1、素养培优课素养培优课( (六六) )电磁感应中的动力学及电磁感应中的动力学及 能量问题能量问题 培优目标培优目标： 1.综合运用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的动综合运用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的动 力学问题。力学问题。2.会分析电磁感应中的能量转化问题。会分析电磁感应中的能量转化问题。 电磁感应中的动力学问题电磁感应中的动力学问题 1.平衡类问题的求解思路平衡类问题的求解思路 2加速类问题的求解思路加速类问题的求解思路 (1)确定研究对象确定研究对象(一般为在磁场中做切割磁感线运动的导体一般为在磁场中做切割磁感线运动的导体)。 (2)根据牛顿运动定律和运动学公式
2、分析导体在磁场中的受力与运动情况根据牛顿运动定律和运动学公式分析导体在磁场中的受力与运动情况。 (3)如果导体在磁场中受到的磁场力变化了如果导体在磁场中受到的磁场力变化了，从而引起合外力的变化从而引起合外力的变化，导致导致 加速度加速度、速度等发生变化速度等发生变化，进而又引起感应电流进而又引起感应电流、磁场力磁场力、合外力的变化合外力的变化，最最 终可能使导体达到稳定状态终可能使导体达到稳定状态。 【例【例 1】如图所示如图所示，在竖直向下的磁感应强度为在竖直向下的磁感应强度为 B 的匀强磁场中的匀强磁场中，有两根有两根 水平放置且足够长的平行金属导轨水平放置且足够长的平行金属导轨 AB、C
3、D，在导轨的在导轨的 A、C 端连接一阻值为端连接一阻值为 R 的电阻的电阻。一根质量为一根质量为 m、长度为长度为 L 的金属棒的金属棒 ab 垂直导轨放置垂直导轨放置，导轨和金属棒的导轨和金属棒的 电阻不计电阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数为金属棒与导轨间的动摩擦因数为。若用恒力若用恒力 F 沿水平方向向右拉金沿水平方向向右拉金 属棒使其运动属棒使其运动，求金属棒的最大速度求金属棒的最大速度。 解析解析金属棒向右运动切割磁感线产生动生电动势金属棒向右运动切割磁感线产生动生电动势，由右手定则知由右手定则知，金属金属 棒中有从棒中有从 a 到到 b 方向的电流；由左手定则知，安培力方向向左，
4、金属棒向右运方向的电流；由左手定则知，安培力方向向左，金属棒向右运 动的过程中受到的合力逐渐减小动的过程中受到的合力逐渐减小，故金属棒向右做加速度逐渐减小的加速运动故金属棒向右做加速度逐渐减小的加速运动； 当安培力与摩擦力的合力增大到大小等于拉力当安培力与摩擦力的合力增大到大小等于拉力 F 时时，金属棒的加速度减小到零金属棒的加速度减小到零， 速度达到最大，此后做匀速运动。速度达到最大，此后做匀速运动。 由平衡条件得由平衡条件得 FBImaxLmg 由闭合电路欧姆定律有由闭合电路欧姆定律有 ImaxEmax R 金属棒金属棒 ab 切割磁感线产生的感应电动势为切割磁感线产生的感应电动势为 Em
5、axBLvmax 联立以上各式解得金属棒的最大速度为联立以上各式解得金属棒的最大速度为 vmax F mg R B2L2 。 答案答案 Fmg R B2L2 用用“四步法四步法”分析电磁感应中的动力学问题分析电磁感应中的动力学问题 解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力先电后力”，具体思路如下具体思路如下： 跟进训练跟进训练 1如图所示如图所示，竖直平面内有足够长的金属导轨竖直平面内有足够长的金属导轨，轨间距为轨间距为 0.2 m，金属导金属导 体体 ab 可在导轨上无摩擦地上下滑动可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab 的电阻为的电阻为 0.4 ，导
6、轨电阻不计导轨电阻不计，导导体体 ab 的质量为的质量为 0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为 0.2 T，且磁场区域且磁场区域 足够大足够大，当导体当导体 ab 自由下落自由下落 0.4 s 时时，突然闭合开关突然闭合开关 S，则：则： (1)试说出试说出 S 接通后接通后，导体导体 ab 的运动情况；的运动情况； (2)导体导体 ab 匀速下落的速度是多少？匀速下落的速度是多少？(g 取取 10 m/s2) 解析解析(1)闭合闭合 S 之前导体之前导体 ab 自由下落的末速度为自由下落的末速度为 v0gt4 m/s S 闭合瞬间，导体产生感应
7、电动势，回路中产生感应电流，闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产生感应电流，ab 立即受到一立即受到一 个竖直向上的安培力。个竖直向上的安培力。 F 安安 BILB 2L2v0 R 0.016 Nmg0.002 N 此刻导体所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度的表达此刻导体所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度的表达 式为式为 aF 安安 mg m B 2L2v mR g， 所所以以ab做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动。 当速度减小至当速度减小至 F安 安 mg 时，时，ab 做竖直向下的匀速运动。做竖直向下的匀速运动。 (2
8、)设匀速下落的速度为设匀速下落的速度为 vm， 此时此时 F安 安 mg，即，即B 2L2vm R mg，vmmgR B2L2 0.5 m/s。 答案答案(1)先做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动先做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动，后做匀速运动后做匀速运动 (2)0.5 m/s 电磁感应中的能量问题电磁感应中的能量问题 1.能量转化的过程分析能量转化的过程分析 电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培而能量的转化是通过安培 力做功实现的力做功实现的。安培力做功使得电能转化为其他形式的能安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通
9、常为内能通常为内能)，外力克外力克 服安培力做功服安培力做功，则是其他形式的能则是其他形式的能(通常为机械能通常为机械能)转化为电能的过程转化为电能的过程。 2求解焦耳热求解焦耳热 Q 的几种方法的几种方法 公式法公式法QI2Rt 功能关系法功能关系法焦耳热等于克服安培力做的功焦耳热等于克服安培力做的功 能量转化法能量转化法焦耳热等于其他形式能的减少量焦耳热等于其他形式能的减少量 【例【例 2】如图所示如图所示，MN、PQ 两条平行的光滑金属轨道与水平面成两条平行的光滑金属轨道与水平面成角固角固 定定，轨间距为轨间距为 d。空间存在匀强磁场空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上磁场方向垂
10、直于轨道平面向上，磁感应强磁感应强 度大小为度大小为 B。P、M 间所接电阻阻值为间所接电阻阻值为 R。质量为质量为 m 的金属杆的金属杆 ab 水平放置在轨水平放置在轨 道上道上，其有效电阻为其有效电阻为 r。现从静止释放现从静止释放 ab，当它沿轨道下滑距离当它沿轨道下滑距离 s 时时，达到最大达到最大 速度速度。若轨道足够长且电阻不计若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为重力加速度为 g。求：求： (1)金属杆金属杆 ab 运动的最大速度；运动的最大速度； (2)金属杆金属杆 ab 运动的加速度为运动的加速度为 1 2gsin 时 时，电阻电阻 R 上的电功率；上的电功率； (3)金属杆金
11、属杆 ab 从静止到具有最大速度的过程中从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功克服安培力所做的功。 解析解析(1)当杆达到最大速度时安培力当杆达到最大速度时安培力 Fmgsin 安培力安培力 FBId 感应电流感应电流 I E Rr 感应电动势感应电动势 EBdvm 解得最大速度解得最大速度 vmmg R r sin B2d2 。 (2)当金属杆当金属杆 ab 运动的加速度为运动的加速度为 1 2gsin 时 时 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 mgsin BIdm1 2gsin 电阻电阻 R 上的电功率上的电功率 PI2R 解得解得 P mgsin 2Bd 2 R。 (3)根据动
12、能定理根据动能定理 mgssin WF1 2mv 2 2 m m 0 解得解得 WFmgssin m 3g2 R r 2sin2 2B4d4 。 答案答案(1)mg R r sin B2d2 (2) mgsin 2Bd 2 R (3)mgssin m 3g2 R r 2sin2 2B4d4 求解电磁感应现象中能量守恒问题的一般思路求解电磁感应现象中能量守恒问题的一般思路 (1)确定感应电动势的大小和方向。确定感应电动势的大小和方向。 (2)画出等效电路图，求出回路中消耗的电能表达式。画出等效电路图，求出回路中消耗的电能表达式。 (3)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械能的改变与回路中
13、的分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械能的改变与回路中的 电能的改变所满足的方程。电能的改变所满足的方程。 跟进训练跟进训练 2如图所示如图所示，MN 和和 PQ 是电阻不计的平行金属导轨是电阻不计的平行金属导轨， ，其间距为其间距为 L，导轨导轨 弯曲部分光滑弯曲部分光滑，平直部分粗糙平直部分粗糙，右端接一个阻值为右端接一个阻值为 R 的定值电阻的定值电阻。平直部分导平直部分导 轨左边区域有宽度为轨左边区域有宽度为 d、方向竖直向上方向竖直向上、磁感应强度大小为磁感应强度大小为 B 的匀强磁场的匀强磁场。质量质量 为为 m、电阻也为电阻也为 R 的金属棒从高度为的金属棒从高度为 h
14、处静止释放处静止释放，到达磁场右边界处恰好停到达磁场右边界处恰好停 止止。 已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为， 金属棒与导轨间接触良好金属棒与导轨间接触良好， 则金属棒穿过磁场区域的过程中则金属棒穿过磁场区域的过程中() A流过金属棒的最大电流为流过金属棒的最大电流为Bd 2gh 2R B通过金属棒的电荷量为通过金属棒的电荷量为BdL R C克服安培力所做的功为克服安培力所做的功为 mgh D金属棒产生的焦耳热为金属棒产生的焦耳热为 1 2mg(h d) D金属棒下滑过程中，根据动能定理有金属棒下滑过程中，根据动能定理有 mgh1 2mv 2 2
15、 m m，根据法拉第电磁感 ，根据法拉第电磁感 应定律有应定律有 EmBLvm，根据闭合电路欧姆定律有，根据闭合电路欧姆定律有 ImEm 2R，联立得 ，联立得 ImBL 2gh 2R ， A 错误错误；根据根据 q 2R 可知可知，通过金属棒的电荷量为通过金属棒的电荷量为BdL 2R ，B 错误错误；金属棒运动的金属棒运动的 全过程根据动能定理得全过程根据动能定理得 mghWfW 安安 0，所以克服安培力做的功小于，所以克服安培力做的功小于 mgh， 故故 C 错误错误；由由 Wfmgd，金属棒克服安培力做的功完全转化成电热金属棒克服安培力做的功完全转化成电热，由题意由题意 可知金属棒与电阻
16、可知金属棒与电阻 R 上产生的焦耳热相同，设金属棒上产生的焦耳热为上产生的焦耳热相同，设金属棒上产生的焦耳热为 Q，故故 2QW安 安，联立得 ，联立得 Q1 2mg(h d)，D 正确。正确。 1如图所示如图所示，一闭合金属圆环用绝缘细线挂于一闭合金属圆环用绝缘细线挂于 O 点点，将圆环拉离平衡位置将圆环拉离平衡位置 并释放并释放，圆环摆动过程中经过有界的水平匀强磁场区域圆环摆动过程中经过有界的水平匀强磁场区域，A、B 为该磁场的竖直为该磁场的竖直 边界边界。若不计空气阻力若不计空气阻力，则则() A圆环向右穿过磁场后圆环向右穿过磁场后，还能摆至原来的高度还能摆至原来的高度 B在进入和离开磁
17、场时在进入和离开磁场时，圆环中均有感应电流圆环中均有感应电流 C圆环进入磁场后离平衡位置越近圆环进入磁场后离平衡位置越近，速度越大速度越大， ，感应电流也越大感应电流也越大 D圆环最终将静止在平衡位置圆环最终将静止在平衡位置 B如题图所示，当圆环从如题图所示，当圆环从 1 位置开始下落，进入和摆出磁场时位置开始下落，进入和摆出磁场时(即即 2 和和 3 位置位置)，由于圆环内磁通量发生变化，所以有感应电流产生。同时，金属圆环本，由于圆环内磁通量发生变化，所以有感应电流产生。同时，金属圆环本 身有内阻，必然有能量的转化，即有能量的损失，因此圆环不会摆到身有内阻，必然有能量的转化，即有能量的损失，
18、因此圆环不会摆到 4 位置。位置。 随着圆环进出磁场，其能量逐渐减少，圆环摆动的振幅越来越小。当圆环只在随着圆环进出磁场，其能量逐渐减少，圆环摆动的振幅越来越小。当圆环只在 匀强磁场中摆动时，圆环内无磁通量的变化，无感应电流产生，无机械能向电匀强磁场中摆动时，圆环内无磁通量的变化，无感应电流产生，无机械能向电 能的转化。题意中不存在空气阻力，摆线的拉力垂直于圆环的速度方向，拉力能的转化。题意中不存在空气阻力，摆线的拉力垂直于圆环的速度方向，拉力 对圆环不做功对圆环不做功，所以系统的能量守恒所以系统的能量守恒，所以圆环最终将在所以圆环最终将在 A、B 间来回摆动间来回摆动。B 正确。正确。 2如
19、图所示如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合线框在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合线框 abcd，其边长为其边长为 l， 质量为质量为 m， 金属线框与水平面的动摩擦因数为金属线框与水平面的动摩擦因数为。 虚线框虚线框 abcd内有一匀强磁场内有一匀强磁场， 磁场方向竖直向下磁场方向竖直向下。开始时金属线框的开始时金属线框的 ab 边与磁场的边与磁场的 dc边重合边重合。现使金属线现使金属线 框以初速度框以初速度 v0沿水平面滑入磁场区域沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止运动一段时间后停止，此时金属线框此时金属线框的的 dc 边与磁场区域的边与磁场区域的 dc 边距离为边距离为 l。在
20、这个过程中在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为金属线框产生的焦耳热为 () A1 2mv 2 2 0 0 mgl B1 2mv 2 2 0 0 mgl C1 2mv 2 2 0 0 2mgl D1 2mv 2 2 0 0 2mgl D依题意知，金属线框移动的位移大小为依题意知，金属线框移动的位移大小为 2l，此过程中克服摩擦力做功，此过程中克服摩擦力做功 为为 2mgl，由能量守恒定律得金属线框中产生的焦耳热为由能量守恒定律得金属线框中产生的焦耳热为 Q1 2mv 2 2 0 0 2mgl，故故 选项选项 D 正确。正确。 3如图所示如图所示，质量为质量为 m 的金属环用线悬挂起来的金属环用线
21、悬挂起来，金属环有一半处于水平且金属环有一半处于水平且 与环面垂直的匀强磁场中与环面垂直的匀强磁场中，从某时刻开始从某时刻开始，磁感应强度均匀减小磁感应强度均匀减小，则在磁感应则在磁感应 强度均匀减小的过程中强度均匀减小的过程中，关于细线拉力大小的下列说法中正确的是关于细线拉力大小的下列说法中正确的是() A大于环重力大于环重力 mg，并逐渐减小并逐渐减小 B始终等于环重力始终等于环重力 mg C小于环重力小于环重力 mg，并保持恒定并保持恒定 D大于环重力大于环重力 mg，并保持恒定并保持恒定 A根据楞次定律知圆环中感应电流方向为顺时针，再由左手定则判断可根据楞次定律知圆环中感应电流方向为顺
22、时针，再由左手定则判断可 知圆环所受安培力竖直向下，对圆环受力分析，根据受力平衡有知圆环所受安培力竖直向下，对圆环受力分析，根据受力平衡有 FTmgF， 得得 FTmg，FBIL，根据法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律 IE R Rt B RtS 可知 可知 I 为恒为恒 定电流定电流，联立以上各式可知联立以上各式可知 B 减小减小，推知推知 F 减小减小，则由则由 FTmgF 知知 FT减小减小。 选项选项 A 正确。正确。 4.如图所示如图所示，光滑平行的水平金属导轨光滑平行的水平金属导轨 MN、PQ 相距相距 l，在在 M 点和点和 P 点间点间 接一个阻值为接一个阻值为 R 的
23、电阻的电阻，在两导轨间在两导轨间 OO1O1O矩形区域内有垂直导轨平面竖直矩形区域内有垂直导轨平面竖直 向下向下、宽为宽为 d 的匀强磁场的匀强磁场，磁感应强度大小为磁感应强度大小为 B。一质量为一质量为 m、电阻为电阻为 r 的导体的导体 棒棒 ab，垂直搁在导轨上垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距与磁场左边界相距 d0。现用一大小为现用一大小为 F、水平向右的水平向右的 恒力拉恒力拉 ab 棒棒， 使它由静止开始运动使它由静止开始运动， 棒棒 ab 在离开磁场前已经做匀速直线运动在离开磁场前已经做匀速直线运动(棒棒 ab 与导轨始终保持良好的接触与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计导轨电阻
24、不计)。求：求： (1)棒棒 ab 在离开磁场右边界时的速度；在离开磁场右边界时的速度； (2)棒棒 ab 通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能。 解析解析(1)棒在磁场中匀速运动时，有棒在磁场中匀速运动时，有 FF安 安 BIl， 再根据再根据 I E Rr Blv Rr， ， 联立解得联立解得 vF R r B2l2 。 (2)安培力做的功转化为两个电阻消耗的电能安培力做的功转化为两个电阻消耗的电能 Q，由能量守恒定律可得，由能量守恒定律可得 F(d0d)Q1 2mv 2， ， 解得解得 QF(d0d)mF 2 R r 2 2B4l4 。 答案答案(1)F R r B2l2 (2)F(d0d)mF 2 R r 2 2B4l4
