1、大一轮复习讲义 5.4复数 第五章平面向量、复数 考试要求 1.通过方程的解，认识复数. 2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共 轭复数，复数的模等概念的认识. 3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.复数的有关概念复数的有关概念 (1)定义：我们把集合 abi|a，bR中的数，即形如abi(a，bR) 的数叫做复数，其中a叫做复数z的 ，b叫做复数z的 (i为虚数单位). 知识梳
2、理 实部虚部 (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 abi为实数_ abi为虚数_ abi为纯虚数_ b0 b0 a0且b0 C (3)复数相等：abicdi(a，b，c，dR). (4)共轭复数：abi与cdi共轭(a，b，c，dR). (5)模：向量 的模叫做复数zabi的模，记作 或 ，即|z|a bi| (a，bR). ac且bd ac，bd |abi|z| 2.复数的几何意义复数的几何意义 复数zabi与复平面内的点及平面向量 (a，b)(a，bR) 是一一对应关系. Z(a，b) 3.复数的运算复数的运算 (1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.
3、(ac)+(bd)i (ac-bd)+(bc+ad)i 1.复数abi的实部为a，虚部为b吗？ 微思考 提示不一定.只有当a，bR时，a才是实部，b才是虚部. 2.i的乘方具有周期性吗？ 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)方程x2x10没有解.() (2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.() (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.() (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复 数对应的向量的模.() 题组二教材题组二教材改编改编 解析z为纯虚数， 2.若复数z(x21)(x1)i为纯
4、虚数，则实数x的值为 A.1 B.0 C.1 D.1或1 题组三易错自纠题组三易错自纠 得abii， 由复数相等得a0，b1， 从而ab1. 解析因为(1mi)(i2)2m(12m)i是纯虚数， 所以2m0，且12m0， 解得m2. 6.i为虚数单位，若复数(1mi)(i2)是纯虚数，则实数m等于_. 2 TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一复数的概念 自主演练 解析方法一z22z(1i)22(1i)2， |z22z|2|2. 方法二|z22z|(1i)22(1i)| |(1i)(1i)|1i|1i|2. 所以z的虚部为1. 所以由题意， 思维升华 解决复数
5、概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应 该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足 的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部 和虚部. 题型二复数的四则运算 师生共研 (2)(多选)(八省联考)设z1，z2，z3为复数，z10.下列命题中正确的是 A.若|z2|z3|，则z2z3 B.若z1z2z1z3，则z2z3 D.若z1z2|z1|2，则z1z2 解析由|i|1|，知A错误； z1z2z1z3，则z1(z2z3)0，又z10， 所以z2z3，故B正确； |z1z2|
6、z1|z2|，|z1z3|z1|z3|， 令z1i，z2i，满足z1z2|z1|2，不满足z1z2，故选BC. (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算. (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 思维升华 跟踪训练1(1)(2018全国)(1i)(2i)等于 A.3i B.3i C.3i D.3i 解析(1i)(2i)22iii23i. (2)(2020乌鲁木齐模拟)已知复数z1i(i是虚数单位)，则 等于 A.22i B.22i C.2i D.2i (3)(2020武汉模拟) _. i 题型三复数的几何意义 师生共研 例2(1)(2019全国)设z32i，则在复
7、平面内 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)(2019全国)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A.(x1)2y21 B.(x1)2y21 C.x2(y1)21 D.x2(y1)21 解析z在复平面内对应的点为(x，y)， zxyi(x，yR). |zi|1， |x(y1)i|1， x2(y1)21.故选C. (3)(2020全国)设复数z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2 i，则|z1z2| _. 解析方法一设z1z2abi，a，bR， 因为|z1|z2|2，所以|2z1|2z2|4， 22，得a2b212. 如图所示，以
8、OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量 与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决 更加直观. 思维升华 解析由题图可得Z(1，1)，即z1i， 1i22i3i.故选D. 复数的三角形式拓展视野 任何一个复数zabi都可以表示成zr(cos isin )的形式. 我们把r(cos isin )叫做复数的三角形式. 对应于复数的三角形式，把zabi叫做复数的 代数形式. 复数乘、除运算的三角表示： 已知复数z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，则 z1z2r1r2cos(12)i
9、sin(12). 例1下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式： (1)z12(cos isin )； 解由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z12(cos isin ). 复平面上点Z1(2cos ，2sin )在第三象限(假定为锐角)，余弦 “cos ”已在前，不需再变换三角函数名称， 因此可用诱导公式“”将辐角变换到第三象限. z12(cos isin )2cos()isin(). (2)z2cos isin ； 解由“加号连”知，不是三角形式. 复平面上点Z2(cos ，sin )在第四象限(假定为锐角)，不需改变三角 函数名称，可用诱导公式“2”或“”将辐角变换到第四象限.
10、z2cos isin cos()isin()或z2cos isin cos(2 )isin(2). 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一. (3)z3sin icos . 解由“余弦前”知，不是三角形式. 复平面上点Z3(sin ，cos )在第二象限(假定为锐角)，需改变三角 函数名称， 例2(1)已知zC，|z|1，且z21，则复数 A.必为纯虚数B.是虚数但不一定是纯虚数 C.必为实数D.可能是实数也可能是虚数 由复数相等的定义，得 n6k1(kZ).故选C. KESHIJINGLIAN3 课时精练 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 1.
11、(2020山东重点中学联考)在复平面内，复数z对应的点与1i对应的点 关于实轴对称，则z等于 A.1i B.1i C.1i D.1i 解析1i在复平面内对应点为(1,1)，关于实轴对称的点为(1，1)， z1i.故选D. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由z(1i)|1i|i， 12345678910 11 12 13 14 15 16 得2b0，且2b0，所以b2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678
12、910 11 12 13 14 15 16 解析对于A，设复数zabi(a，bR)， 对于B，若复数zi，则z21R，但zR，故B为假命题； 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_. 2 解析(12i)(ai)a2(12a)i， 由已知， 得a20,12a0， a2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 55i 12345678910 11 12 13 14 15 16 43 所以由题意得b3，a4. 1234567891
13、0 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以a22a150， 解得a5或a3. 因为a50，所以a5，故a3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为zbi(bR)， 所以b2，即z2i. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为z2i， 所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2 (m24)4mi
14、， 又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限， 即实数m的取值范围为(，2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 12345678910 11 12 13 14 15 16 i2 021(i)2 021 ii0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A，若|z1z2|0，则z1z20，z1z2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 对于C，设z1a1b1i，z2a2b2i，a1，b1，a2，b2R， 12345678910 11 12 13 14 15 16 对于D，若z11，z2i， 1234567
15、8910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析复数zxyi，且|z2|1， 所以(x2)2y21， 它表示圆心为(2,0)，半径为1的圆， 由题意设过点O且与圆相切的直线方程为ykx， 消去y，整理得(k21)x24x30， 12345678910 11 12 13 14 15 16 由1612(k21)0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.(2020张家口调研)已知复数z满足z234i，且z在复平面内对应的 点位于第三象限. (1)求复数z； 解设zcdi(c0，d0)， 则z2(cdi)2c2d22cdi34i， z2i. 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
