1、第三章第三章导数及其应用导数及其应用 第二节第二节导数的应用第导数的应用第 1 课时课时 考点考点 2 含参数的函数的单调性含参数的函数的单调性 （2018浙江卷）已知函数 f（x） ?ln x. （1）若 f（x）在 xx1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）f（x2）88ln 2； （2）若 a34ln 2，证明：对于任意 k0，直线 ykxa 与曲线 yf（x）有唯一公共点 【解析】证明（1）函数 f（x）的导函数为 f（x） ? ? ? ? ?. 由 f（x1）f（x2）得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 因为 x1x2， 所以 ? ? ? ? ? ?. 由基本不等
2、式，得? ? ? ? ?2?. 因为 x1x2，所以 x1x2256. 由题意得 f（x1）f（x2） ?ln x1 ?ln x2? ? ?ln（x1x2） 设 g（x） ? ? ln x，则 g（x） ? ?（ ?4） ， 当 x 变化时，g（x）和 g（x）的变化如下表所示： 所以 g（x）在（256，）上单调递增， 故 g（x1x2）g（256）88ln 2， 即 f（x1）f（x2）88ln 2. （2）令 me（|a|k） ，n ? ? ? 21，则 f（m）kma|a|kka0， f（n）knan ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ? 0， 所以存在 x0（m，n）
3、，使 f（x0）kx0a， 所以对于任意的 aR 及 k（0，） ，直线 ykxa 与曲线 yf（x）有公共点 由 f（x）kxa，得 k ?ln? ? . 设 h（x） ?ln? ? ， 则 h（x） ln? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 其中 g（x） ? ? ln x. 由（1）可知 g（x）g（16） ，又 a34ln 2， 故g（x）1ag（16）1a34ln 2a0， 所以 h（x）0，即函数 h（x）在（0，）上单调递减， 因此方程 f（x）kxa0 有唯一一个实根 综上，当 a34ln 2 时，对于任意 k0，直线 ykxa 与曲线 yf（x）有唯一公共点 【答案】见解析
4、 （2018天津卷（理） ）已知函数 f（x）ax，g（x）logax，其中 a1. （1）求函数 h（x）f（x）xln a 的单调区间； （2）若曲线 yf（x）在点（x1，f（x1） ）处的切线与曲线 yg（x）在点（x2，g（x2） ）处的切线平行，证 明 x1g（x2）?lnln ? ln ? ； （3）证明当 ae ? e时，存在直线 l，使 l 是曲线 yf（x）的切线，也是曲线 yg（x）的切线 【解析】 （1）由已知得 h（x）axxln a，则 h（x）axln aln A 令 h（x）0，解得 x0. 由 a1，可知当 x 变化时，h（x） ，h（x）的变化情况如下表：
5、所以函数 h（x）的单调递减区间为（，0） ，单调递增区间为（0，） （2）证明由 f（x）axln a，可得曲线 yf（x）在点（x1，f（x1） ）处的切线斜率为 ax1ln A由 g（x） ? ?ln ?，可得曲线 yg（x）在点（x2，g（x2） ）处的切线斜率为 ? ?ln ?.因为这两条切线平行，所以有 ax1ln a ? ?ln ?， 即 x2ax1（ln a）21，两边取以 a 为底的对数，得 logax2x12logaln a0，所以 x1g（x2）?lnln ? ln ? . （3）证明曲线 yf（x）在点（x1，ax1）处的切线为 l1：yax1ax1ln a（xx1）
6、曲线 yg（x）在点 （x2，logax2）处的切线为 l2：ylogax2 ? ?ln ?（xx2） 要证明当 ae ? e时，存在直线 l，使 l 是曲线 yf（x）的切线，也是曲线 yg（x）的切线，只需证明当 ae ? e 时，存在 x1（，） ，x2（0，） ，使得 l1与 l2重合 即只需证明当 ae ? e时，下面的方程组有解 ?ln ? t ? ?ln ? ? ? ?ln ? t log? ? ln ? ? 由得，x2 ? ?ln ?，代入， 得 ax1x1ax1ln ax1 ? ln ? ?lnln ? ln ? 0. 因此，只需证明当 ae ? e时，关于 x1的方程存在实
7、数解 设函数 u（x）axxaxln ax ? ln ? ?lnln ? ln ? ， 即要证明 ae ? e时，函数 u（x）存在零点 u（x）1（ln a）2xax，可知当 x（，0）时，u（x）0；当 x（0，）时，u（x）单调递减， 又 u（0）10，u ? ?ln ? 1a ? ?ln ?0，故存在唯一的 x0，且 x00，使得 u（x0）0， 即 1（ln a）2x0ax00.由此可得 u（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减 u（x）在 xx0处取得极大值 u（x0） 因为 ae ? e，所以 ln ln a1， 所以 u（x0）ax0 x0ax0ln ax0 ?
8、ln ? ?lnln ? ln ? ? ?ln ?x0 ?lnln ? ln ? ?ln ln ? ln ? 0. 下面证明存在实数 t，使得 u（t）0. 由（1）可得 ax1xln a， 当 x ? ln ?时，有 u（x）（1xln a） （1xln a）x ? ln ? ?lnln ? ln ? （ln a）2x2x1 ? ln ? ?lnln ? ln ? ， 所以存在实数 t，使得 u（t）0. 因此当 ae ? e时，存在 x1（，） ，使得 u（x1）0. 所以当 ae ? e时，存在直线 l，使 l 是曲线 yf（x）的切线，也是曲线 yg（x）的切线 【答案】见解析 （20
9、18全国卷（理） ）已知函数 f（x）（2xax2）ln（1x）2x. （1）若 a0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0； （2）若 x0 是 f（x）的极大值点，求 A （1）证明当 a0 时，f（x）（2x）ln（1x）2x， f（x）ln（1x） ? ?. 设函数 g（x）f（x）ln（1x） ? ?， 则 g（x） ? ? ?. 当1x0 时，g（x）0；当 x0 时，g（x）0，故当 x1 时，g（x）g（0）0，当且仅当 x 0 时，g（x）0，从而 f（x）0，当且仅当 x0 时，f（x）0. 所以 f（x）在（1，）上单调递增 又 f（0）0，故当1x0
10、 时，f（x）0； 当 x0 时，f（x）0. （2）f（x）? ? ? ? ln? ? ， 记 h（x）ax2x（12ax） （1x）ln（x1） （x1） ， 则 h（x）4ax（4ax2a1）ln（x1） 当 a0，x0 时，h（x）0，h（x）单调递增， 所以 h（x）h（0）0，即 f（x）0，f（x）单调递增， 所以 x0 不是极大值点，不符合题意 当 a0 时，令 m（x）4ax（4ax2a1）ln（x1） ，则 m（x）8a4aln（x1）? ? ，显然 m （x）单调递减 令 m（0）0，解得 a? ?， 所以当1x0 时，m（x）0，m（x）单调递增， 即 h（x）单调递增
11、 当 x0 时，m（x）0，m（x）单调递减，即 h（x）单调递减 所以 h（x）h（0）0， 所以 h（x）单调递减 因为 h（0）0， 所以当1x0 时，h（x）0，f（x）0，f（x）单调递增； 当 x0 时，h（x）0，f（x）0，f（x）单调递减， 此时 x0 为 f（x）的极大值点，符合题意 当? ?a0 时，所以 m（0）16a0， m（e? ? 1）（2a1） （1e? ? ）0， 所以 m（x）0 在 x0 上有唯一零点，记为 x0， 所以当 0 xx0时，m（x）0，m（x）单调递增，即 h（x）单调递增， 所以 h（x）h（0）0，h（x）单调递增， 所以 h（x）h（0
12、）0，即 f（x）0，f（x）单调递增，不符合题意 当 a? ?时，m（0）16a0， m ? e? ? ? （12a）e20. 所以 m（x）0 在1x0 上有唯一零点，记为 x1， 所以当 x1x0 时，m（x）0，m（x）单调递减，即 h（x）单调递减 所以 h（x）0，h（x）单调递减， 所以 h（x）0，即 f（x）0，f（x）单调递减，不符合题意 综上，a? ?. 【答案】见解析 （2018全国卷（理） ）已知函数 f（x）? ?xaln x. （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2， 证明：? ? ? ? ? a2. 【解析】 （1）f（x）
13、的定义域为（0，） ， f（x） ? ?1 ? ? ? ? . 若 a2，则 f（x）0，当且仅当 a2，x1 时，f（x）0， 所以 f（x）在（0，）上单调递减 若 a2，令 f（x）0，得 x? ? ? ? 或 x? ? ? ? . 当 x ? ? ? ? ? ? ? ? 时，f（x）0； 当 x ? ? ? ? ? ? ? 时，f（x）0. 所以 f（x）在 ? ? ? ? ， ? ? ? ? 上单调递减，在 ? ? ? ? ? ? ? 上单调递增 （2）证明由（1）知，f（x）存在两个极值点当且仅当 a2. 由于 f（x）的两个极值点 x1，x2满足 x2ax10， 所以 x1x21，不妨设 x1x2，则 x21. 由于? ? ? ? ? ? ?1a ln?ln? ? 2aln?ln? ? 2a?ln? ? ? ， 所以? ? ? ? ? a2 等价于 ? ?x22ln x20. 设函数 g（x）? ?x2ln x，由（1）知，g（x）在（0，）上单调递减 又 g（1）0，从而当 x（1，）时，g（x）0. 所以 ? ?x22ln x20，即 ? ? ? ? a2. 【答案】见解析
