1、高考真题 （2019全国 I 卷（文） ）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB =4，M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相 切 （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径 （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MAMP为定值？并说明理由 【解析】 （1）A在直线 2 2 gR r 上，设,A tt，则,Bt t 又4AB ， 2 816t ，解得：2t M过点A，B，圆心M必在直线y x 上 设,M a a，圆的半径为r M与20 x相切，2ra 又MAMBr，即 22 2 22aar 22 2 222aaa，解得： 0a 或4a 当0a 时，2r = =；当4a
2、时，6r M的半径为：2或6 （2）存在定点1,0P，使得1MAMP 说明如下： A，B关于原点对称且 4AB 直线AB必为过原点O的直线，且2OA 当直线AB斜率存在时，设AB方程为：ykx 则M的圆心M必在直线 1 yx k 上 设,Mkm m，M的半径为r M与20 x相切2rkm 又 22 222 4rMAOAOMk mm 222 24kmk mm ，整理可得： 2 4mkm 即M点轨迹方程为： 2 4yx，准线方程为：1x ，焦点1,0F MAr，即抛物线上点到2x 的距离1MAMF 1MAMF 当P与F重合，即P点坐标为1,0时，1MAMP 当直线AB斜率不存在时，则直线AB方程为：0 x M在x轴上，设,0M n 2 24nn，解得：0n ，即 0,0M 若1,0P，则2 1 1MAMP 综上所述，存在定点1,0P，使得MAMP为定值. 【答案】 （1）2或6； （2）见解析.
