1、大一轮复习讲义 第八章解析几何 8.2两条直线的位置关系 考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会 求两条平行直线间的距离. 内容 索引 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 一、两条直线的平行与垂直 1.两条直线平行两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2 . (2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，
2、l1l2. 2.两条直线垂直两条直线垂直 (1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2 . (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2. 知识梳理 k1k2 k1k21 三、三种距离公式 1.两点间的距离公式两点间的距离公式 (1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 1.已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1不同时为0； A2，B2不同时为0)，则l1l2的充要条件是什么，l1l2的充要条件是什么？ 微思考 提示l1l2A1B2A2B1，且B1C2B2C1(或A1C2A2C1)； l1l2A1A2B1B
3、20. 2.点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点的坐标是什么？ 提示(2ax0,2by0). 3.点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线ykxb(k0)对称，列出P，Q坐标 的关系式. 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.() (2)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2， B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.() (3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .() (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小
4、值就是点到直线的距离.() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.1 所以m42m，所以m1. 3.若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值 为_.9 所以点(1,2)满足方程mx2y50， 即m12250，所以m9. 4.两平行直线l1：2x3y80，l2：2x3y100之间的距离为 _. 解析因为l1l2， 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于 A.2 B.3 C.2或3 D.2或3 解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行， 故m2或
5、3.故选C. 6.(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)， 则点B的坐标可能是 A.(2,0) B.(0,2) C.(4,6) D.(6,4) TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一两条直线的平行与垂直 自主演练 1.已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于 A.1 B.2 C.0或2 D.1或2 解析方法一直线l1：(a1)x2y10的斜率存在. a1或a2，又两条直线在y轴上的截距不相等. a1或a2时满足两条直线平行. 方法二由A1B2A2B10得，(a1)a120， 解得a1或a2.
6、由A1C2A2C10，得(a1)3110. 所以a1或a2. 2.若直线ax4y20与直线2x5yb0垂直，垂足为(1，c)，则 abc等于 A.2 B.4 C.6 D.8 a4c20,25cb0， 解得a10，c2，b12.abc4. 3.经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是 A.6x4y30 B.3x2y30 C.2x3y20 D.2x3y10 化为一般式，得6x4y30. 4.已知三条直线2x3y10,4x3y50，mxy10不能构成三 角形，则实数m的取值集合为 解析由题意得直线mxy10与2x3y10,4x3y50平行， 或者直线mxy10过2x3y10与
7、4x3y50的交点. 当直线mxy10与2x3y10,4x3y50分别平行时， 当直线mxy10过2x3y10与4x3y50的交点时， (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考 虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还 要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关 系得出结论. 思维升华 1.已知直线ykx2k1与直线y x2的交点位于第一象限，则实 数k的取值范围是_. 题型二两直线的交点与距离问题 自主演练 又交点位于第一象限， 2.求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2
8、y10的交点，且垂直于 直线l3：3x5y60的直线l的方程为_. 得l1，l2的交点坐标为(1,2)， 5x3y10 于是由直线的点斜式方程求出l： 3.(2020广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3， 则a的取值范围是_. 0,10 所以a的取值范围是0,10. 4.若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则 |PQ|的最小值为_. 将直线3x4y120化为6x8y240， 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离， (1)求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)利用距离公式应注意：点P
9、(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到 直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x， y的系数化为相等. 思维升华 命题点1中心对称 例1(1)直线x2y30关于定点M(2,1)对称的直线方程是 _. x2y110 题型三对称问题 多维探究 解析设所求直线上任一点(x，y)， 则关于M(2,1)的对称点(4x,2y)在已知直线上， 所求直线方程为(4x)2(2y)30，即x2y110. (2)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100 截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_. x4y40 解析设l1与l的交点为A(a,82a)，
10、则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上， 代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4， 即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40. 命题点2轴对称 例2(1)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反 射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_. 6xy60 解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)， 则反射光线所在直线过点M， 解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)， (2)直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_. x2y30 解析设所求直线上任意一点P(x，y)， 则P关于xy20的对称
11、点为P(x0，y0)， 点P(x0，y0)在直线2xy30上， 2(y2)(x2)30，即x2y30. (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. (2)几个常用结论 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y). 点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为 (y，x). 点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点 为(x,2by). 思维升华 跟踪训练1(1)(2020宝鸡模拟)光线沿着直线y3xb射到直线xy 0上，经反射后沿着直线yax2射出，则有 解析由题意，直线y3xb与直线y
12、ax2关于直线yx对称， 所以直线yax2上的点(0,2)关于直线yx的对称点(2,0)在直线y 3xb上， 所以(3)(2)b0，所以b6， 所以直线y3x6上的点(0，6)关于直线yx的对称点(6,0)在直 线yax2上，所以6a20， (2)已知直线l：y3x3，则点P(4,5)关于l的对称点的坐标为_. (2,7) 解析设点P关于直线l的对称点为P(x，y)， 且直线PP垂直于直线l， 点P的坐标为(2,7). 命题点1平行直线系、垂直直线系 例3(1)与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程为 _. 3x4y110 题型四直线系方程的应用 多维探究 解析由题意，可设所求直
13、线方程为3x4yc0(c1)， 又因为直线l过点(1,2)， 所以3142c0，解得c11. 因此，所求直线方程为3x4y110. (2)经过点A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程为_. x2y0 解析因为所求直线与直线2xy100垂直， 所以设该直线方程为x2yc0， 又直线过点A(2,1)， 所以有221c0，解得c0， 即所求直线方程为x2y0. 命题点2过两直线交点的直线系 例4已知两条直线l1：x2y40和l2：xy20的交点为P，求过 点P且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程. 解方法一解l1与l2组成的方程组得到交点P(0,2)， 即4x3y60. 方法二
14、设所求直线l的方程为4x3yc0， 由法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c6， 所以直线l的方程为4x3y60. 方法三设所求直线l的方程为x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420，因为直线l与l3垂直， 所以3(1)4(2)0，所以11，所以直线l的方程为4x3y60. 几种常见的直线系方程 (1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且 mC). (2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR). (3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方 程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2. 思维升
15、华 跟踪训练2求过直线2x7y40与7x21y10的交点，且和 A(3,1)，B(5,7)等距离的直线方程. 解设所求直线方程为2x7y4(7x21y1)0， 即(27)x(721)y(4)0， 由点A(3,1)，B(5,7)到所求直线距离相等， 所以所求的直线方程为21x28y130或x1. KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.如果直线l1的斜率为a，l1l2，则直线l2的斜率为 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2， 当a0时，由l1l2得k1k2ak21， 12345678910 11 12 13 14
16、 15 16 当a0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合， 直线l2的斜率不存在. 2.设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y 40平行”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析若两直线平行，则a(a1)2，即a2a20， a1或2，故a1是两直线平行的充分不必要条件. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知直线l过点(0,7)，且与直线y4x2平行，则直线l的方程为 A.y4x7 B.y4x7 C.y4x7 D.y4x
17、7 解析过点(0,7)且与直线y4x2平行的直线方程为y74x， 即直线l的方程为y4x7，故选D. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.若直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，垂足为(1，p)，则实 数n的值为 A.12 B.2 C.0 D.10 解析由2m200，得m10. 由垂足(1，p)在直线mx4y20上，得p2， 垂足坐标为(1，2). 又垂足在直线2x5yn0上，得n12. 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(2021河北五校联盟质检)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y 2a0平行，则l1与l2间的距离为 解析
18、因为a0或a2时，l1与l2均不平行，所以a0且a2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得a1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：axbyc0(a2b20)的有向距离 为d .已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下 命题不正确的是 A.若d1d21，则直线P1P2与直线l平行 B.若d11，d21，则直线P1P2与直线l垂直 C.若d1d20，则直线P1P2与直线l垂直 D.若d1d20，则直线P1P2与直线l相交 12345678910 11 12 13 14 15 16
19、解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1d21， 直线P1P2与直线l平行，正确； 对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P2不一定与l 垂直，错误； 对于C，若d1d20，满足d1d20，即ax1by1cax2by2c0， 则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误； 对于D，若d1d20，即(ax1by1c)(ax2by2c)0， 所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上， 所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.(多选)点P在直线3xy50上，且点
20、P到直线xy10的距离为 ， 则点P的坐标为 A.(1,2) B.(2,1) C.(2，1) D.(2,1) 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以点P的坐标为(1,2)或(2，1).故选AC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.(多选)(2021苏州模拟)已知直线l1：axy10，l2：xay10， aR，以下结论正确的是 A.不论a为何值时，l1与l2都互相垂直 B.当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(1,0) C.不论a为何值时，l1与l2都关于直线xy0对称 D.如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是 123
21、45678910 11 12 13 14 15 16 l1与l2互相垂直恒成立，故A正确； 对于B，直线l1：axy10，当a变化时，x0，y1恒成立， 所以l1恒过定点A(0,1)； l2：xay10，当a变化时，x1，y0恒成立， 所以l2恒过定点B(1,0)，故B正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 代入l2：xay10，则左边不等于0，故C不正确； 9.直线3x4y50关于x轴对称的直线方程是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3x4y50 解析在所求直线上任取一点P(x，y)， 则点P关于x轴的对称点P(x，y)在已知直线3
22、x4y50上， 所以3x4(y)50，即3x4y50. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实 数a的值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方 程为_. 3x19y0 解析过两直线交点的直线系方程为x3y4(2xy5)0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1,0) 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以光线l与x轴的交点为(1，0)； 由入射角是6
23、0，得折射角是30，且光线经过(1,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.若三条直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m， n)到原点的距离的最小值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 把(1,2)代入mxny50可得，m2n50. m52n. 点(m，n)到原点的距离 当n2，m1时取等号. 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.在平面直角坐标系内，已知A(1,2)，B(1,5)，C(3，6)，D(7，1)， 则平面内任意一点到点A与点C的距离之和的最小值为_，平面 内到A，B
24、，C，D的距离之和最小的点的坐标是_. (2,4) 12345678910 11 12 13 14 15 16 当且仅当A，M，C共线，且M在A，C之间时取等号， 同理，|MB|MD|BD|，当且仅当B，M，D共线， 且M在B，D之间时取等号，连接AC，BD交于一点M， 此时|MA|MC|MB|MD|最小，则点M为所求点. 即2xy0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即xy60. 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.(多选)(2020福州期末)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其 所著的三角形的几何
25、学一书中提出：任意三角形的外心、重心、 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC的顶点 A(4,0),B(0,4)，其欧拉线方程为xy20，则顶点C的坐标可以是 A.(2,0) B.(0,2) C.(2,0) D.(0，2) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设C(x，y)，AB的垂直平分线为yx， ABC的外心为欧拉线方程xy20与直线yx的交点M(1,1)， (x1)2(y1)210， 代入欧拉线方程xy20，得xy20， 由可得x2，y0或x0，y2. 故选AD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知点A(4，
26、1)，B(8,2)和直线l：xy10，动点P(x，y)在直线l 上，则|PA|PB|的最小值为_. 解析设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点， |P0A1|P0A|，|PA1|PA|. |PA1|PB|A1B|A1P0|P0B|P0A|P0B|， |PA|PB|P0A|P0B|A1B|. 当P点运动到P0时，|PA|PB|取得最小值|A1B|. 设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则由对称的充要条件知， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 A1(0,3). 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
