1、3.2 多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 估计方法：OLS、ML或者MM 一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计 * *二、最大或然估计二、最大或然估计 * *三、矩估计三、矩估计 四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质 五、样本容量问题五、样本容量问题 六、估计实例六、估计实例 一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计 对于随机抽取的n组观测值 kjniXY jii , 2 , 1 , 0, 2 , 1),( 如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到，则有： Kikiiii XXXY 22110 i=1,2n 根据最小二乘原理最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 0
2、0 0 0 2 1 0 Q Q Q Q k 其中 2 11 2 ) ( n i ii n i i YYeQ 2 1 22110 ) ( n i kikiii XXXY 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组： kiikikikii iiikikiii iiikikii ikikii XYXXXX XYXXXX XYXXXX YXXX ) ( ) ( ) ( ) ( 22110 2222110 1122110 22110 解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到 (k+1)个待估参数的估计值 , , ,jjk 012 。 正规方程组正规方程组的矩阵形式矩阵形式 nknkk n
3、 k kiikiki kiiii kii Y Y Y XXX XXX XXXX XXXX XXn 2 1 21 11211 1 0 2 1 1 2 11 1 111 即 YXX)X( 由于XX满秩，故有 YXXX 1 )( 将上述过程用矩阵表示矩阵表示如下： 即求解方程组：0) () ( XYXY 0) ( XXXYYXYY 0) 2( XXXYYY 0 XXYX 得到： YXXX 1 )( XXYX 于是： 例例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入家庭收入-消费支出消费支出例中， 5365000021500 2150010 1 1 1 111 )( 2 2 1 21ii i n n XX X
4、n X X X XXX XX 39468400 15674111 2 1 21ii i n n YX Y Y Y Y XXX YX 可求得 0735. 10003. 0 0003. 07226. 0 )( 1 E XX 于是 7770. 0 172.103 39648400 15674 0735. 10003. 0 0003. 07226. 0 2 1 E 正规方程组正规方程组 的另一种写法 对于正规方程组正规方程组 XXYX XXeXXX 于是 0eX 或 0 i e 0 i ijie X (*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组正规方程组的另一 种写法 (*) (*) 样本回归函数的离差
5、形式样本回归函数的离差形式 ikikiii exxxy 2211 i=1,2n 其矩阵形式矩阵形式为 exy 其中 ： n y y y 2 1 y knnn k k xxx xxx xxx 21 22212 12111 x k 2 1 在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 Yxxx 1 )( kk XXY 110 随机误差项随机误差项 的方差的方差 的无偏估计的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为 11 2 2 knkn ei ee * *二、最大或然估计二、最大或然估计 对于多元线性回归模型 ikikiii XXXY 22110 易知 ),( 2 XiNYi Y的随机抽取的n
6、组样本观测值的联合概率 ) () ( 2 1 ) ( 2 1 21 2 2 2 2 22110 2 2 )2( 1 )2( 1 ),(), ( XYXY e e YYYPL n XXXY n n n kikiii n 即为变量Y的或然函数或然函数 对数或然函数为 ) () ( 2 1 )2( )( 2 * XYXY nLn LLnL 对对数或然函数求极大值，也就是对 ) () (XYXY 求极小值。 因此，参数的最大或然估计最大或然估计为为 YXXX 1 )( 结果与参数的普通最小二乘估计相同结果与参数的普通最小二乘估计相同 * *三、矩估计三、矩估计（Moment Method, MM） O
7、LS估计是通过得到一个关于参数估计值的正正 规方程组规方程组 YXX)X( 并对它进行求解而完成的。 该该正规方程组正规方程组 可以从另外一种思路来导: XY XXXYX XX(YX) 求期望 :0XYX)(E 0XYX)(E 称为原总体回归方程的一组矩条件矩条件，表明了原总 体回归方程所具有的内在特征。 0) 1 X(YX n 由此得到正规方程组正规方程组 YXXX 解此正规方程组即得参数的MM估计量。 易知MM估计量与与OLS、ML估计量等价。 矩方法矩方法是是工具变量方法工具变量方法(Instrumental Variables,IV) 和和广义矩估计方法广义矩估计方法(Generali
8、zed Moment Method, GMM)的基础的基础 在在矩方法矩方法中关键是利用了中关键是利用了 E(X )=0 如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1 个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是 IV。 如果存在k+1个变量与随机项不相关，可以构 成一组包含k+1方程的矩条件。这就是GMM。 四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数 的普通 最小二乘估计、最大或然估计最大或然估计及矩估计矩估计仍具有： 线性性线性性、无偏性无偏性、有效性有效性。 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致
9、性。 1、线性性、线性性 CYYXXX 1 )( 其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量 2、无偏性、无偏性 XXX XXXX YXXX 1 1 )()( )()( )() ( 1 E E EE 这里利用了假设: E(X )=0 3、有效性（最小方差性）、有效性（最小方差性） 其中利用了 YXXX 1 )( XXX XXXX 1 1 )( )()( 和 I 2 )(E 五、样本容量问题五、样本容量问题 所谓“最小样本容量最小样本容量”，即从最小二乘原理 和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管 其质量如何，所要求的样本容量的下限。 最小样本容量最小样本容量 样本最小容量必须
10、不少于模型中解释变量样本最小容量必须不少于模型中解释变量 的数目（包括常数项）的数目（包括常数项）,即 n k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1 2 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度从统计检验的角度： n30 时，Z检验才能应用； n-k8时, t分布较为稳定 一般经验认为一般经验认为: 当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模 型估计的基本要求。 模型的良好性质只有在大样本下才能模型的良好性质只有在大样本下才能 得到理论上的证明得到理论上的证明 六、多元线性回归模型的参数估计实例六、多元线性回归模型的参数估计实例 例例3.2.2 在例2.
11、5.1中，已建立了中国居中国居 民人均消费民人均消费一元线性模型。这里我们再考 虑建立多元线性模型。 解释变量：解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1) 估计区间估计区间：19792000年 Eviews软件估计结果 LS / Dependent Variable is CONS Sample(adjusted): 1979 2000 Included observations: 22 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 120.7000 36.51036
12、 3.305912 0.0037 GDPP 0.221327 0.060969 3.630145 0.0018 CONSP(-1) 0.451507 0.170308 2.651125 0.0158 R-squared 0.995403 Mean dependent var 928.4946 Adjusted R-squared 0.994920 S.D. dependent var 372.6424 S.E. of regression 26.56078 Akaike info criterion 6.684995 Sum squared resid 13404.02 Schwarz criterion 6.833774 Log likelihood -101.7516 F-statistic 2057.271 Durbin-Watson stat 1.278500 Prob(F-statistic) 0.000000
