1、高考真题 （2019北京卷（文） ）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的 中点. （）求证：BD平面 PAC； （）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE； （）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由. 【解析】 （）证明：因为PA 平面ABCD,所以PABD； 因为底面ABCD是菱形，所以ACBD; 因为PAACA,PA AC 平面PAC, 所以BD 平面PAC. （）证明：因为底面ABCD是菱形且60ABC，所以ACD为正三角形，所以AECD, 因为/ /ABCD,所以AEAB； 因为PA 平面ABCD，A
2、E 平面ABCD, 所以AEPA； 因为PAABA 所以AE 平面PAB， AE 平面PAE,所以平面PAB平面PAE. （）存在点F为PB中点时，满足/CF平面PAE；理由如下: 分别取,PB PA的中点,F G，连接,CF FG EG, 在三角形PAB中，/ /FGAB且 1 2 FGAB； 在菱形ABCD中，E为CD中点，所以/ /CEAB且 1 2 CEAB ，所以/ /CEFG且CEFG，即四边形 CEGF为平行四边形，所以/CFEG; 又CF 平面PAE，EG 平面PAE，所以/CF平面PAE. 【答案】 （）见解析； （）见解析； （）见解析. （2019全国 III 卷（文）
3、）图 1 是由矩形,ADEB Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中 1,2ABBEBF， 60FBC ，将其沿 ,AB BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图 2. （1）证明图 2 中的, ,A C G D四点共面，且平面ABC 平面BCGE； （2）求图 2 中的四边形ACGD的面积. 【解析】 （1）证：/ADBE，/ /BFCG，又因为E和F粘在一起. / /ADCG，A，C，G，D 四点共面. 又,ABBE ABBC. AB平面 BCGE，AB 平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE，得证. （2）取CG的中点M，连结,EM DM.因为/ /ABDE，AB 平面 BCGE，所以DE 平面 BCGE，故 DECG， 由已知，四边形 BCGE 是菱形，且 60EBC 得EM CG，故CG 平面 DEM。 因此DMCG。 在RtDEM中，DE=1， 3EM ，故2DM 。 所以四边形 ACGD 的面积为 4. 【答案】 （1）见详解； （2）4.
