1、大一轮复习讲义 第二章函数概念与基本初等函数 2.8函数模型及其应用 考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体 会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在 社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.几类函数模型几类函数模型 知识梳理 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0) 反比例函数
2、模型f(x) b(k，b为常数且k0) 二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0) 指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1) 对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1) 幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0) 2.三种函数模型的性质三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0，) 上的增减性单调递增单调递增单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐 表现为与_ 平行 随x的增大逐渐表 现为与 平行 随n值变化而 各有不同 值的比较存在一个x0
3、，当xx0时，有logaxxn1)的增长速度会超过并远远大 于yxa(a0)和ylogax(a1)的增长速度.() (4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型. () 基础自测 题组二教材题组二教材改编改编 2.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x0.500.992.013.98 y0.990.010.982.00 则对x，y最适合的拟合函数是 A.y2x B.yx21 C.y2x2 D.ylog2x 解析根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A； 根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C； 将各数据代入函数ylog2x，可
4、知满足题意. 3.已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为 Qm2t21t(t0，且m0).若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的 取值范围是_. 解析由题意得，m2t21t2恒成立(t0，且m0)， 4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积 最大，则隔墙的长度为_. 解析设隔墙的长度为x(0 x6)，矩形面积为y， 当x3时，y最大. 3 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为 原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量 不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性
5、探测器就测不到了.若某死 亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期” 个数至少是 A.8 B.9 C.10 D.11 解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1， 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至 少需要经过10个“半衰期”. 6.某物体一天中的温度T是关于时间t的函数，且Tt33t60，时间 单位是小时，温度单位是，当t0时表示中午1200，其后t值为 正，则上午8时该物体的温度是_.8 解析由题意知，上午8时，即t4， 因此所求温度T(4)33(4)608. TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 1.高为H，满
6、缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞， 满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大 致图象是 题型一用函数图象刻画变化过程 自主演练 解析vf(h) 是增函数，且 曲线的斜率应 该是先变大后 变小，故选B. 2.(2020全国)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温 度x(单位：)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由 实验数据(xi，yi)(i1,2，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为 发芽率y和温度x的回归方程类型的是 A.yabx B.yabx2C.yabex D.y
7、abln x 解析由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近. 3.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动. 设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图象是 解析依题意知，当0 x4时，f(x)2x； 当4x8时，f(x)8； 当8x12时，f(x)242x，观察四个选项知D项符合要求. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型， 再结合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化 趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选
8、择出符合实际情 况的答案. 思维升华 题型二已知函数模型的实际问题 师生共研 例1小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查， 生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入 流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x) x2x(万元).在年产 量不小于8万件时，W(x)6x 38(万元).每件产品售价5元.通过市场 分析，小王生产的商品当年能全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润 年销售收入固定成本流动成本) 1 3 解每件产品售价为5元， 则x万件产品的销售收入为5x万元. 当0 x8时， (2)
9、年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最 大利润是多少？ 当x6时，L(x)取最大值为L(6)9(万元)； 综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大， 最大利润为15万元. 求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行 检验. 思维升华 跟踪训练1某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t60100180 种植成本Q
10、11684116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上 市时间t的变化关系： Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt. 利用你选取的函数，求： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是_； (2)最低种植成本是_元/100 kg. 120 80 解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加， 而且当t60和t180时种植成本相等， 再结合题中给出的四种函数关系可知， 种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Qat2btc， 即Qa(t120)2m描述， 所以Q0.01(t120)280， 故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg. 命
11、题点1构造二次函数模型 例2某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即 每销售100元征税R元)，若每年销售量为 万件，要使附加税不 少于128万元，则R的取值范围是 A.4,8 B.6,10 C.4%,8% D.6%,10% 核心素养题型三构造函数模型的实际问题 解析根据题意，要使附加税不少于128万元， 整理得R212R320，解得4R8， 即R4,8. 命题点2构造指数函数、对数函数模型 例3一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积 的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生 态环境，森林面积至少要保留原面积的 ，已知到今年为止，森
12、林剩余 面积为原来的 . (1)求每年砍伐面积的百分比； 解设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1)， 1 10 1 2 解得x1. (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 故到今年为止，该森林已砍伐了5年. 10 1 2 m 1 2 1 2 引申探究 若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 解设从今年开始，以后砍了n年， 10 1 2 n 3 2 1 2 故今后最多还能砍伐15年. 命题点3构造分段函数模型 例4国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以 下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠；每多 1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数
13、75为止.每团乘飞机，旅行 社需付给航空公司包机费15 000元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； 解设该旅行团的人数为x人，飞机票的价格为y元.旅行社可获得的利 润为w元. 当0 x30时，y900， 当30 x75时，y90010(x30)10 x1 200， (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解当0 x30时，w900 x15 000， 当x30时，wmax9003015 00012 000(元)； 当30 x75时，w(10 x1 200)x15 000 10 x21 200 x15 000 10(x60)221 000， 当x60时，w最大为21 000元， 每
14、团人数为60时，旅行社可获得最大的利润. 1.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用 数学知识，建立相应的函数模型. (3)解模：求解函数模型，得出数学结论. (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题. 2.通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方 法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养. 素养提升 跟踪训练2(1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在 A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2
15、，在B地的销售利润(单位： 万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆 该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 A.10.5万元 B.11万元 C.43万元 D.43.025万元 解析设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车 (16x)辆， 所以可获得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x32 0.1(x10.5)20.110.5232. 因为x0,16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元. (2)(多选)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个 数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PAlg
16、nA来记录A菌个 数的资料，其中nA为A菌的个数.现有以下几种说法，其中正确的是 A.PA1 B.PA10 C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个 数多10 D.假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5PA5.5(注：lg 20.3) 解析当nA1时，PA0，故A错误； 又nAnB1010且nA，nBN*， nA1010，PAlg 101010，故B正确； 若PA1，则nA10；若PA2，则nA100，故C错误； 设B菌的个数为nB5104， 又lg 20.3，5PA5.5，D正确. KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.有一商家从石塘沿水路顺水航行，前
17、往河口，途中因故障停留一段时 间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水 流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)，货船距石塘的 距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现 准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近 的一个是 x1.992345.156.126 y1.5174.041 87.51218.01 A.y2x2 B
18、.y (x21) C.ylog2x D.y 1 2 log x 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题表可知函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大 而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B. x1.992345.156.126 y1.5174.041 87.51218.01 1345678910 11 12 13 14 15 16 解析设该股民购这支股票的价格为a元， 则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元， 经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.1 0.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损.
19、3.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经 历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股 民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况 2 1345678910 11 12 13 14 15 16 4.长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月 24日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道，在不考虑空气阻力的条 件下，火箭的最大速度v(单位：km/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭 (除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v2 000ln .
20、若火箭的 最大速度为11.2 km/s，则燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值约为(参 考数据：e0.005 61.005 6) A.1.005 6 B.0.502 8 C.0.005 6 D.0.002 8 2 1345678910 11 12 13 14 15 162 1345678910 11 12 13 14 15 162 5.(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而 这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含 量减少 ，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2 0.301，lg 30.477) A.6 B.9 C.8 D.
21、7 1345678910 11 12 13 14 15 162 解析设经过n次过滤，产品达到市场要求， 1345678910 11 12 13 14 15 162 6.(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记 忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟 合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x) 1 2 7 1,01, 20 19 ,130. 520 xx xx 则下列说法正确的是 A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% D.26天后，小菲的单词记忆
22、保持量不足20% 1345678910 11 12 13 14 15 162 解析由函数解析式可知f(x)随着x的增 加而减少，故A正确； 由图象可得B正确； 1 2 9 20 x 1 2 9 即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确； 1 2 26 1345678910 11 12 13 14 15 16 7.(2020蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的 关系式为yalog2(x1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发 展到_只.300 解析由题意知100alog2(11)a100， 当x7时，可得y100log2(71)300. 2 134
23、5678910 11 12 13 14 15 16 8.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天) 的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)，前30天 价格为g(t) t30(1t30，tN)，后20天价格为g(t)45(31t50， tN).则日销售额的最大值为_.6 400 2 1345678910 11 12 13 14 15 16 解析设日销售额为S， t240t6 000(t20)26 400. 当t20时，Smax6 400； 当31t50时，S45(2t200)90t9 000， 当t31时，Smax6 210. 6 2100，即n2
24、19n600，解得4n1时，甲走在最前面 B.当x1时，乙走在最前面 C.当0 x1时，丁走在最后面 D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 1345678910 11 12 13 14 15 162 解析甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关 系式分别为f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)， 它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数 模型、对数型函数模型. 当x2时，f1(2)3，f2(2)4，所以A不正确； 当x5时，f1(5)31，f2(5)25，所以B不正确； 根据四种函数的变化特
25、点，对数型函数的增长速度是先快后慢， 又当x1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等， 1345678910 11 12 13 14 15 162 从而可知，当0 x1时，丁走在最后面，所以C正确； 指数型函数的增长速度是先慢后快， 当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动 的物体，即一定是甲物体，所以D正确. 1345678910 11 12 13 14 15 16 16.(2020安徽皖东名校联盟联考)某公司计划投资开发一种新能源产品， 预计能获得10万元1 000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组 的奖励方案；奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加
26、而增加， 且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%. (1)若建立奖励方案函数模型yf(x)，试确定这个函数的定义域、值域和 的范围； 2 1345678910 11 12 13 14 15 16 (2)现有两个奖励方案函数模型：y 2；y4lg x3.试分析这 两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由. 2 1345678910 11 12 13 14 15 16 当y4lg x3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9. 可知y0.2x0. 所以g(x)在10,1 000上单调递减， 所以g(x)g(10)10， 故函数y4lg x3符合公司的要求. 2 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
