B A.求实数 m 的取值范围 解BA，分两种情况考虑： 当 B时，m12m1， 解得 m2. 当 B时，有 32m1， m14， 2m1m1， 解得1m2， 综上得 m 的取值范围为m|m1 1下列说法： 空集没有子集； 任何集合至少有两个子集； 空集是任何集合的真子集； 若A，则 A. 其中正确的有() A0 个B1 个 C2 个D3 个 答案B 解析空集是它本身的子集；空集只有一个子集；空集不是它本身的 真子
42、集；空集是任何非空集合的真子集因此，错误，正确 2集合 P0,1，Qy|x2y21，xN，则集合 P，Q 间的关系是() APQBPQ CQPD不确定 答案B 解析由 x2y21，xN，得 y1,0，即 Q1，0,1，所以 PQ.故选 B. 3已知集合 Ax|x210，则下列式子表示正确的有() 1A；1A；A；1，1A. A1 个B2 个 C3 个D4 个 答案C 解析Ax|x2101,1，故正确，不正确 4满足aMa，b，c，d的集合 M 共有() A6 个B7 个 C8 个D15 个 答案B 解析依题意 aM，且 Ma，b，c，d，因此 M 中必含有元素 a，且可 含有元素 b，c，d
43、中的 0 个、1 个或 2 个，即 M 的个数等于集合b，c，d的真子 集的个数，有 2317(个) 5已知集合 Ax|1x2，Bx|1xa，a1 (1)若 A 是 B 的真子集，求 a 的取值范围； (2)若 B 是 A 的子集，求 a 的取值范围； (3)若 AB，求 a 的取值范围 解(1)若 AB，由图可知 a2. (2)若 BA，由图可知 1a2. (3)由 AB，可得 a2. A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1下列关系式不正确的是() A11,2B01,2 C21,2D11,2 答案B 解析01,2，01,2不正确；根据子集的概念可知 A，C 正确；D 显然正确 2若集合 M
44、 x|xm 1 6，mZ，N x|x n 2 1 3，nZ，P x| p 2 1 6，pZ，则 M，N，P 的关系是() AMNPBMNP CMNPDNPM 答案B 解 析M x|x 6m1 6 ，mZ ， N x|x 3n2 6 ，nZ x|x 3q1 6 ，qZ (nZ，qn1Z)，P x|x 3p1 6 ，pZ .MN P.故选 B. 3若集合 A 满足 AB，AC，B0,1,2,3，C0,2,4,8，则满足上述条 件的集合 A 的个数为() A0B1C2D4 答案D 解析AB，AC，A 中最多能含有 0,2 两个元素，A，0，2， 0,2，共 4 个故选 D. 4已知集合 A(x，y)
45、|yx和 B x，y| 2xy1， x4y5，则下列结论 正确的是() A1ABBA C(1,1)BDA 答案B 解析A 项中集合 A 是一个点集， 故 1A； B 项中 B(x， y)| 2xy1， x4y5 (1,1)，故 BA；C 项中“”表示集合与集合之间的关系，而(1,1)是一个元 素， 应为(1,1)B； D 项中“”表示元素与集合之间的关系， 而与 A 都是集合， 应为A.故选 B. 5已知集合 A1,1，Bx|ax10，若 BA，则实数 a 的所有可能 取值的集合为() A1B1 C1,1D1,0,1 答案D 解析因为 BA， 所以当 B， 即 a0 时， B x|x 1 a，
46、 因此有1 a A，所以1 a1，即 a1；当 B，即 a0 时满足条件综上可得实数 a 的 所有可能取值的集合是1,0,1故选 D. 二、填空题 6满足条件x|x210Mx|x210的集合 M 共有_个 答案3 解析因为x|x210，x|x2101，1，其非空子集为1， 1，1,1，所以满足条件x|x210Mx|x210的集合 M 共有 3 个 7设 Ax|1a，若 AB，则 a 的取值范围是_ 答案(，1 解析从几何角度看，集合 A 是数轴上一条定线段，集合 B 是方向向右的动 射线，因为 AB，所以射线应当“盖住”线段，如图所示 从图上看，a1 也符合题意，所以 a1. 8给出四个对象：
47、0，0，用适当的关系符号表示它们之间的一些 关系(写出你认为正确的所有关系)：_. 答案00,0，0，0， 三、解答题 9设集合 Ay|yx22x2，xR，Bs|st24t5，tR，试判断 集合 A 与 B 的关系 解因为 x22x2(x1)21(xR)和 t24t5(t2)21(tR)都表示 大于或等于 1 的实数， 所以集合 A 与 B 都表示所有大于或等于 1 的实数构成的集 合，从而 AB. 10已知集合 Ax|2mxm2，集合 B3,5，若 AB，求实数 m 的取值范围 解当 A时，满足题意， 此时，2mm2，即 m2； 当 A时，由 AB，得 2mm2， 2m3， m25， 解得3
48、 2m2. 综上可得，实数 m 的取值范围是 3 2，. B 级：“四能”提升训练 1已知集合 A0,1，Bx|xA，试用列举法表示集合 B，并判断 A 与 B 的关系 解对于集合 B， 从“xA”可知， B 中的元素是集合 A 的子集 所以 B， 0，1，0,1 很明显，集合 A 是集合 B 的一个元素，从而 AB. 2设集合 Ax|x24x0，集合 Bx|x22(a1)xa210，xR， 若 BA，求实数 a 的取值范围 解易知 A4,0，因为 BA，所以分 BA 和 BA 两种情况 当 AB 时，B4,0，则有4,0 是方程 x22(a1)xa210 的两 根，于是得 a1. 当 BA
49、时，若 B，则4(a1)24(a21)0，解得 a1； 若 B，则 B4或0，4(a1)24(a21)0， 解得 a1，验证知 B0满足条件， 综上可知，所求实数 a 的值满足 a1 或 a1. 1.1.3集合的基本运算 第 1 课时集合的交集与并集 (教师独具内容) 课程标准： 1.理解两个集合交集与并集的含义， 能求两个集合的交集与并集.2. 能使用维恩图直观地表达两个集合的交集与并集 教学重点：1.交集与并集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.求两个集 合的交集与并集 教学难点：1.交集中“且”、并集中“或”的正确理解.2.准确地找出交集、 并集中的元素，并能恰当地加以表示. 【
50、情境导学】(教师独具内容) 为了丰富学生的体育生活，发挥学生的特长，学校组建了三个体育社团：足 球社团、篮球社团、排球社团已知参加这三个社团的人数分别是 200,500,400， 那么，我校参加体育社团的总人数是 2005004001100 吗？如果不是，还需 要一些什么条件，才能把总人数计算出来？ 【知识导学】 知识点一交集 交集的运算性质：AB 02B03A，AA04A，A05，AB A 06A07B. 知识点二并集 并集的运算性质：AB 02B03A，AA04A，A05A，AB B 06A07B. 从维恩图可以直观地看出，对于两个有限集，必有： Card(AB)Card(A)Card(B
