1、高考数学培优专题库教师版 第四讲指数函数及对数函数 A A 组题组题 1 （2018 年全国年全国卷理卷理 12）设3 . 0log 2 . 0 a，3 . 0log2b则（） A.0abbaB.0baab C.abba0D.baab 0 【答案】B 【解析】0.2 lg0.3 log0.3 lg5 a ， 2 lg0.3 log 0.3 lg2 b ， 5 lg0.3lg lg0.3lg0.3lg0.3(lg5lg2) 2 lg2lg5lg2lg5lg2lg5 ab ， 310 lg0.3lglg0.3lg lg0.3 lg0.3 103 lg2lg5lg2lg5lg2lg5 ab ， 10
2、5 lglg 32 ， lg0.3 0 lg2lg5 ，来源:Zxxk.Com 0abab故选：B来源:Zxxk.Com 2.若 1 1 log 3 a ， 3 eb ， 3 1 log cos 5 c ，则（） A.bcaB.bacC.abcD.cab 【答案】B 【解析】 1 1 loglog 30,1 3 a , 3 e1b , 3 1 log cos0 5 c ,所以bac选 B. 3.已知 5 0 loglg510 d bbabc ， ， ，则下列等式一定成立的是() AdacBacdCcadDdac 【答案】B 【解析】由5 log5abab ，lg 10cbcb ，又5 10 d
3、 得 (5 )55 dccda b ，故a cd ， 选 .B 4. (2017(2017 年高考天津卷理年高考天津卷理) )已知奇函数在 R 上是增函数，.若， ，则 a，b，c 的大小关系为（） 高考数学培优专题库教师版 ABCD 【答案】C 【解析】因为( )f x是奇函数且在R上是增函数，所以在0 x 时，( )0f x ， 从而( )( )g xxf x是R上的偶函数，且在0,)上是增函数， 22 ( log 5.1)(log 5.1)agg， 0.8 22，又45.18，则 2 2log 5.13，所以即 0.8 2 02log 5.13， 0.8 2 (2)(log 5.1)(3
4、)ggg， 所以bac，故选 C 5(2017 年高考北京卷文)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中 普通物质的原子总数 N 约为 1080则下列各数中与 M N 最接近的是 （参考数据：lg30.48） （A）1033（B）1053 （C）1073（D）1093 【答案】D 【解析】试题分析：设 361 80 3 10 M x N ，两边取对数， 361 36180 80 3 lglglg3lg10361 lg3 8093.28 10 x ，所以 93.28 10 x ，即 M N 最接近 93 10 ，故选 D. 6 （2016 年全国 I 高考）若1
5、01abc，则 A. cc abB. cc abbaC.loglog ba acbcD.loglog ab cc 【解析】函数(01 c xc ）在0 +（ ， ）上递增，故 A 错；选项 B 即( )c bb aa ，01 b a ，函数( )x b a 在 R上递减， 故 B 错；由1,01abc得 lglg lglg cc ab 即loglog ab cc，故 D 错，C 对，选 C. 7. 定义在R上的函数( )f x满足()( ),( )(4),fxf xf xf x 且( 1,0)x 时， 1 ( )2, 5 x f x 则 2 (log 20)f（） A.1B. 4 5 C.1D
6、. 4 5 【解析】( )(4)f xf x( )f x的周期为4T ，由 2 4log 205， 高考数学培优专题库教师版 22 (log 20)(log 204)ff 2 5 (log) 4 f， 由()( )fxf x 得 22 55 (log)( log) 44 ff 2 4 log 5 2 41 (log)(2)1. 55 f 故选 C. 8已知函数( )93 xx f xm，若存在非零实数 0 x，使得 00 ()()fxf x成立，则实数m的取值范 围是()A 1 ,) 2 B 1 (0, ) 2 C(0,2)D2,) 【解析】 由题， 即方程9393 xxxx mm 存在非零根
7、， 则 331 9933 xx xxxx m ， 当0 x 时， 可得 1 (0, ) 2 m，故选.B 9 已知定义在 R 上的函数 21 x m f x (m 为实数)为偶函数，记 0.5 (log3)af, 2 (log 5)bf， (2 )cfm，则, ,a b c的大小关系为() AabcBacbCcabDcba 【解析】( )2 x m f x 为偶函数得0m ，则( )f x在0,)上递增， 0.52 (log3)(log 3)aff， 2 (log 5)bf，(0)cf，由 22 0log 3log 5得cab，故选 C. 10若 42 log (34 )logabab，则ab
8、的最小值是() A62 3B72 3C64 3D74 3 【解析】化简 42 log (34 )logabab得340abab，即 43 1( ,0)a b ab 则 4334 ()()774 3 ab abab abba ，故选.D 11 （2017 年高考全国 1 卷理）设zyx,为正数，且235 xyz ，则（） A235xyzB52 3zxyC352yzxD325yxz 【答案】D 【解析】令235 xyz k，则 2 logxk， 3 logyk， 5 logzk 22lglg3lg9 1 3lg23lglg8 xk yk ，则23xy 22lglg5lg25 1 5lg25lglg
9、32 xk zk ，则25xz，故选 D. 高考数学培优专题库教师版 12. （2016 年浙江高考）已知1ab， 若 5 loglog 2 ab ba， ba ab， 则a ，b . 【解析】由 loglog1 log 5 loglog 2 ab a ab ba b ba 1 2 2 或 2 baba或再结合 ba ab，1ab得 4,2.ab 13.已知函数 (2)1,1 ( ) log,1 a axx f x x x ，若( )f x在(,) 上单调递增，则实数a的取值范围 为 【解析】( )f x在R上递增，需 20 1 2 10 a a a 解得23.a 14.函数 3 ( )log
10、f xx在区间 , a b上的值域为0,1，则ba的最小值为. 【解析】 3 ( )logf xx的值域为0,1，则1 , a b，若( )1f a 得 1 3 a ，若( )1f b 得3b ， 故 当 1 3 a ，1b 时，ba的最小值为 2 3 . 15 已知指数函数( )yg x满足：(3)8g，定义域为R的函数 ( ) ( ) 2 ( ) ng x f x mg x 是奇函数. （1）确定( )yg x的解析式及,m n的值； （2）若对任意的tR，不等式 22 (23 )()0fttf tk恒成立，求实数k的取值范围 【解析】 （1）可设( )(0,1) x g xaaa，则 3
11、 (3)8,2gaa，故( )2xg x . 2 ( ) 2 2 x x n f x m 为定义在R上奇函数，有 1 (0)0 2 1 2 2 ( 1)(1)0 14 n f m n n ff mm 解得 2 1 m n （2）由（1） 1 1 212 ( )(1) 2 12221 x xx f x ，可判断( )f x在R上恒减， 22 (23 )()0fttf tk恒成立即 222 (23 )()()fttf tkf kt 故 22 23ttkt即 2 220ttk对tR恒成立， 高考数学培优专题库教师版 则480k ，解得 1 . 2 k B 组题组题 1.设 352 log 2,log
12、 2,log 3abc，则（ ） A.acbB.bcaC.cbaD.cab 【答案】D 【解析】因为 35 22 11 log 2,log 2 log 3log 5 ab,而 222 log 3log 21,log 51c , 所以01,01ab,又 22 log 5log 31, 所以 22 11 log 5log 3 ,即01ba, 所以有cab,选 C 2. 设 1 2 3 log 2,ln2,5abc , 则() AabcBbcaCcabDcba 【解析】 lg2lg2 , lg3lge ab，lg3lg0,lg20e，故ab，又 1 2 33 11 log 2log35 25 ac
13、， 故cab，故选 C. 3. 如图可能是下列哪个函数的图象() A. y=2x-x2-1B. 2 sin 41 x x x y C. y=(x2-2x)exD. y= x x ln 【解析】选项 D 的函数定义域不满足；选项 B 为奇函数，图像关于原点对称，不满足；选项 C 的函 数满足0 x 时， 函数值为负，不满足；故选 C. 高考数学培优专题库教师版 4已知函数 2 23 ,1 log,1 a xa x f x x x 的值域为R，则 实数a的取值范围是() A1,2B 1,2C, 1 D1 【解析】 当1x 时 2 log0yx， 所以要使 f x的值域为R， 需满足 23g xa
14、xa在1x 时的值域包含所有负数，所以 20 10 a g ，解得12a ，故选 B. 5.已知函数 f x是定义域为R的偶函数，且 1 1f x f x ，若 f x在1,0上是减函数，记 0.5 0.52 log2 ,log 4 ,2afbfcf ，则（） A. abc Ba cb Cb ca Db ac 【解析】由 1 1f x f x 得：函数的周期为2，因为 f x在1,0上是减函数，且 f x是定 义域为R的偶函数，所以 f x在0,1上是增函数，且图像关于y轴对称. 0.5 log21aff， 2 log 420bfff， 0.5 2222cfff，由题知：acb，故答案为 B.
15、 6.设函数 31,1, 2 ,1 x xx f x x 则满足 2 f a ff a的a取值范围是（） A. 2 ,1 3 B.0,1C. 2 , 3 D.1, 【解析】当1a 时，( )=21 a f a，所以 2 f a ff a，即1a 符合题意.当1a 时， ( )31f aa， 若 2 f a ff a，则( )1f a ，即：311a ， 2 3 a ，所以 2 1 3 a.综上 2 3 a ，故选 C. 7.函数 3 sin.f xxx数列 n a的前n项和为 2 n Spnqn， （, p q为常数，且0p ） ， , 2 2 n a ，若 10 0f a则 1219 ()(
16、)()f af af a取值为() A恒为正数B恒为负数C恒为零D可正可负 高考数学培优专题库教师版 【解析】由数列 n a的前n项和 2 n Spnqn得 n a为等差数列，又可知( )f x为奇函数，且 2 ( )cos30fxxx，则( )f x在(,) 2 2 上递增. 因为 10 ()0(0)f af，所以 1210 0aaa； 因为 11910 2aaa， 所以 119 ()()0f af a， 同理. 218911 ()()0,()()0f af af af a， 因此 1219 ()()()f af af a恒为负值，故选 B. 8已知0a ，0b ，8ab ，则当a的值为_时
17、， 22 loglog (2 )ab取得最大值 【解析】 22 222 22 loglog 2log 2 loglog (2 )()()4 22 abab ab ，取等号时，满足2ab，又 8ab ， 解得4.a 9.已知函数( )(, 2)(2,)yf x x ， 在其图像上任取一点),(yxP都满足方程 22 44.xy 函数( )yf x一定具有奇偶性； 函数)2,()(在xfy是单调函数； 0 (, 2)(2,),2 ( );xxf x 使(, 2)(2,),2 ( ).xxf x 使 以上说法正确的序号是. 【解析】函数的图象是双曲线的一部分.易知（1） （2）不成立.（3） （4）
18、可转化为双曲线的渐近线的 斜率问题， （3） （4）都是满足条件的.正确答案是（3） （4）. 10.【2016 山东滨州二模】已知函数 )62)( 2 cos( )20( |log| )( 2 xx xx xf，若存在互不相等的实数 4321 ,xxxx满足)()()()( 4321 xfxfxfxf，则 4321 xxxx的取值范围是 【解析】作出函数 2 log02 cos26 2 xx f x xx 的图象如下，设 txfxfxfxf)()()()( 4321 ，不妨设 4321 xxxx，由图可知10 t，并且当1t 时， 高考数学培优专题库教师版 1 23 4 1 2 ,2 6 x
19、 x x x ，此时 1234 12xxxx，当0t 时， 12 3 4 ,1 3 5 x x x x ，此时 1234 15xxxx，综上 4321 xxxx的取值范围是)15,12(，故答案填)15,12( 11. 已知函数 4 ( )log (41),() x f xkx kR是偶函数. （1）求k的值； （2）设) 3 4 2(log)( 4 aaxg x ，若函数)(xf与)(xg的图象有且只有一个公共点，求实数a的 取值范围. 【解析】 （1）函数 4 ( )log (41),() x f xkx kR定义域为R的偶函数， 则由( 1)(1)ff即 44 5 loglog 5 4
20、kk，则 44 5 loglog 5 1 4 22 k . （2）函数 4 4 ( )log (2) 3 x g xaa与 44 141 ( )log (41)log 22 x x x f xx 的图象有且只有 一个公共点， 即方程( )( )f xg x，即 441 20 32 x x x aa 只有一个根. 即 41 4 42 3 x xx a ，设2xt ， 2 2 3(1) 34 t a tt ，设 2 2 3(1)4 ( )(0,) 343 t g ttt tt 22 (21)(2) ( )6 (3 -4 ) tt g t tt 可知：( )g t在 1 (0, ) 2 上递增，在
21、1 4 ( , ) 2 3 和 4 ( ,) 3 上递减. 1 0(0),g(t), ( )3 2 ttg ， 44 (), ( ) 33 ttg t ， 44 (), ( ) 33 ttg t ， ,g(t)0(g(t)0)t ，则a的取值范围是3a 或0a . 高考数学培优专题库教师版 C 组题组题 1.已知函数 2 2 ,0 ( ) ln(1),0 xx x f x xx ，若( )f xax，则a的取值范围是() A(,0B(,1C 2,1D 2,0 【解析】示意( )f x图象，可知 2 2xx在原点处切线效率为2，则可确定20a ，故选.D 2.设 12 ,x x分别是方程1 x
22、x a和log1 a xx的根(其中1a )， 则 12 2xx的取值范围是() A.3,B.3,C. 2 2,D.2 2, 【解析】据题意， 1 x为函数 x ya的图像与函数 1 y x 的图像的交点的横坐标， 2 x为函数logayx 的图像与函数 1 y x 的图像的交点的横坐标，据同底的指对函数互为反函数，所以有 2 1 1 x x ，结合1a 的条件，可知 1 01x，所以有 121 1 2 2xxx x ，结合对勾函数的单调性，可知该式子的取值范围为 3,，故选 A 3. 若 12 01xx，则() A. 21 21 eelnln xx xxB. 21 21 eelnln xx
23、xxC 12 21 ee xx xxD. 12 21 ee xx xx 【解析】构造函数( )ln x f xex，由 1 ( ) x fxe x 可知( )f x在(0,1)上先减后增，故选项 A,B 不 确定； 对选项 C,D 通过取对数后，构造函数g( )lnxxx，易知( )g x在(0,1)x上单调递减，则 12 ()()g xg x，即 1122 lnlnxxxx，即 12 12 xx ee xx ，故选 C. 4.已知函数)0( 2 1 )( 2 xxexf x 与 2 ( )ln()g xxxa图象上存在关于y轴对称的点，则 a的取值范围是（） A. 1 (,) e B.(,)
24、eC. 1 (,)e e D. 1 (,)e e 【解析】由题可得存在 0 ,0 x 满足 00 f xgx 0 2 2 000 1 ln 2 x xexxa 0 0 1 ln 2 x exa0,令 1 ln 2 x h xexa ,因为函数 x ye和lnyxa 在 定义域内都是单调递增的,所以函数 1 ln 2 x h xexa 在定义域内是单调递增的,又因为x趋近 高考数学培优专题库教师版 于时,函数 h x0且 0h x 在,0上有解(即函数 h x有零点), 所以 0 1 0ln 00 2 healnlnaeae,故选 B. 5. 函数( )f x定义域为D， 若满足( )f x在D
25、上是单调函数， 存在 , m nD， 使( )f x在 , m n 上的值域为 11 , 22 mn， 那么就称( )f x为 “好函数” .现有函数( )log ()(0,1) x a f xak aa是好函数， 则实数k的取值范围是（） A. 1 (0, ) 4 B. 1 (, ) 4 C.(0,)D. 1 (0, 4 【解析】可判断( )log () x a f xak是单调函数，则( )f x是“好函数”只需方程 1 log () 2 x a akx 恰有两个根， 即 1 2 x x aka，设 1 2 0 x at ，则 2 0ttk 在(0,)上恰有俩解需要 1 40 10 0 k
26、 k 解得选 项 A. 6.已知函数 2 1 ,ln 2 x fxeg xx，对, 0, bRa，使得 bgaf，则ab的最 小值为（） A . 2 2ln 1B 2 2ln 1C12eD1e 【解析】由 ( )( )f ag b 可得： 2 1 ln 2 a eb ，令 2a te ，则 ln 2 t a ， 1 2 t be ，所以 1 2 ln ( ) 2 t t f te ，( 0)t 所以 1 2 1 ( ) 2 t f te t ，令 ( ) 0f t ，得 1 2 t ，所以当 1 (0, ) 2 t 时为减函数， 当 1 ( ,) 2 t 时为增函数，所以b a 的最小值为 l
27、n2 1 2 . 7. 函数( ) x x a f xe e 在0,1x上单调递减，则实数a的取值范围是. 【解析】设 x te，则依题意，函数 a t t 在1, te上单调递减， 当0a 时，需要ae，得 2 ae；当0a 时，排除；当0a 时，ae，得 2 ae . 综上： 2 ae或 2. ae 高考数学培优专题库教师版 8.【2016 年高考北京理数】设函数 3 3 , ( ) 2 , xx xa f x x xa . 若0a ，则( )f x的最大值为_；若( )f x无最大值，则实数a的取值范围是 _. 【解析】如图作出函数 3 ( )3g xxx与直线2yx 的图象，它们的交点
28、是( 1,2)A ，(0,0)O， (1, 2)B，由 2 ( )33g xx知1x是函数( )g x的极大值点. 当0a 时，易知 max ( )( 1)2f xf； 当1a 时，( )f x有最大值( 1)2f ；只 有当1a 时，由 3 32aaa ，知( )f x无最大值，综上：空填2，1.a 9. 设函数( )log (3 )(0,1) a f xxa aa，当点( ,y)P x是函数( )yf x图象上的点时，点 (2 ,)Q xay是函数( )yg x图象上的点 （）写出函数( )yg x的解析式； （）若当2,3xaa时，恒有( )( )1f xg x，试确定a的取值范围； 【
29、解析】（1）设 2xxa yy 有 2xxa yy 代入( )log (3 ) a f xxa得 log (23 ) a yxaa， 点 ( ,)x y在( )g x图象上，有( )log () a g xxa . （2）设)()()(xgxfxh 22 log (x a)(x 3a)log (43) aa xaxa，(3 ,)xa 依题1( )1h x 在 +2,3xaa恒成立.应有23aa，即01a 则可判断( )h x在2,3aa上递减，故 min max ( )(3)log 3(32 )1 ( )(2)log 2(22 )1 a a h xh aa h xh aa 解得： 957 0
30、12 a . 10.已知函数 2 ( )( ,)f xxaxb a bR，记( , )M a b是|( )|f x在区间 1,1上的最大值. 高考数学培优专题库教师版 （1）证明：当| 2a 时，( , )2M a b ；（2）当a，b满足( , )2M a b ，求|ab的最大值. 【解析】 （1） 由 2 2 ( )() 24 aa f xxb， 得对称轴为直线 2 a x ， 由2a ， 得1 2 a ， 故( )f x 在 1,1上 单调，所以( , )max|f( 1)|,|f(1)|M a b ，当2a 时， ( 1)(1)1124ffbabaa ， 所以( , )2M a b （2）由( , )2M a b 得，12ab且12ab，得3ab 由abab3，可知当2,1ab 时，3ab，且( )f x 2 21xx在 1,1上 的最大值为2，即(2, 1)2M，故ab的最大值为3.
