1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第三册 人A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 6.2排列与组合 6.2.1排列 6.2.2排列数 1.通过实例理解排列的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式. 3.掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公式解决一些简单的实际问题. 第六章计数原理第六章计数原理 本资料分享自千人QQ群 323031380 期待你的加入与分享 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念
2、 1 |排列、排列数与排列数公式 1.从n个不同元素中取出m(mn)个元素,并按照一定的顺序 排成一列,叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数 ,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示. 3.排列数公式:= n(n-1)(n-2)(n-m+1) (m,nN*,mn). Am n Am n 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 2 |全排列、阶乘的概念及相关结论 1.把n个不同的元素全部取出 的一个排列,叫做n个元素的一个全
3、排列,记作 . 2.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用 n! 表示. 3.阶乘的相关结论 (1)规定:0!=1 . (2)= n! (nN*). (3)排列数公式的另一种形式:= (m,nN*,mn). An n An n Am n ! ( - )! n n m 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 3 |处理排列问题的常用方法 对于排列问题,从解题途径上看有直接法和间接法. 从解题策略上看,有元素分析法和位置分析法. 从解题技巧上看,有捆绑法和插空法. 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基
4、本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1.若组成两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的.( ) 组成两个排列的元素的排列顺序不相同时,这两个排列是不相同的. 2.a,b,c与b,a,c是同一个排列.( ) 3.排列数公式=中mn.( ) 4.456(n-1)n=,其中nN*,n4.() 5.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法可列式为- .() 利用插空法可列式为 ;利用间接法可列式为- . Am n ! ( - )! n n m -3 An n 5 5 A 2 2 A 4 4 A 3 3 A 2 4 A 5 5 A 2 2 A 4 4 A 判断正误
5、,正确的画“”,错误的画“”. 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1 |排列数及其运算 1.“排列”与“排列数”是两个不同的概念.排列是指“从n个不同元素中取出m (mn)个元素,并按照一定的顺序排成一列”,这不是一个数;排列数是指“从n个不 同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数”,这是一个数. 2.规定:0!=1,不按阶乘的含义作解释. 在排列数公式=n(n-1)(n-m+1)中,n,m要满足的条件是n,mN*,mn. 3.排列数的性质:=n=m+. Am n Am n -1 -1 Am n
6、 -1 -1 Am n-1 Am n 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 解有关排列数的方程或不等式的步骤: 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 (1)用排列数表示(55-n)(56-n)(69-n)(nN*且n6. 1 2! 2 3! 3 4! -1 ! n n 9 A x-2 9 A x 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 解析
7、(1)55-n,56-n,69-n中最大的数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个正整 数, (55-n)(56-n)(69-n)=. (2)= =3. (3)原式=(2!-1)+(3!-2!)+(4!-3!)+(n+1)!-n!=(n+1)!-1. =-,+=+=1-. 15 69- A n 54 88 55 98 2A7A A -A 2 8 76 547 8 76 5 9 8 76 5-8 76 54 8 76 5 (87) 8 76 5 (9-4) -1 ! n n 1 ( -1)!n 1 !n 1 2! 2 3! 3 4! -1 ! n n 1 1 - 1! 2! 1
8、1 - 2! 3! 11 - 3! 4! 11 - ( -1)!nn 1 !n 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 (4)易知2,其中26,即x2-21x+1040, (x-8)(x-13)0,解得x13. 2x9,xN*,2x8,xN*. 故x=3,4,5,6,7,原不等式的解集为3,4,5,6,7. 方法总结 (1)排列数公式的乘积的形式适用于求值和当m较小时的含排列数的方 程和不等式问题. (2)排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等 问题,具体应用时注意提取公因式,可以简
9、化计算. * 09, 0-29, N , x x x 9! (9- )!x 6 9! (9-2)!x 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 2 |有限制条件的排队问题 “在”与“不在”的问题 解决“在”与“不在”的问题,常用的方法是特殊位置分析法、特殊元素分析法. 若以位置为主,则需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置,若有两个及以上的约 束条件,则在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件;若以元素为主,则需先满足 特殊元素的要求,再处理其他的元素.当直接求解困难时,可考虑用间接法求解,即先 不考虑限制条件,计
10、算出排列总数,再减去不符合要求的排列数. 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 “相邻”与“不相邻”问题 1.“捆绑法”解决相邻问题 解决相邻问题一般用“捆绑法”.将n个不同的元素排成一列,其中k(kn)个元素排 在相邻的位置上,求不同排法的种数的方法如下:(1)先将这k个元素“捆绑”在一 起,看成一个整体;(2)把这个整体当成一个元素与其他元素一起排列,有种排 -1 -1 An k n k 法;(3)“松绑”,即将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,其排列方法有种;(4) 由分步乘法计数原理知,符合条件的排法
11、有种. Ak k -1 -1 An k n k Ak k 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 2.“插空法”解决不相邻问题 解决不相邻问题通常用“插空法”.将n个不同的元素排成一列,其中k当n为奇数 时,k;当n为偶数时,k 个元素互不相邻,求不同排法的种数的方法如下: (1)将没有不相邻要求的(n-k)个元素排成一排,其排列方法有种;(2)将要求两两 不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k个分别分配 给两两不相邻的k个元素,其排列方法有种;(3)根据分步乘法计数原
12、理知,符合 条件的排法有种. 1 2 n 2 n - - An k n k -1 Ak n k - - An k n k-1 Ak n k 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 “定序”问题 在排列问题中,某些元素在题意中已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑 其顺序.在具体的计算过程中,可采用“除阶乘法”解决,即n个元素的全排列中有m (mn)个元素的顺序固定,则满足题意的排法有种. A A n n m m 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的
13、基本概念讲描述运动的基本概念 7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男学生4人,女学生2人.分别求满足下 列情况的不同站法的种数. (1)老师甲必须站在中间或两端; (2)2名女学生必须相邻而站; (3)4名男学生互不相邻; (4)若4名男学生身高都不等,按从高到低的顺序站. 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 解析 (1)先考虑甲有种站法,再考虑其余6人全排列,故不同站法的种数为 1 3 A 1 3 A 6 6 A =2 160. (2)2名女学生相邻而站有种站法,视为一个整体并与其余5人全排列,有种排
14、 法,所以不同站法的种数为 =1 440. (3)先站老师和女学生,有种站法,再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入男 学生,每空一人,则插入方法有种,所以不同站法的种数为 =144. (4)在7人全排列的所有站法中,4名男学生不考虑身高顺序的站法有种,而从高到 低顺序站有从左到右和从右到左2种,所以不同站法的种数为2=420. 2 2 A 6 6 A 2 2 A 6 6 A 3 3 A 4 4 A 3 3 A 4 4 A 4 4 A 7 7 4 4 A A 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 元宵节灯展
15、后,如图悬挂的6盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,共有 种不 同取法.(用数字作答) 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 思路点拨 将问题转化为六个元素进行排列,而每一串的2盏花灯都有顺序,自下而上,所以是 排列中的“定序”问题. 解析 先将6盏花灯全排列共有种排法,因为取花灯时每次只能取1盏,且每串花 灯必须先取下面的花灯,即每串2盏花灯取下的顺序确定,所以取下6盏不同的花灯, 每次取1盏,共有=90种不同取法. 答案 90 6 6 A 6 6 222 222 A A A A 720 222 第六章计数原
16、理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 3 |与数字有关的排列问题 数字排列问题的本质是“元素”占“位置”问题,有限制条件的排列问题的限制 条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素,解决该类排 列问题的主要方法是按照“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置, 若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时,应分类讨论. 含有数字“0”的排列问题中,有些隐含了数字“0”不能在首位的条件,应将其视 为有限制条件的元素优先进行排列.若在一个题目中,除了数字“0”以外还有其他 受限制的数字,则应考虑受限
17、制的数字对位置的选择会不会影响数字“0”对位置 的选择,若有影响,则应分类讨论. 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 从分别印有数字0,3,5,7,9的5张卡片中,任意抽出3张组成三位数. (1)求可以组成多少个大于500的三位数; (2)求可以组成多少个是5的倍数的三位数; (3)若印有9的卡片,既可以当9用,也可以当6用,求可以组成多少个三位数. 思路点拨 (1)从首位大于或等于5进行分析.(2)从个位为0或5入手.(3)对特殊卡片9分被抽取和 未被抽取两种情况进行分析,当被抽取时又可以作为数字6用.
18、解析 (1)百位可以从5,7,9三张卡片中任取一张,十位和个位则可从剩下的卡片中 任取,所以可以组成大于500的三位数的个数为 =343=36. (2)分两种情况:若个位为0,则十位和百位可从3,5,7,9中任取,有=12个;若个位为5, 则百位只能从3,7,9中任取一张,十位再从剩下的3张卡片中任取一张,所以有 = 9个. 1 3 A 2 4 A 2 4 A 1 3 A 1 3 A 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 所以可以组成12+9=21个是5的倍数的三位数. (3)分三种情况:若卡片9没有被抽取,
19、则这样的三位数有 =18个;若卡片9被抽取, 且0未被抽取,则这样的三位数有32=36个;若卡片9被抽取,且0被抽取,则这样的 三位数有232=24个. 所以这样的三位数共有18+36+24=78个. 1 3 A 2 3 A 3 3 A 2 2 A 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个: (1)无重复数字且个位数字不是5的六位数? (2)无重复数字且比1 325大的四位数? (3)无重复数字的六位数?若这些六位数按从小到大的顺序排成一列,则240 135是该
20、列数的第几项? 解析 (1)解法一:间接法. 0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有个,0在十万位且5在个位的六位数 有个. 故符合题意的六位数共有-2+=504个. 5 5 A 4 4 A 6 6 A 5 5 A 4 4 A 第六章计数原理第六章计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 解法二:直接法. 十万位数字的排法因个位上数字为0与不为0而有所不同,因此需分两类: 第一类:当个位数字为0时,符合题意的六位数有个; 第二类:当个位数字不为0时,符合题意的六位数有 个. 故符合题意的六位数共有+ =504个. (2)符合题意的
21、四位数可分为三类: 第一类:形如2,3,4,5,共4个; 5 5 A 1 4 A 1 4 A 4 4 A 5 5 A 1 4 A 1 4 A 4 4 A 3 5 A 第二类:形如14,15,共有2个; 第三类:形如134,135,共有2个. 由分类加法计数原理知,无重复数字且比1 325大的四位数共有4+2+2=270个. (3)符合题意的六位数共有-=600个.由于是六位数,故十万位不能为0,则十万位 为1的有个,十万位为2,万位上为0或1或3的共有3个,+3+1=193,240 1 35是该列数的第193项. 2 4 A 1 3 A 3 5 A 2 4 A 1 3 A 6 6 A 5 5 A 5 5 A 4 4 A 5 5 A 4 4 A 第六章计数原理第六章计数原理
