1、高考数学培优专题库教师版 第十讲 直线、平面平行问题 A 组 一、选择题 1 （2017 全国卷 2 理）已知直三棱柱 111 CC 中，C120 ，2 ， 1 CCC1， 则异面直线 1 与 1 C所成角的余弦值为（） A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 【答案】C 【解析】补成四棱柱 1111 ABCDABC D, 则所求角为 20 1111 ,2,212 2 1 cos603,5BC DBCBDC DAB 因此 1 210 cos 55 BC D，故选 C. 2如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，异面直线 1 A D与 1 DC所成的角为 （） A30B45C
2、60D90 【答案】C 【解析】 由题可知，在正方体 1111 ABCDABC D中，CDBA 11 /,所以异面直线 1 A D与 1 DC所成的角与异面 直线 1 A D与 1 AB所成的角相等，连接 1 AB，BD,DBA1为所求角，设正方体的边长为 1，在DBA1中， 三条边长均为2，故DBA1=60. 3设，是两个不同的平面，m是直线且m“m”是“”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，是两个不同的平面，m是直线且m若“m”，则平面、可能相交也 高考数学培优专题库教师版 可能平行，不能推出/，反过来若/，m，则有
3、m，则“m”是“”的必要而 不充分条件. 4下列四个正方体图形中，AB、为正方体的两个顶点，MNP、 、分别为其所在棱的中点，能得 出/ /AB平面MNP的图形的序号是（） ABCD 【答案】C 5已知互不重合的直线, a b，互不重合的平面, ，给出下列四个命题，错误 的命题是（） （A）若a / /，a / /，b，则a / / b(B)若，a，b，则ba (C)若，a，则a(D)若/ /，a / /，则a/ 【答案】D 【解析】A 中，过直线a作平面分别与, 交于,m n，则由线面平行的性质知/ / /amn，所以 / /m，又由线面平行的性质知/ /mb，所以/ /ab，正确；B 中，
4、由,ab，知, a b垂直于两个 平面的交线，则, a b所成的角等于二面角过的大小，即为90，所以ab，正确；C 中，在内取一点 A，过 A 分别作直线m垂直于, 的交线，直线n垂直于的交线，则由线面垂直的性质知,mn， 则ma，na，由线面垂直的判定定理知a，正确；D 中，满足条件的a也可能在内，故 D 错， 故选 D. 二、填空题 6如图，已知四边形ABCD是矩形，1AB ，2BC ，PD 平面ABCD，且3PD ， PB的中点E，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为 高考数学培优专题库教师版 【解析】取BC的中点F，连接,EF AF、AE E、F是中点，EF是PBD的中位线 EFPB
5、AEF（或者其补角）为异面直线AE与PC所成角 在Rt PAB中， 14 14, 2 PBAE 10 10, 2 PCEF 2AF ， 14 2 AE ， 5 2 AE 由余弦定理可知 222 cos 2 AEEFAF AEF AE EF 22 2 1410 2 22 4 35 351410 2 22 7, 是两平面，,AB CD是两条线段，已知EF，AB于B，CD于D，若增 加一个条件，就能得出BDEF，现有下列条件：AC；AC与, 所成的角相等；AC与 CD在内的射影在同一条直线上；/ /ACEF.其中能成为增加条件的序号是. 【答案】. 【解析】由题意得，/ /ABCD，A，B，C，D四
6、点共面，：AC，EF， ACEF，又AB，EF，ABEF，ABACA，EF 面ABCD， 又BD 面ABCD，BDEF，故正确；：由可知，若BDEF成立，则有EF 面 ABCD，则有EFAC成立，而AC与，所成角相等是无法得到EFAC的，故错误；：由 AC与CD在内的射影在同一条直线上可知面EFAC，由可知正确；：仿照的分析过程可 高考数学培优专题库教师版 知错误，故填： 三、解答题 8如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，,M N分别是,SA BD上的点，且 AMDN SMNB . 求证：/ /MN平面SBC 【解析】连接AN并延长交BC于P，连接SP， 因为/ /ADBC，所以 DN
7、AN NBNP ， 又因为 AMDN SMNB ， 所以 AMAN SMNP ，所以/ /MNSP. 又MN 平面SBC，SP 平面SBC， 所以/ /MN平面SBC 9 如图， 多面体ABCDEF中， 底面ABCD是菱形， 0 60BCD， 四边形BDEF是正方形， 且DE 平面ABCD. （）求证：/ /CF平面 AED； （）若2AE ，求多面体ABCDEF的体积 V. 【解析】试题解析： （）证明：ABCD是菱形，/ /BCAD， 又BC 平面AED，AD 平面AED，/ /BC平面AED. 又BDEF是正方形，/ /BFDE. BF 平面AED，DE 平面AED， / /BF平面AE
8、D. 高考数学培优专题库教师版 BC 平面BCF，BF 平面BCF，BCBFB， 平面BCF/平面AED. 由于CF 平面BCF，知/ /CF平面AED. （）解：连接AC，记ACBDO. ABCD是菱形，ACBD，且AOBO. 由DE 平面ABCD，AC 平面ABCD，DEAC. DE 平面BDEF，BD 平面 BDEF，DEBDD， AC 平面BDEF于 O， 即AO为四棱锥ABDEF的高. 由ABCD是菱形， 0 60BCD，则ABD为等边三角形，由2AE ，则1ADDE， 3 2 AO ，1 BDEF S， 13 36 BDEFBDEF VSAO， 3 2 3 BDEF VV. 10如
9、图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧棱 1 AA 底面ABC， BCAB ，D为AC的中点， 1 2AAAB. （）求证： 1 AB/平面 1 BC D； （）设3BC ，求四棱锥 11 BDAAC的体积. 【解析】 （）连接 1 BC,设 1 BC与 1 BC相交于点O,连接OD， 四边形 11 BCC B是平行四边形, 点O为 1 BC的中点 D为AC的中点，OD为 1 ABC的中位线, 1 / /ODAB OD平面 1 BC D, 1 AB 平面 1 BC D, 1/ / AB平面 1 BC D （） 1 AA 平面ABC, 1 AA 平面 11 AAC C, 平面ABC平面 11
10、AAC C，且平面ABC平面 11 AAC CAC 作BEAC，垂足为E，则BE 平面 11 AAC C， 高考数学培优专题库教师版 1 2ABBB，3BC ， 在 RtABC中， 22 4913ACABBC， 6 13 AB BC BE AC ， 四棱锥 11 BAAC D的体积 111 11 32 VACADAA BE 136 132 6213 3 11如图，梯形ABCD中，CEAD于E,BFAD于F,且1AFBFBC ，2DE ，现 将ABF，CDE分别沿BF与CE翻折，使点A与点D重合 （1）设面ABF与面CDE相交于直线l，求证：/ /lCE； （2）试类比求解三角形的内切圆（与三角
11、形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥ABCEF的内 切球（与四棱锥各个面都相切）的半径 【解析】 （1）BFCE /，CE面ABF，BF面ABF /CE面ABF CE面ABF，平面ABF 平面lACE CEl / （2）设内切球的半径r，内切球的圆心O与四棱锥的各个点连接，将四棱锥分成五个小的三棱锥， 由于2, 1, 1AEEFAF，EFAF ， FFBEFFBAF,，AF面BCEF， 3 1 1 3 1 AFV BCEFA 2 1 11 2 1 AFB S， 2 1 11 2 1 AFE S，111 BCEF S， 2 2 2 1 AECESACE， 2 2 2 1 ABBCSABC， rS
12、V AFBBCEFA 3 1 rSAFE 3 1 rSBCEF 3 1 rSACE 3 1 rSABC 3 1 高考数学培优专题库教师版 ABCACEBCEFAFEAFB BCEFA SSSSS V r 3 2 22 . B 组 一、选择题 1、已知直线m和平面, ，则下列四个命题正确的是（） A若，m，则mB若，m，则m C若，m，则mD若m，m，则 【答案】C 【解析】 选项 A， 若，m， 则m或m或m与相交， A 错； 选项 B， 若， m， 则m或m， B 错； 选项 C， 若，m， 则m， C 正确； 选项 D， 若m， m，则或与相交，D 错.故选 C. 2、已知异面直线a，b成
13、60角，A为空间中一点，则过A与a，b都成45角的平面（） A有且只有一个B有且只有两个C有且只有三个D有且只有四个 【答案】B. 【解析】 分析题意可知，若平面与a，b都成45角，则a，b与该平面的垂线夹角也为45，故原问题等价 于求直线c，使得c与a，b都都成45角，如下图所示，把异面直线a，b平移到相交，使交点为P， 此时60APB ，过P点作直线PC平分APB，30APCBCP ，将直线c从PC旋转至与 平面APB垂直的位置，根据对称性从而可知满足题意的直线c有两条，故选 B 3、点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，ABPA ，则PB与AC所成的角是 A60B90C45D
14、30 【答案】A 【解析】作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2， 所以PB与AC所成的角就是FEA，由题意可知：2AFAEEF， 高考数学培优专题库教师版 所以 60FEA. 4、直三棱柱 ABCA 111 CB的底面为等腰直角三角形 ABC，C90 0，且 , 1 aAABCAC则 1 AB与 1 BC所成角为（） A.30 0 B.45 0 C.60 0 D.90 0 【解析】过 1 BB得中点 F，分别作 1 BC, 1 AB的平行线因为 235 , 222 aaa DFEFDF. 222 DEDFEF.所以 0 90DFE.故选 D. 二、填空题 5、如图，在正方体 1111
15、ABCDABC D中，P为棱DC的中点，则 1 D P与 1 BC所在的直线所成角的 余弦值等于 【答案】 10 5 【解析】 连结 1 AD，AP， 1 AD 1 BC， 1 AD P就是 1 D P与 1 BC所在的直线所成角， 设 2AB ， 则 1 4 15APD P ， 1 442 2AD ， 222 11 1 11 cos 2 ADD PAP AD P ADD P 85510 = 52 2 25 1 D P与 1 BC所在的直线所成角的余弦值等于 10 5 故答案为： 10 5 高考数学培优专题库教师版 6、在空间四边形ABCD中，FE,分别是AB和BC上的点，若3:1:FBCFE
16、BAE，则对角 线 AC 与平面 DEF 的位置关系是 AC平面 DEF 【解析】因为3:1:FBCFEBAE，所以 EFAC 又因为 AC平面 DEF，EF 平面 DEF， 所以 AC平面 DEF 三、解答题 7、如图，已知直三棱柱 111 ABCABC的侧面 11 ACC A是正方形，点O是侧面 11 ACC A的中心， 2 ACB ，M是棱BC的中点. （1）求证：/OM平面 11 ABB A； （2）求证：平面 1 ABC 平面 1 ABC. A C B M O A1C1 B1 【解析】 （1）在 1 ABC中，因为O是 1 AC的中点，M是BC的中点， 所以 1 /OMAB. 又OM
17、 平面 11 ABB A， 1 AB 平面 11 ABB A，所以/ /OM平面 11 ABB A. （2）因为 111 ABCABC是直三棱柱，所以 1 CC 底面ABC，所以 1 CCBC， 高考数学培优专题库教师版 又 2 ACB ，即BCAC，而 1, CC AC 面 11 ACC A，且 1 CCACC， 所以BC 面 11 ACC A. 而 1 AC 面 11 ACC A，所以BC 1 AC， 又 11 ACC A是正方形，所以 11 ACAC，而,BC 1 AC 面 1 ABC，且 1 BCACC， 所以 1 AC 面 1 ABC. 又 1 AC 面 1 ABC ，所以面 1 A
18、BC 面 1 ABC . 8、在长方体 1111 ABCDABC D中，2ABBC，过 11 ,A C B三点的平面截去长方体的一个角后， 得到如图所示的几何体 1111 ABCDABC D，且这个几何体的体积为10 （）求棱 1 AA的长； （）若 11 AC的中点为 1 O，求异面直线 1 BO与 11 AD所成角的余弦值 来源:学科网 【解析】（）设hAA 1 ，由题意得： 1111 1 111 1 1 10 ABCD ACDABCD A B C DB A B C VVV 10 3 1 111 ABCD hShS CBA正方形 ，解得3h，故 1 AA的长度为 3. （）在长方体中， 1
19、 AABC BCO1为异面直线 1 BO与 11D A所成的角（或其补角） 在BCO1中，2, 3 1 BCABAA 1394 11 BCBA，2 2 1 1111 CAAO 11 11 COBO 则 11 11 2 cos 1 2 1 22 1 1 BCBO COBCBO BCO 高考数学培优专题库教师版 异面直线 1 BO与 11 AD所成角的余弦值为 11 11 9、如图，四棱锥ABCDP 中，底面ABCD是边长为3的菱形，60ABC.PA面ABCD， 且3PA.E为PD中点，F在棱PA上，且1AF. （）求证：/CE面BDF； （）求三棱锥BDFP 的体积. 【解析】 （）证明：如图所
20、示，取PF的中点G，连接CGEG,，连接AC交BD于O，连接FO 由题可知，F为AG的中点，O为AC的中点，FOGC；又G为PF的中点，E为PD的中 点， GEFD，又,GEGCG GE GC面CGE；FO,FDF FO FD面FOD， 平面GEC平面FOD，又GE 面GEC，/CE面BDF （） 解： PA平面ABCD， 所以PA是三棱锥ABDP 的高， 又 4 39 2 3 33 2 1 ABD S 4 39 3 1 PASV ABDABDP ，同理 4 33 3 1 FASV ABDABDF ， 则 2 33 ABDFABDPBDFP VVV 高考数学培优专题库教师版 10、 如图， 在
21、梯形 ABCD 中， ABCD，ADDCCBa，60ABC o， 平面 ACFE 平面ABCD， 四边形ACFE是矩形，AEa，点M在线段EF上 （1）求证：BC 平面ACFE； （2）当EM为何值时，AM平面BDF？写出结论， 并加以证明 【解析】 （1）在梯形ABCD中，CDAB/， 60,ABCaCBDCAD 四边形ABCD是等腰梯形， 且 120,30DCBDACDCA 90DCADCBACBBCAC 又平面ACFE平面ABCD，交线为AC， BC平面ACFE （2）当aEM 3 3 时，/AM平面BDF， 在梯形ABCD中， 设NBDAC， 连接FN， 则2:1:NACN aEM 3
22、 3 ，而aACEF32:1:MFEM， ANMF/，四边形ANFM是平行四边形，NFAM / 又NF平面BDF，AM平面BDF/AM平面BDF C 组组 N D C A B E F M M F E C D B A 高考数学培优专题库教师版 二、选择题 1、若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面，则“lm”是“l”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解析】若 m，lm，则 l或 l；若 m，l，则 lm故选 B 2、设线段 AB，CD 是夹在两平行平面，间的两异面线段，点DBCA,若NM,分别为 AB，CD 的中点，则有（） A|)|(|
23、 2 1 |BDACMNB|)|(| 2 1 |BDACMN C|)|(| 2 1 |BDACMND|MN 1 (|) 2 ACBD 【 解 析 】 如 图 ， 连 接 AC ， BD ， AD ， 取 AD 的 中 点 P ， 连 接 MN ， NP ， PM ， 则 | 2 1 | |,| 2 1 |ACPNBDMP 又 两 线 段 异 面 ， 所 以 M ， N ， P 不 可 能 共 线 在 MNP 中 |PNMPMN，即|)|(| 2 1 |BDACMN 3、已知 l 是过正方体 1111 DCBAABCD 的顶点的平面 11D AB与下底面ABCD 的交线，则下列结论错误的是（）
24、Al 11C BBBD平面 11D AB Cl平面 11D ABDl 11D B 【解析】因为 11D BBD，由直线和平面平行的判定定理，知 B 正确；BD 平面ABCD，又平面 11D AB平面ABCDl，由线面平行的性质定理知，l 11D B，l平面 11D AB， 所以 C，D 正确故选 A 4、 长方体 1111 ABCDABC D中， 已知二面角 1 ABDA的大小为 6 ， 若空间有一条直线l与直线 1 CC所 成角为 4 ，则直线l与平面 1 ABD所成角的取值范围是（） （A） 5 , 12 12 （B） , 12 2 （C） 5 , 12 2 （D） 5 0, 12 【答案
25、】A 【解析】 试题分析：如图所示，过点A作BDAO ，连接OA1，则OABD 1 ，则 1 AOA为二面角，所以 6 1 AOA， 因为 11/ AA CC， 取角AOA1的角平分线AM， 此时AM即为直线l， 过点A做OAAP 1 ， 即AP平面BDA1，此时直线l与平面BDA1所成角的最大角是 高考数学培优专题库教师版 12 5 64 1 MOAMAOAMA，另外一种情况是 4 1 ANA，NOPAN，此时直 线AN为直线l， 则直线AN与平面平面BDA1所成最小角为 1243 11 ANAAPAANP， 所以直线l平面BDA1所成角的范围是 12 5 12 ，故选 A 二、填空题 5、
26、已知正方体 1111 DCBAABCD ，下列结论中正确的是 （只填序号） 1 AD 1 BC；平面 11 AB D平面 1 BDC； 1 AD 1 DC； 1 AD平面 1 BDC 解析：连接 1 AD、 1 BC，因为AB 11 C D且AB= 11 C D，所以四边形AB 11 C D是平行四边 形，故 1 AD 1 BC，从而正确；易证BD 11 B D， 1 AB 1 DC，又 11 B D 1 AB 1 =B，BD 1 DCD， 所以平面 11 AB D平面 1 BDC， 从而正确； 由图易知 1 AD与 1 DC异面， 故错误； 由 1 AD 1 BC， 1 AD 平面 1 BD
27、C， 1 BC 平面 1 BDC，所以 1 AD平面 1 BDC，故正确 6、如图 11 所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，点E是棱 1 CC上的一个动点，平面 1 BED交棱 1 AA 于点F给出下列四个结论： 图 11 存在点E，使得 11C A/平面FBED1； 存在点E，使得DB1平面FBED1； 对于任意的点E，平面DCA 11 平面FBED1； 对于任意的点E，四棱锥FBEDB 11 的体积均不变. 高考数学培优专题库教师版 其中，所有正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】 当点E为 1 CC的中点时， 由对称性可知F也是 1 AA的中点， 此时 11 AC/EF,因
28、为 111 ACBED F 面， 1 EFBED F 面，所以 1 AC/ 1 BED F面，故正确；假设 11 B DBED F面，因为 11 BDBED F 面， 所以 11 B DBD。所以四边形 11 BB D D为菱形或正方形，即 1 =BD B B。因为 1111 ABCDABC D为正方体 所以 1 = 2BDB B。所以假设不成立。故不正确。因为 1111 ABC D为正方形，所以 1111 ACB D，因为 11111 BBABC D 面， 111111 ACABC D 面， 所 以 111 BBAC， 因 为 1111 B DBBB， 所 以 1111 ACBB D D 面
29、。 因 为 111 BDBB D D 面， 所 以 111 ACBD。 同 理 可 证 11 BDAD， 因 为 1111 =ACAD A，所以 111 BDAC D 面，因为 11 BD 面BED F，所以 111 AC D面BED F面。故正确。 设正方体边长为a，则 111111 3 11 2() 323 BBED FDBB FDBEB a VVVaaa 。故正确。 综上可得正确的是。 三、解答题 7、如图所示，矩形ABCD中，AD 平面ABE， 2AEEBBC，F为CE上的点，且BF 平面ACE () 求证：AE 平面BCE； () 求证：/AE平面BFD； () 求三棱锥CBGF的体
30、积. 【解析】 ()证明：AD 平面ABE，/ADBC，BC 平面ABE，则AEBC 又BF 平面ACE，则AEBFAE平面BCE ()由题意可得G是AC的中点，连接FG BF 平面ACE，则CEBF，而BCBE， F是EC中点,在AEC中，/FGAE，/AE平面BFD ()/AE平面BFD，/AEFG， 而AE平面BCE，FG平面BCF G是AC中点，F是CE中点，/FGAE且 1 1 2 FGAE， BF 平面ACE，BFCE，Rt BCE中， 1 2 2 BFCECF， G BA DC F E G BA DC F E 高考数学培优专题库教师版 1 221 2 CFB S 11 33 C
31、BGFG BCFCFB VVSFG 8、如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ABC是正三角形，点,D E F分别是棱BC， 1 BB， 11 AB 的中点. （1）求证： 1 ADBC； （2）判断直线EF与平面 1 ADC的位置关系，并证明你的结论. 【解析】 （1）证明:因为直三棱柱 111 ABCABC，所以 1 CC 平面BCA，因为AD 平面BCA， 所以 1 CCAD，因为BCA就正三角形，D为棱BC的中点，所以BCAD 又因为 1 BCCCC，所以AD 平面 11 BCC B， 因为 1 BC 平面 11 BCC B，所以 1 ADBC (2)直线/ /EF平面 1 ADC
32、，证明如下: 如图，连接 11 ,AB AC交 1 AC于点G，连DG. 因为四边形 11 A ACC为矩形，所以G为 1 AC的中点，又D为BC的中点，所以 1 / /DGAB. 因为点,E F分别为 111 ,BB AB的中点，所以 1 / /EFAB，所以/ /DGEF. 因为DG 平面 1 ADC， / EF 平面 1 ADC，所以直线/ /EF平面 1 ADC 9、如图，四边形ABCD为菱形，EB 平面ABCD，/ /EFBD， 1 2 EFBD. （）求证：/ /DF平面AEC； （）求证：平面AEF 平面AFC. 高考数学培优专题库教师版 【解析】(1)设AC与BD的交点为O，连
33、接EO，因为 1 2 EFBD，所以EFOD， 因为/ /EFBD，所以/ /EFOD，故四边形DOEF为平行四边形，所以/ /DFOE， 又OE 平行AEC，/DF 平行AEC，所以/ /DF平面AEC； （）连结OF，因为 1 2 EFBD，所以EFOB，因为/ /EFBD，所以/ /EFOB， 故四边形BOEF为平行四边形. 所以/ /EBFO.因为EB 平面ABCD，所以FO 平面ABC， 又OB 平行ABCD，所以FOOB， 因为四边形ABCD为菱形，所以OBAC， 又AC 平行AFC，OF 平行AFC，ACOFO 所以BO 平面AFC，又/ /EFOB，所以EF 平行AFC， 因为
34、EF 平面AEF，所以平面AEF平面AFC. 10、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长 为2的菱形，60BAD ， PA 面ABCD， 3PA ，E，F分别为BC，PA的中点. （1）求证： / /BF 面PDE； （2）求二面角DPEA的大小的正弦值； （3）求点C到面PDE的距离. 【解析】 （1）如图所示，取PD中点G，连结GF，GE，E，F F EB D A C P 高考数学培优专题库教师版 分别为BC，PA的中点， 可证得/ /FGBE，FGBE， 四边形BFGE是平行四边形， / /BFEG， 又EG 平面PDE，BF 平面PDE，/ /BF面PDE； （2）作DHAE于H点，作HIPE 于I点，连结DI，易证DH 平面PAE，DHPE，又PEHI，HIDHH，PE 平 面DIH，PEDI， DIH即为二面角DPEA的平面角，在Rt DIH中， 2 3102 sin10 7721 DH DIH DI ； （3） P CDEC PDE VV ， 3 3 1121 2 1 337 37 2 CDE CDEPDE PDE SPA SPAShh S .
