1、1 交作业时间：周二交作业时间：周二 2 答疑时间：答疑时间：双周星期二、四双周星期二、四 单周星期一、三单周星期一、三 晚晚7：309：00 西五西五116东九东九A座座210 3 期末综合成绩期末综合成绩 卷面卷面70%+作业作业20%+其他其他10% 4 期末缺交作业次数达到或超过总次期末缺交作业次数达到或超过总次 数数1/3，期末成绩以零分计，期末成绩以零分计 网考、随堂测验、网考、随堂测验、 2 5 作业作业 2 请各班请各班物理课代表物理课代表或或学委学委或或班长班长留下联系电话号码留下联系电话号码 6 课堂演示在期末考卷中占课堂演示在期末考卷中占6分分 平均每周两页，原则上所有题
2、目均要求做平均每周两页，原则上所有题目均要求做 3 热热 学学 篇篇 自然界中物质的运动形式多种多样，前面已经讨论了自然界中物质的运动形式多种多样，前面已经讨论了 物质的物质的机械运动机械运动和和电磁运动电磁运动这两种基本形式。下面将这两种基本形式。下面将 研究物质运动的另一种基本形式研究物质运动的另一种基本形式分子热运动。分子热运动。 热学：研究分子热运动极其与其他运动形式之间的互热学：研究分子热运动极其与其他运动形式之间的互 相转化所遵循的规律。相转化所遵循的规律。 第第9 9章可不做的作业题章可不做的作业题 9T2, 9T3, 9T11 9T3, 9T4 9T10 题题放放在在 题题后后
3、面面 4 2322 6 022 1022 42 69 10.N 解：标态下，人呼吸一口气的体积约解：标态下，人呼吸一口气的体积约1L，分子数为：，分子数为： 1atm1.013105N/m2 压在压在1m2地面上气柱的重量地面上气柱的重量 大气总质量大气总质量 大气总体积：大气总体积： mg p 26 1073 . 64 10.0 atm1 ）（ 地球地球总总 SmM gpm/ 5 101.013 kg105 18 阿伏伽德罗常数：阿伏伽德罗常数：NA 6.0221023 /mol Vm=22.4L/mol1L的摩尔数的摩尔数 1/22.4mol LL NN 1A1 2 m1 m VV 总总总
4、总 mol M M总 总 22.4L/mol3.861021L L1 22 21 2 69 10 7 3 86 10 . . N VL N1 大气摩尔质量大气摩尔质量Mmol29g/mol 呼呼 L1 2 m/s10 g 吸吸 分子的热运动与力学、电磁学一样与我分子的热运动与力学、电磁学一样与我 们的生活、工作、科学和技术密切相关们的生活、工作、科学和技术密切相关 将将N1L个气体分子均匀混合到个气体分子均匀混合到V总 总中，每 中，每L里含有分子数为：里含有分子数为： 5 第九章第九章 气体动理论气体动理论 6 6学时学时 热学热学研究构成物质的大量微观粒子的热运动使物体反研究构成物质的大量
5、微观粒子的热运动使物体反 映出来的规律映出来的规律 如果不管物质的内部结构，只从宏观角度去如果不管物质的内部结构，只从宏观角度去 讨论系统的讨论系统的p,T,V, 热学热学 如果从物质的内部结构出发去讨论系统的如果从物质的内部结构出发去讨论系统的 p,T,V, 与微观上的关系与微观上的关系气体动理论气体动理论 1 1、几个基本概念、几个基本概念 出发点出发点 研究方法研究方法 6 1 1、热力学系统与外界、热力学系统与外界 2 2、平衡态与状态参量、平衡态与状态参量 平衡态平衡态 非平衡态非平衡态 将要研究的对象称为将要研究的对象称为“热力学系统热力学系统”，简称，简称“系统系统”，除，除 此
6、之外的一切环境称为此之外的一切环境称为“外界外界” 1 1、几个基本概念、几个基本概念 大量原子分子组成的大量原子分子组成的 孤立系孤立系 mE 封闭系封闭系 mE 开放系开放系 mE 绝热系绝热系 Q 7 何为平衡态和非平衡态？何为平衡态和非平衡态？ 例：例： II 在没有外界影响情况下，系统不发生在没有外界影响情况下，系统不发生 任何宏观变化的状态任何宏观变化的状态“平衡态平衡态” 状态参量状态参量当一系统处于平衡态时，具有一系列可以用当一系统处于平衡态时，具有一系列可以用 确定的物理量来表征的特征量确定的物理量来表征的特征量 平衡态平衡态 非平衡态非平衡态 均匀一致均匀一致 平衡态平衡态
7、 I 真空真空 QE, , mN pVTn VV 外界作用外界作用外界条件不变外界条件不变 如质量一定的气体处于平衡态如质量一定的气体处于平衡态 8 独立状态参量独立状态参量状态方程状态方程 状态参量空间状态参量空间 V 1 V I 2 V II 非平衡态没有确定的 非平衡态没有确定的状态参量状态参量 ，不能以参量空间的点表示，不能以参量空间的点表示 各处压强温度密各处压强温度密 度度等都不一致等都不一致 Tp, TV, Vp, ),( ),( ),( TpVV TVpp VpTT p 1 p 2 p I 真空真空 II 11,V p 22,V p 11 ,p V 22 ,p V 有了参量空间
8、后：有了参量空间后：平衡态平衡态参量空间的一个点参量空间的一个点 3 3、热力学过程，过程曲线、热力学过程，过程曲线 将系统从将系统从I态经过一系列的中间态最后达到态经过一系列的中间态最后达到II态这态这 种状态的演化过程称为种状态的演化过程称为“热力学过程热力学过程” 准静态过程准静态过程 非准静态过程非准静态过程 I 真空真空 II 非准静态过程非准静态过程 10 准静态过程例：准静态过程例： 11 V,P 11 V,P 准静态过程准静态过程 I 11,V p II 22 V,P 22,V p I,II，以及每一个中间态均为平衡态，以及每一个中间态均为平衡态 ,p V,p V I 真空真空
9、 II 11 V 1 V I 2 V II V 1 V I 2 V II III I 真空真空 II 无过程曲线！无过程曲线！ 5 过程曲线过程曲线 p 1 p 2 p 1 p 2 p p 11,V p 11,V p 11V p 22,V p 12 结论：结论： 准静态过程准静态过程过程曲线过程曲线 过程过程曲线上每一点曲线上每一点 过程中某个平衡态过程中某个平衡态 无限缓慢进行的过程无限缓慢进行的过程 4 4、温度、温度T 单位单位开尔文开尔文K tT 273 摄氏温度摄氏温度 直观含义直观含义物体的冷热程度物体的冷热程度 微观含义微观含义将在后续课讨论将在后续课讨论 13 5 5、气体分子
10、运动论的统计规律、气体分子运动论的统计规律 由大量事实告诉我们：当系统由极大量的粒子构成时，由大量事实告诉我们：当系统由极大量的粒子构成时， 粒子的行为服从一个特定规律粒子的行为服从一个特定规律-统计规律统计规律 例：例：“枷尔顿板枷尔顿板”实验实验 热力学系统热力学系统 大量原子分子呈现出的行为：必然性和有规则性大量原子分子呈现出的行为：必然性和有规则性 个别原子分子的行为：偶然性无规性个别原子分子的行为：偶然性无规性 对热力学系统对热力学系统采用统计的方法加以研究采用统计的方法加以研究 说明：说明：大量粒子的行为呈现出一种规律性大量粒子的行为呈现出一种规律性统计规律统计规律 偶然性偶然性
11、无规性无规性 必然性必然性 有规性有规性 单个粒子单个粒子 大量粒子大量粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2、理想气体理想气体 一、状态方程一、状态方程 实验给出：质量一定的任何气体，在温度较高，压强较实验给出：质量一定的任何气体，在温度较高，压强较 小的条件下小的条件下p,V,T三者之间关系为三者之间关系为 m: :气体质量气体质量kg; ; M:摩尔质量摩尔质量kg/mol V:体积体积（m3、L） R: :气体普适恒量（气体普适恒量
12、（8.31 J/molK） 1 1L=10=10-3 -3m3 3 p: :气体压强气体压强 N/m2 (Pa) M 气体摩尔数气体摩尔数 M m 5 1 1Paatm 1.013 10 m pVRT M 15 a. .等温过程：等温过程：T= =恒量恒量 pV= =恒量恒量 V p cT cp cV 值得注意的是：值得注意的是： RT M m pV 是是状态状态方程方程 过程过程方程方程 T III b. . 等压过程：等压过程：p= =恒量恒量 V/T= =恒量恒量 c. .等容过程：等容过程：V=恒量恒量 p/T = =恒量恒量 p V II 准静态过程准静态过程 m pVRT M m一
13、一定定 质量一定质量一定 16 例：容器内氧气例：容器内氧气0.1kg0.1kg，压强，压强10atm10atm，温度，温度47470 0C C。因漏气，。因漏气， 经过一段时间后压强变为原来的经过一段时间后压强变为原来的5/85/8，温度变为，温度变为27270 0C C。问。问 容器的体积容器的体积V=? =? 漏了多少氧气？漏了多少氧气？ VTpm, 111 漏气前漏气前 VTpm, 222 漏气后漏气后 以容器中气体为系统。已知：以容器中气体为系统。已知：kg/mol1032 3 M kg.m10 1 atm10 1 pK32047273 1 T atm10 8 5 2 pK30027
14、273 2 T 求求V 及漏了多少氧气及漏了多少氧气 21 mmm 1 1 1 RT M m Vp 33 3 5 1 11 m10218 101032 3201021810 . . Mp RTm V 当压强单位当压强单位atm ? ？ 17 VTpm, 222 漏气后漏气后 对末态对末态 2 2 2 RT M m Vp 3001021. 8 1021. 810 8 5 1032 5 33 2 2 2 RT VMp m 2 6.67 10 kg 所以所以 2 12 0.10.06673.33 10 kgmmm 通过该例说明：状态方程给出的是通过该例说明：状态方程给出的是质量一定质量一定的气的气
15、体在确定的平衡态下体在确定的平衡态下p,V,T三者之间的关系三者之间的关系 VTpm, 111 漏气前漏气前 18 二、理想气体的压强和温度的微观本质二、理想气体的压强和温度的微观本质 对每个分子用对每个分子用1 1 冲量定理；冲量定理；2 2 一些统计假设一些统计假设 气体的压强气体的压强 p与微观量的关系：与微观量的关系： V N n 为为分子数密度；分子数密度； f m 为为一个分子的质量一个分子的质量 2 v 为为分子速度平方的平均值分子速度平方的平均值 222 2 2 1 2 11 iN v N vvv N v)( i v为第为第i个分子的个分子的 速度速度 引入分子的引入分子的平均
16、平动动能：平均平动动能： 22 2 1 2 1 vmvm fftk )( , 于是有：于是有： 2 3 1 vnmp f N个分子个分子 f m i v , 2 3 k t pn 19 tk np , 3 2 :p N个分子构成的气体系统的压强个分子构成的气体系统的压强宏观量宏观量 t ,k :分子的平动动能分子的平动动能微观量微观量( (统计平均值统计平均值) ) 结论是：结论是： 什么是什么是压强的微观本质？压强的微观本质？ 压强的大小反映了分子平均平动动能的大小（分子数密度压强的大小反映了分子平均平动动能的大小（分子数密度 不变情况下）不变情况下） 下面我们再讨论什么是温度的微观本质？下
17、面我们再讨论什么是温度的微观本质？ 22 , 3 ) 2 1 ( 3 2 3 2 vm n vmnnp fftk V m m V N nm ff 2 3 1 vp 22 )( 3 1 v 1 20 温度的微观本质？温度的微观本质？ V RT M Nm V RT M m p f n V N 分子数密度分子数密度 RT M m n f f mNM A A N 阿伏伽得罗常数阿伏伽得罗常数 T N R n A A N R k 玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数 nkTp 由由RT M m pV 状态方程状态方程 tk np , 3 2 nkTp tk np , 3 2 比较比较 kT t ,k 2 3 分子的
18、平均平动动能分子的平均平动动能 微观量的统计平均微观量的统计平均 宏观量宏观量 什么是什么是温度的微观本质？温度的微观本质？ 温度的大小反映了分子的平均平动动能的大小（直接）温度的大小反映了分子的平均平动动能的大小（直接） f mNA 21 pVRT nkTp , 2 3 k t pn 2 3 1 vp 22 )( 3 1 v kT t ,k 2 3 宏观量之间关系宏观量之间关系 宏观量与微观量之间关系宏观量与微观量之间关系 V N n V m m M 22 三、内能三、内能 能均分定理能均分定理 自由度自由度用来确定物体空间位置的独立坐标数。记以用来确定物体空间位置的独立坐标数。记以 i a
19、. .单原子分子单原子分子 ( , , )x y z b.双原子分子双原子分子 刚性分子刚性分子 )z , y,x( 6个自由度个自由度? 1 222 coscoscos rti 235 平动自由度平动自由度 转动自由度转动自由度 非刚性分子（高温时）非刚性分子（高温时） r 由于此时振动自由度由于此时振动自由度“开放开放” srti 6123振动自由度振动自由度 c. c. 多原子分子多原子分子 6itr 刚性多原子分子刚性多原子分子 x z y .C( , , )x y z . 3t 213r 非刚性多原子分子非刚性多原子分子 3itrsn 其中其中3个是平动的，个是平动的，3个是转动的，
20、（个是转动的，（3n6）个振动的）个振动的 24 前得到气体分子的平均平动动能前得到气体分子的平均平动动能 kT tk 2 3 , 假定：分子的速度按方向均匀分布假定：分子的速度按方向均匀分布 zyx vvv 222 zyx vvv ) 3 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2222 vmvmvmvm fzfyfxf kTkT tk 2 1 =) 2 3 ( 3 1 = 3 1 = , 结论结论：分子的平均平动动能：分子的平均平动动能 是均匀分配在每个平动是均匀分配在每个平动 自由度上的（自由度上的（ ） kT 2 3 kT 2 1 ？当分子还兼有转动？当分子还兼有转动. .振动自由度时
21、，是否应该每个自由振动自由度时，是否应该每个自由 度上都有度上都有 的平均动能？的平均动能？kT 2 2 1 1 ? 2 v 0 kTvm xf 2 1 2 1 2 kTvm yf 2 1 2 1 2 kTvm zf 2 1 2 1 2 3 t 2 2 1 vm ftk , x v y v z v )( 2 1 2 1 222 2 zyxff vvvmvm 1 v2v 3 v 3 1 25 可以证明：分子的每个自由度上都有可以证明：分子的每个自由度上都有 的平均动能的平均动能 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理 kT 2 1 所以：所以：平均一个分子的总动能平均一个分子的总动能 例：例：
22、单原子分子气体单原子分子气体 He ,Ne ,Ar 3 tikT k 2 3 双原子分子气体双原子分子气体 H2 ,O2 ,N2 常温及以下常温及以下 523 rti kTkTkT r ,kt ,kk 2 5 2 2 2 3 高温时（振动自由度开放）高温时（振动自由度开放） 6123 srti kTkTkTkT s ,kr ,kt ,kk 2 6 2 1 2 2 2 3 kT i k 2 ,tk 26 由于每个分子除了动能外可能还有由于每个分子除了动能外可能还有势能。势能。所以平均一所以平均一 个分子的个分子的总能量总能量应为：应为： pk += p skp, 振动学证明：谐振动在一个周期内的
23、振动学证明：谐振动在一个周期内的 平均振动势能和平均振动动能相等平均振动势能和平均振动动能相等 skp, s 对具有对具有 个振动自由度的分子个振动自由度的分子 = =+ pk kT)srt (kT s kT i 2 2 1 22 平均一个分子的总能量应为：平均一个分子的总能量应为： 对具有一个振动自由度的分子对具有一个振动自由度的分子 srti kT 2 1 kT 2 s kT i 2 k 分子平均总动能分子平均总动能 平动平动, ,转动转动, ,振动振动 ？ ? 分子内原子间分子内原子间 27 A N M m N A N R k kTsrtN M m NE)2( 2 1 A RT)srt(
24、 M m E2 2 1 现气体中有现气体中有N个分子，个分子， = k kT Ts sr rt tk kT T S S k kT T i i )(2 2 1 22 E 气体内能记以气体内能记以 R M m 1 1摩尔气体的内能摩尔气体的内能 RT)srt (Emol2 2 1 特别：特别：s=0=0时时 RT i Emol 2 结论：理想气体的内能只与温度有关结论：理想气体的内能只与温度有关 RT i M m E 2 RT M m pV pV i 2 pV i 2 irt 28 kT t tk 2 , kT r k 2 r , kT s k 2 s , kT i k 2 skp, kT 2 s
25、 kTsrtkT S kT i )2( 2 1 22 RT si M m E 2 pV i 2 s RT i Emol 2 s pV i 2 s 平均一个分子的平均一个分子的 理想气体（理想气体（N个分子的）内能个分子的）内能 9-T6 一容器储有氧气，压强一容器储有氧气，压强1.01 105Pa,温度为温度为 27.0C，求（，求（1）分子数密度）分子数密度 nkTp 325 m1044. 2 kT p n （2）质量密度）质量密度 3 kg/m30. 1 RT pM V m （3）分子平均平动动能）分子平均平动动能 J1021. 6 2 3 21 tk, kT 分子平均转动动能分子平均转动
26、动能 kT 2 2 tr, 30 9T8在容积为在容积为2.0 10-3m3的容器中有内能为的容器中有内能为6.75 102J刚刚 性双原子分子理想气体。（性双原子分子理想气体。（1）求压强；）求压强； （2 2）分子总数为）分子总数为5.4 1022个，求分子平均平动动能和气体个，求分子平均平动动能和气体 的温度的温度 RT i M m RT si M m E 22 5 Pa1035. 1 5 2 5 V E p 由分子转动动能贡献由分子转动动能贡献 由分子平动动能贡献由分子平动动能贡献 ? ? E EN tk 5 3 , J1050. 7 5 3 21 , N E tk kT tk 2 3
27、 , K362 3 2 , k T tk 5/3 5/2 pV 2 5 RT M m pV )( ,rktk NE 5/3 rktk NN , 31 课堂练习课堂练习1：请给出下列各式的物理意义：请给出下列各式的物理意义： kT 2 1 1kT 2 3 2kT i 2 3RT i 2 4 RT M m 2 3 5 RT i M m 2 6 m 气体的质量，气体的质量，M该气体的摩尔质量该气体的摩尔质量 分子一个自由度上的平均动能或平均振动势能分子一个自由度上的平均动能或平均振动势能 分子的平均平动动能或单原子分子的平均能量分子的平均平动动能或单原子分子的平均能量 分子的平均总动能分子的平均总动
28、能 一摩尔刚性分子理想气体的内能一摩尔刚性分子理想气体的内能 摩尔刚性分子理想气体的内能摩尔刚性分子理想气体的内能 摩尔单原子分子理想气体的内能摩尔单原子分子理想气体的内能 RT si M m 2 7 摩尔理想气体的内能，且为振动自由度开放摩尔理想气体的内能，且为振动自由度开放 4 2 1 6 7 83， kTsrt)( 2 1 8 kTsrt)2( 2 1 9 平均一个分子的总能量平均一个分子的总能量 9 5 32 课堂练习课堂练习2 水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即 H2OH2+O2/2,也就是也就是1mol的水蒸气可分解为同温度的的水蒸气可分解为同温度
29、的 1mol氢气和氢气和1/2mol氧气，不计振动自由度，求此过程中内氧气，不计振动自由度，求此过程中内 能的增量。能的增量。6OH 2 i 0H,1 2 mol EE i 22 OH 和和 2 H,mol E 2 ,0 2 mol E 4 15 4 5 2 5 2 RTRTRT E 12 EEE 4 15RT RT3 4 3RT RT si M m E 2 RT RT 3 2 6 5 2 5RT 2 5 2 1RT 2 iRT 33 2 麦克斯韦分子速率分布函数麦克斯韦分子速率分布函数 讨论对象：平衡态理想气体讨论对象：平衡态理想气体 分子数分子数N , ,体积体积V, , 分子质量分子质量
30、 mf , ,速度速度 v, , 不计重力不计重力 分子有多大的概率其速率出现在分子有多大的概率其速率出现在 范围内范围内 0 10(m/s)； 10 20(m/s)； 20 30(m/s) 1 N N 2 N N 3 N N ),( 321 N NN NN NN个分子按速率的分布个分子按速率的分布 N N N N i i vvv ii i vvv i vi i N N N N/N N/N N/ N Ni 确定的宏观态确定的宏观态 N N V V 2 v 3 v 1 v 连续取值连续取值 0v x v y v z v “分组”“分组” 1不论分子速度的方向如何不论分子速度的方向如何 2不管分子
31、在容器中位置如何不管分子在容器中位置如何 按速度的大小分组按速度的大小分组 愈大愈大分子速率取值在这一区域的机会愈多分子速率取值在这一区域的机会愈多 34 v 1 N 2 N i N i vvvi 推广到一般推广到一般：“速率分布速率分布”就是要指出就是要指出 N Nvd vd vvf N Nv d)( d 比例系数含于比例系数含于 )(vf 22 -2e d d v Av vN N vf 分子速率分布函数分子速率分布函数 v Nd v vvvd o o N/ ？v )(vf 由统计理论可以得到由统计理论可以得到 P174 (7-3-11) 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 f m 分
32、子质量分子质量 2/3 ) 2 (4),( kT m TmAA f f kT m f 2 2 速率在速率在v-v+dv的分子数的分子数 总总分子数分子数 1 v 2 v 或：或：速率在速率在 范围内的分子数范围内的分子数 占总分子占总分子 数的比数的比 为多少？为多少？ dvvv d v N d/ v NN 速率在速率在 范围内的分子数范围内的分子数 为多少？为多少？ dvvv d v N v N Nd 总分子数总分子数 分子数分子数 11 dvvv 22 dvvv 35 中国教育部爱课程网：中国教育部爱课程网： http:/ 中国中国MOOC课程平台：课程平台： http:/ 清华大学学堂在
33、线清华大学学堂在线 http:/ 东西部高校课程联盟共享东西部高校课程联盟共享 http:/ 上海高校课程中心上海高校课程中心 http:/ 我校我校大学物理大学物理资源共享课网址资源共享课网址(爱课网爱课网)： http:/ 网易公开课：网易公开课： http:/ 新浪公开课：新浪公开课： http:/ 物理英文网站：物理英文网站： http:/hyperphysics.phy- astr.gsu.edu/hbase/hframe.html 国际国际MOOC课程平台：课程平台： Udacity https:/ c. c. 多原子分子多原子分子 6itr 刚性多原子分子刚性多原子分子 x z
34、y .C( , , )x y z . 3t 213r 更正更正1-1 37 2 麦克斯韦分子速率分布函数麦克斯韦分子速率分布函数 讨论对象：平衡态理想气体讨论对象：平衡态理想气体 分子有多大的概率速率出现在分子有多大的概率速率出现在 范围范围 i N N vvv ii i vvv i vi i N NN Ni N N V V 2 v 3 v 1 v “分组”“分组” 1不论分子速度的方向如何不论分子速度的方向如何 2不管分子在容器中位置如何不管分子在容器中位置如何 按速度的大小分组按速度的大小分组 复习复习1-1 22 2 - d e d v v N f vAv N v 麦克斯韦速率分布函数麦
35、克斯韦速率分布函数 3/2 4() 2 f m A kT kT m f 2 2 dv dv d v N d v N N d v N N ( )df vv 38 vN N vf v d d 的物理意义的物理意义 1 1分子速率在分子速率在v附近、单位速率间隔内的分子数附近、单位速率间隔内的分子数dNv占总占总 分子数的比分子数的比 2 2对每个分子而言，速率出现在对每个分子而言，速率出现在v附近单位速率间隔内的附近单位速率间隔内的 概率概率 （1 1）做）做 曲线曲线 vvf)( v vN N vf d d )( vvvd p v p v 最概然速率最概然速率 小窄条给定的速率小窄条给定的速率
36、区间内的分子数占区间内的分子数占 总分子数的比总分子数的比 对速率分布函数的进一步讨论：对速率分布函数的进一步讨论： 22 -2e d d v v Av vN N vf d d( )d v N Sf vv N dS 39 （2） 1 分布函数的分布函数的归一化条件归一化条件 （3 3）f(v)与与T 有关（当分子质量有关（当分子质量 一定时）一定时） f m 问：为什么当峰往右移动的同时曲线会变得平坦？问：为什么当峰往右移动的同时曲线会变得平坦？ 00 d ( )d N N f vv N 2 - 3/22 2 d 4 ()e d2 f m v f v kT m N f vv N vkT 0 小
37、小 T T 大大 T T ( )f v p v 小小 p v 大大 v 0 大大f m 小小f m ( )f v p v 小小 p v 大大v f m (4) (4) 与与 有关（当温度有关（当温度T一定时）一定时） ( )f v 分数分数g 人数人数 N 60 10 70 10 80 30 90 40 100 10 =100N总人数 60 10+70 10+80 30+90 40+100 10 = 100 g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 1 N 3 N 5 N 2 N 4 N 1122334455 + = gNgNgNgNgN g N = ii i gN N （5 5）由由 可求
38、出许多分子微观量的统计平均值可求出许多分子微观量的统计平均值)(vf 41 （5 5）由由 可求出许多分子微观量的统计平均值可求出许多分子微观量的统计平均值)(vf 平均分子速率平均分子速率 v i iv N N NvNv N v 1 2211 )( vvvf N N vvd d M RT v601. vvf N N d d )( 用到用到 M RT v 8 分子方均根速率分子方均根速率 2 v 2 v vvfv N N vvd d 222 其中其中 为摩尔质量 为摩尔质量 M M 22 1122 1 ()vNvN N 2 i iv N N M RT3 M RT 8 M RT v3 2 若有任
39、意与分子速度若有任意与分子速度 有关的微观量有关的微观量 )(vg g？对所有分子求该量的统计平均值的表达式？ 对所有分子求该量的统计平均值的表达式？ 22 -2ev Avvf 42 对任意一个关于分子速率对任意一个关于分子速率v的函数的函数g g(v)，其统计平均值，其统计平均值 如如 2 2 1 vm ftk , 则则 vvfvm ftk d 2 1 2 0 )( , Nvg N gd)( 1 N0 vvf N N d d )( vvNfd)( 1 v 2 v v N )( 2211 NgNgg N/ N Ng N ii vvNfNdd)( )( 2211 21 NgNgg vv N /
40、Nvg N g vv d)( 1 21 N 1 v 2 v vvNfd)( 对所有分子求平均对所有分子求平均 vvfvggd 0 )()( N Ng N ii 2 1 2 1 d d v v v v vvNf vvNfvg )( )()( 对速率在对速率在v1 v2之间 之间 的的分子求平均分子求平均 N vvNfNd)(d 2 1 2 1 d d v v v v vvf vvfvg g )( )()( Nd 2 1 v v 2 1 v v 43 除了以上两个平均值外，还有一个常用到的速率除了以上两个平均值外，还有一个常用到的速率 3 3）最概然速率）最概然速率vp与与f(v)的极值点相应的速
41、率的极值点相应的速率 kT vm f f v kT m vN N vf 2 - 223 2 e 2 4 d d / )( A A 22 2v eAvvf )( 2 由极值条件由极值条件 0 d d v vf)( 01 22 v 1 v f p m kT v 21 A RkN Af MN m 称为气体的三个特征速率称为气体的三个特征速率 M RT M RT 2 2 M R m k f d ( ) d N f v N v v p v v 2 v 1.60 RT v M 2 3 RT v M 2 p RT v M 气体的三个特征速率气体的三个特征速率 1.60 RT v M 2 3 RT v M 2
42、 p RT v M 比较不同气体或不同温度时的速率分布曲线比较不同气体或不同温度时的速率分布曲线 p v 计算分子的自由飞行路程、讨论气体输运过程计算分子的自由飞行路程、讨论气体输运过程 v 计算分子的平均平动动能计算分子的平均平动动能 2 v 4545 以分子质量和温度为参数以分子质量和温度为参数 以分子最概然速率为参数以分子最概然速率为参数 2 2 p f kT v m 2 1 2 f p m kTv 2 3/22 2 d ( )4 ()e d2 f m v f kT m N f vv N vkT 2 f m kT2 f m kT 2 2 3/22 2 d1 ( )4 ()e d p v
43、v p N f vv N vv 1.60 RT v M 2 3 RT v M 2 p RT v M 46 （1 1）速率在）速率在v附近单位速率间隔附近单位速率间隔 内的分子数占总分子数的比内的分子数占总分子数的比 （2 2）速率在）速率在v v+dv间隔内的分间隔内的分 子数占总分子数的比子数占总分子数的比 2 1 d 1 v v N N （3 3）速率在）速率在v1 v2间隔内的分子间隔内的分子 数占总分子数的比数占总分子数的比 2 1 d v v N （4 4）速率在）速率在v1 v2间隔的分子数间隔的分子数 （5 5）速率在）速率在v1 v2间隔内的分间隔内的分 子的平均速率子的平均速
44、率 下列各式的物理意义是什么？请用连接线表示出来下列各式的物理意义是什么？请用连接线表示出来 N Nd vN N vf v d d 2 1 (1)d v v Nf vv 2 1 (2)d v v f vv (4)df vv 2 1 2 1 d (5) d v v v v vf vv f vv d (6) d v N f v N v (3)( )dNf vv （6 6）速率在）速率在v v+dv间隔内的分子数间隔内的分子数 1 v 2 v v N Nd =dN 47 2 1 2 1 (7)d 2 v f v Nm v f vv 2 1 2 1 2 1 d 2 (8) d v f v v v m
45、v f vv f vv 2 1 2 1 d d v v v v vvf vvfvg g )( )()( 速率在速率在v1 v2间隔内的分子平均平动动能间隔内的分子平均平动动能 22 2 1 11 22 11 dd 22 vv v ffii v vv m v Nf vvm vNg N 速率在速率在v1 v2间隔内的分子平动动能的总和间隔内的分子平动动能的总和 vvNfNdd)( 48 例：已知例：已知N个分子构成的气体系统分子速率分布函数为，个分子构成的气体系统分子速率分布函数为， 其中其中 求求1 1）分子速率大于）分子速率大于vp的分子总数的分子总数 2 3 2 ) kTkT m m A A
46、 f f （ p f vkT m 1 2 22 2v eAvvf )( v vN N vf d d )( p v p v v veAvNd 22 2 （阴影下面积）（阴影下面积） N N Nd Nd p v vvNfN)d(d vN N vf v d d d p v N vvNf p v d )( 49 p f vkT m 1 2 22 2v eAvvf )( 2)求速率在求速率在500501（m/s）之间的分子数）之间的分子数N？ NNd 500 501 vvNfd 501 500 )(vNf500)( 1 )(Nf 500 2 2 500 500 2 )( NAe 当给出气体种类及温度当给
47、出气体种类及温度T,m f 可求出可求出 2/3 ) 2 (4 kT m A f p f vkT m 1 2 3 3）求每个分子出现在速率为）求每个分子出现在速率为500-501(500-501(米米/ /秒秒) )内的概率内的概率 )500( f N N vvNfN)d(d 50 F v 例：导体中自由电子的运动可看做类似气体分子运动。故例：导体中自由电子的运动可看做类似气体分子运动。故 常称导体中的电子为电子气。设导体中有常称导体中的电子为电子气。设导体中有N个自由电子，个自由电子， 电子最大速率电子最大速率vF. .电子的速率出现在电子的速率出现在v v+dv内的概率为：内的概率为： v
48、A N v d 4 2 0 vvF F vv N Nd 0 A 其中其中 为恒量为恒量 vf1 1）写出电子气中电子的速率分布函数）写出电子气中电子的速率分布函数 vN N vf d d A N v 2 4 0 vvF 0F vv 1 3 4 d 4 d 4 3 0 2 0 2 F vv v N A vv N A vv N A FF 3 4 3 F v N A 2 2）求常数）求常数A 1dd 00 vvfvvf F v )( 由归一化条件由归一化条件 51 3)画速率分布曲线画速率分布曲线 vN N vf d d A N v 2 4 0 vvF 0F vv )(vf v 0 F v 4)4)
49、求电子的平均速率求电子的平均速率 及速率倒数的平均值及速率倒数的平均值 v 1 ( ) v FF vv dvv N A vv N A vvvvfv 0 3 0 2 0 4 d 4 d)( F F v N Av 4 3 4 FFF vvv vv N A vv N A v vvf vv 0 2 00 d 4 d 41 d 11 )( F F v v N A 2 32 2 3 4 3 F v N A 11 () vv v 52 5)5)求电子的平均动能（设电子质量为求电子的平均动能（设电子质量为m） vvfvmvvfmv t d 2 1 d 2 1 2 0 2 0 2 5 3 2 1 Fk vm 2
50、 2222 00 43 dd 5 FF vv F v vv f vvvA vv N 所以所以 F vv 4 3 注意：前面已得出注意：前面已得出 显然显然 222 9 16 F vvv 6 6）求）求 内的电子数内的电子数 F vv F v v NNd vfgvgd 0 )( vN N vf d d )( )(vf v 0 F vv A N v vf 2 4 Nvv N A N F v v64 37 d 4 2 用到用到 3 4 3 F v N A F vv 4 3 N N vvfNvvfN FF v v v v dd)()( 53 以上讨论中以上讨论中 讨论对象：平衡态下的理想气体讨论对象：
