1、大一轮复习讲义 强化训练6数列中的综合问题 第六章数列 1.(2020东三省四市模拟)等比数列an中，a5，a7是函数f(x)x24x3 的两个零点，则a3a9等于 A.3 B.3 C.4 D.4 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析a5，a7是函数f(x)x24x3的两个零点， a5，a7是方程x24x30的两个根， a5a73，由等比数列的性质可得a3a9a5a73. 2.已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为2，且a7是a3与a9的等比中 项，则S10的值为 A.110 B.90 C.90 D.110 12345678910 11 12 13 1
2、4 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析a7是a3与a9的等比中项， 又数列an的公差为2， (a112)2(a14)(a116)，解得a120， an20(n1)(2)222n， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设等差数列的首项为a1，公差为d， 则a3a12d，a7a16d. 因为a1，a3，a7成等比数列， 所以(a12d)2a1(a16d)， 4.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每 个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样， 设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列
3、，已知第五实验室比第二实 验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元， 并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元.则该研究所改建这十个实 验室投入的总费用最多需要 A.3 233万元 B.4 706万元 C.4 709万元 D.4 808万元 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为an万元(n1,2,3，10)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 依题意x1 5361 700，即x164. 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(2021重庆模
4、拟)某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开 发新产品，计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从()年开 始这家加工厂年获利超过60万元，已知lg 20.301 0，lg 30.477 1 A.2024年 B.2025年C.2026年 D.2027年 解析由题意，设从2019年开始，第n年的获利为an(nN*)万元， 则数列an为等比数列，其中2019年的获利为首项，即a120. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 n8， 从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元. 6 5 log
5、 3 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知数列an是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1 5a3S8，下列选项正确的有 A.a100 B.S10最小 C.S7S12 D.S200 解析根据题意，数列an是等差数列，若a15a3S8， 即a15a110d8a128d，变形可得a19d， 又由ana1(n1)d(n10)d， 则有a100，故A一定正确； 不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确； 则有S7S12，故C一定正确； d0，S200，则D不正确 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以an是周期为4
6、的数列， 因为2 02150541， 所以a2 021a12. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.(2021江苏海头中学月考)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an1 2Sn1Sn0，则Sn_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为an1Sn1Sn， 则an12Sn1Sn0，可化简为Sn1Sn2Sn1Sn0， 等式两边同时除以Sn1Sn， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4 当n2时，an1an0，即an1an， 当n1时，a2a10，
7、数列an中，从a2开始是递增的， 又a20，b0， nN*). (1)当a2，b3时，求un； 解当a2，b3时，un2n2n132n23223n13n(nN*)， 两边除以2n，得 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以un3n12n1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若ab，求数列un的前n项和Sn. 解若ab，则un(n1)an， 所以Sn2a3a24a3(n1)an， 当a0，a1时，在的两边同乘以a， 得aSn2a23a34a4(n1)an1， 与式作差， 12345678910 11 12 13 14 15 16 123
8、45678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 1 2 21 21 n nn a aa 且an0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得a11或a10(舍去). 即(anan1)(anan11)0， kTn恒成立， k1，即k的最小值为1. an0，anan11， an是以1为首项，1为公差的等差数列， ann， 1 2 21 21 n nn a aa 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.(2020长
9、治质检)各项均为正数且公比q1的等比数列an的前n项和 8 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意a1a5a2a44， 又a2a45，公比q1， an2n2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 令t2n11,2,22,23， 当且仅当t2n12，即n2时取等号. 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.(2021江苏丰县中学模拟)如图所示，正方形ABCD的边长为5 cm，取 正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取 正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正
10、方形IJKL，依此方法一直继续下去.如果这个作图 过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的 面积之和将趋近于_ cm2.50 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析记第1个正方形的面积为S1，第2个正方形的面积为S2，第n个 正方形的面积为Sn， 12345678910 11 12 13 14 15 16 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之 和将趋近于50 cm2. 故数列an为等比数列，首项为1，公比为x， 则anxn1. 16.已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn1xSn1，其 中x0，nN*. (1)求an的通项公式； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解Sn1xSn1， SnxSn11(n2)， 得an1xan， 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明Fn(x)Sn121xx2xn2， 可得Fn(1)n12n10， 又Fn(x)12xnxn10， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 xn是Fn(x)的一个零点，Fn(xn)0， 本课结束 更多精彩内容请登录： 大一轮复习讲义
