1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 立体几何中的截面问题及球的切接问题) 1立体几何中的截面问题 (1)平面截球：圆(圆面) (2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形 (3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形 2球的切接问题 (1)长方体的外接球 球心：体对角线的交点； 半径：r a2b2c2 2 (a，b，c 为长方体的长、宽、高) (2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 外接球：球心是正方体中心；半径 r 3 2 a(a 为正方
2、体的棱长)； 内切球：球心是正方体中心；半径 ra 2(a 为正方体的棱长)； 与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径 r 2 2 a(a 为正方体的棱长) (3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) 外接球：球心是正四面体的中心；半径 r 6 4 a(a 为正四面体的棱长)； 内切球：球心是正四面体的中心；半径 r 6 12a(a 为正四面体的棱长) 题型一立体几何中的截面问题 【例 1】 (1)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 则截此正方体所得截面面积的最大值为() A.3 3 4 B.2 3 3 C.3 2 4 D. 3 2 (2)
3、(2021浙江新高考仿真卷三)已知平面截一球面得圆 M， 过圆心 M 且与成 60 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 二面角的平面截该球面得圆 N，若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为() A7B9C11D13 答案(1)A(2)D 解析(1)记该正方体为 ABCDABCD，正方体的每条棱所在直线与平面所成 的角都相等，即共点的三条棱 AA，AB，AD与平面所成的角都相等如图， 连接 AB，AD，BD，因为三棱锥 AABD是正三
4、棱锥，所以 AA，AB，AD 与平面 ABD所成的角都相等分别取 CD，BC，BB，AB，AD，DD的中点 E， F，G，H，I，J，连接 EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得 E，F，G，H，I，J 六 点共面，平面 EFGHIJ 与平面 ABD平行，即截面 EFGHIJ 为平面截正方体所得 最大截面又 EFFGGHIHIJJE 2 2 ，所以该正六边形的面积为 6 3 4 2 2 2 3 3 4 ，所以截此正方体所得截面面积的最大值为3 3 4 ，故选 A. (2)设球的球心为 O，由圆 M 的面积为 4得圆 M 的半径为 2，则|OM| 4222 2 3，又因为圆 N 所在的平面与圆
5、 M 所在的平面所成的角为 60，则OMN 30，且 ONMN，则 sinOMN|ON| |OM|，即 sin 30 |ON| 2 3，解得|ON| 3，则圆 N 的半径 r 42（ 3）2 13，圆 N 的面积为r213，故选 D. 感悟升华此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征，解题时可寻 找特殊情况使问题得到简化 【训练 1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面 截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为() A12 2B12C8 2D10 (2)(2020名校仿真训练五)棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中
6、，E，F 分别为 棱 C1D1与 C1B1的中点，则经过点 B，E，F 的平面截正方体所得的封闭图形的面 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 积为() A.9 2 B3 10C.3 2 D. 10 答案(1)B(2)A 解析(1)因为过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所 以圆柱的高为 2 2，底面圆的直径为 2 2，所以该圆柱的表面积为 2( 2)2 2 22 212.故选 B. (2)如图， 经过点 B， E， F 的平面
7、BEF 截正方体所得截面为四边形 BDEF， 因为 E， F 分别是 C1D1，C1B1的中点，正方体的棱长为 2，所以 EFBD，且 EF1 2BD， 所以四边形 BDEF 是下底为 BD2 2，上底为 EF 2的等腰梯形在 RtBB1F 中，由勾股定理可得 DEBF 5，过点 F 在平面 BDEF 内作 FGBD 于点 G， 由等腰梯形的性质用勾股定理可得 FG3 2 2 ，即梯形 BDEF 的高为3 2 2 ，所以梯 形 BDEF 的面积为1 2(2 2 2) 3 2 2 9 2，故选 A. 题型二外接球问题 【例 2】 (1)已知底面边长为 1，侧棱长 2的正四棱柱的各个顶点均在同一个
8、球的 球面上，则该球的体积为() A.32 3 B4C2D.4 3 (2)已知直三棱柱 ABCA1B1C1的六个顶点都在球 O 的球面上， 若 AB3， AC4， ABAC，AA112，则球 O 的半径为() A.3 17 2 B2 10C.13 2 D3 10 (3)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该 球的表面积为() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A.81 4 B16C9D.27 4 (4)已知三棱锥 SAB
9、C 的所有顶点都在球 O 的球面上，若平面 SCA平面 SCB， SAAC，SBBC，SAAC，SBBC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球的表面 积为_ 答案(1)D(2)C(3)A(4)36 解析(1)如图， 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，底面为边长为 1，侧棱长为 2，设 H、I 分别为下、 上底面中心，HI 的中点为 O，所以 O 为外接球的球心，所以外接球半径 RAO AH2OH21，所以外接球体积 V4 3 R34 3 . (2)如图， 由题意可得棱柱上、下底面为直角三角形，所以上、下底面外接圆的圆心分别为 B1C1、BC 的中点，设其分别为 I、H，设 HI 的中点为 O
10、，则点 O 为三棱柱外接 球的球心，在 RtBHO 中，BO BH2OH213 2 ，所以外接球的半径 R13 2 . (3)如图， 设 O1为底面正方形 ABCD 的中心，外接球球心为 O， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 PO1平面 ABCD，O 在 PO1上， 设外接球 O 的半径为 R，则 RAOPO， 在 RtAOO1中， RAO AO21OO21 （ 2）2（4R）2 解得 R9 4， 所以外接球的表面积为 S4R281 4 . (4
11、)如图， SAAC，SBBC，设 O 为 SC 的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，可得点 O 到 A，B，C，S 的距离相等，故点 O 为三棱锥外接球的球心， 平面 SCA平面 SCB，SBBC，OB平面 SAC. 设球 O 的半径为 R，则 VSABCVBASC1 3 1 22RRR 1 3R 39， R327，R3.所以外接球表面积为 S4R236. 感悟升华1.常用结论 (1)正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 (2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点 (3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点 (4)正棱锥外接球的球心在其高上，具
12、体位置通过构造直角三角形计算得到 (5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的 球心 2构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心 (1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长 方体 (2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【训练 2】 (1)一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球 的表面积为() A3B
13、4C3 3D6 (2)已知正三棱锥 PABC，点 P、A、B、C 都在半径为 3的球面上，若 PA、PB、 PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离是_ (3)三棱锥 PABC 中，PAAB，PAAC，BAC120，PAABAC2，则 此三棱锥外接球的体积为_ 答案(1)A(2) 3 3 (3)20 5 3 解析(1)构造正方体，则正方体棱长为 1，因此，该四面体的外接球也就是棱长 为 1 的正方体外接球，所以外接球半径 R 3 2 ，所以外接球表面积为 S4R2 3. (2)如图， 构造正方体，则球心为正方体的中心 O，易求得正方体棱长为 2，设点 O 到平面 ABC 的距离为 d，
14、作 CH 垂直 MN 交 MN 于 H， 由 VOABCVCABO，得 1 3S ABCd1 3S ABOCH， 所以 d 3 3 . (3)PAAB， PAAC， PA平面 ABC， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 构造直三棱柱 PQTABC，设 O1为ABC 外心，O 为三棱锥外接球球心，所以 OO1平面 ABC， 易得 OO11 2PA， 在ABC 由余弦定理可求得 BC2 3，再由正弦定理 BC sin 1202r，可求得ABC 外接圆半径 r
15、2，在 RtAOO1中，AO AO21OO21 5， 所以三棱锥 PABC 外接球半径 R 5，外接球体积 V20 5 3 . 题型三内切球问题 【例 3】 (一题多解)已知棱长为 a 的正四面体 ABCD，证明：其内切球的半径为 6 12a. 证明法一如图， 设 AH平面 BCD，则 H 为BCD 外心， 可得外接球球心在 AH 上，设外接球球心为 O， 外接球半径为 R，则 AOBOR， 在BCD 中，可得 BH 3 3 a， 在 RtABH 中， AH AB2BH2 6 3 a， 在 RtBHO 中，BO2BH2OH2， BO2BH2(AHOA)2， R2 3 3 a 2 6 3 aR
16、2 ，R 6 4 a， 因内切球球心与外接球球心重合，所以内切球半径 rOHAHAO 6 3 a 6 4 a 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 6 12a. 法二如图， 设 AH平面 BCD，设外接球球心为 O，则点 O 也是内切球球心， 由于内切球球心到各个面的距离相等，都为内切球半径，设为 r， VABCDVOABCVOACDVOABDVOBCD. 1 3S BCDAH1 3S BCDr4，r1 4AH 6 12a. 感悟升华求内切球的半径常用等积法
17、 (1)正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体 任一面的距离 (2)正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合 【训练 3】 (1)(2020全国卷)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥 内半径最大的球的体积为_ (2)(2021金华一中月考)已知某锥体的三视图如图所示(各正方形的边长为 2)，则 该锥体的体积是_；该锥体的内切球的表面积是_ 答案(1) 2 3 (2)8 3 4 3 解析(1)圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为 r.作出圆锥的轴截 面 PAB，如图所示，则PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆在PAB 中，PA
18、PB3，D 为 AB 的中点，AB2，E 为切点，则 PD2 2，PEOPDB， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故PO PB OE DB，即 2 2r 3 r 1，解得 r 2 2 ， 故内切球的体积为4 3 2 2 3 2 3 . (2)如图， 由几何体的三视图可知该几何体是一个棱长为22的正四面体ABCD， 其可以为边长为 2 的正方体截去四个角而得，所以其体积为 V2341 3 1 22 3 8 3.因为正四面体的棱长为 2 2，所以其底面的三
19、角形的高为 6，该正四面体的 高为4 3 3 ，设内切球的半径为 r，则有 4 3 3 r 2 r2 2 6 3 2 ，解得 r 3 3 ，所以 该内切球的表面积为 S4r24 3 . 一、选择题 1.如图，长方体 ABCDABCD中被截去一部分，其中 EHAD.剩下的几何体 是() A棱台B四棱柱 C五棱柱D六棱柱 答案C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱 2 (2021北京东城区一模)正方体被一个平面截
20、去一部分后， 所得几何体的三视图 如图所示，则截面图形的形状为() A等腰三角形B直角三角形 C平行四边形D梯形 答案A 解析如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥 所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形 3(2021浙江名师预测三)古希腊著名数学家阿基米德曾经研究过球的体积问题， 并得出圆柱的内切球的体积是这个圆柱体积的2 3， 并把圆柱和其内切球的图形刻到 他的墓碑上如图是将一个圆柱挖去内切球后的几何体的三视图，则该几何体的 体积是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教
21、版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A.2 3 B.2 3 CD.1 3 答案A 解析圆柱的底面直径为 2，高为 2，内切球的直径为 2，则该几何体的体积 V 24 3 2 3，故选 A. 4(2021昆明模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何 体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为() A8B9C32D36 答案B 解析通过三视图可知，该几何体是直三棱柱 D1A1C1DAC，其中底面是直角三 角形，把它补成长方体如图所示：连接 D1B，设外接球的半径为 R，所以有 2R D1D2DB2 D1D2AD2AB2 1
22、443，球的表面积为 S4R29. 5 (2021安阳一模)已知某几何体的三视图如图所示， 若该几何体的外接球体积为 32 3 ，则 h() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A. 13B2 6C2 3D. 3 答案C 解析由三视图知几何体为三棱锥，且一条侧棱垂直底面，如图，O 为 AC 的中 点，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，EO底面 ABC，OBOCOA1， E 为球心设球半径为 r，则 V球4 3r 332 3 ，r2，EO 3，h2 3. 6
23、(2021名校仿真训练二)在四面体 ABCD 中，BDCDAB1，ABBD， CDBD.当四面体 ABCD 体积最大时，四面体 ABCD 外接球的表面积是() A2B3C4D5 答案B 解析如图，将四面体 ABCD 置于棱长为 1 的正方体中，显然当 AB平面 BCD 时， 四面体 ABCD 的体积最大 此时四面体 ABCD 的外接球就是正方体的外接球， 球心 O 即为 AC 的中点，而 AC 3，则外接球的半径为 3 2 ，故外接球的表面积 为 4 3 2 2 3，故选 B. 7(2018全国卷)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3
24、，则三棱锥 DABC 体积的最大值为() A12 3B18 3C24 3D54 3 答案B 解析设等边ABC 的边长为 x，则 1 2x 2sin 609 3，得 x6.设ABC 的外接圆 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 半径为 r，则 2r 6 sin 60，解得 r2 3，所以球心到ABC 所在平面的距离 d 42（2 3）22，则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1d46，所以三棱锥 D ABC 体积的最大值 Vmax1 3S ABC61 3
25、9 3618 3. 8(2019全国卷)已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPB PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF90， 则球 O 的体积为() A8 6B4 6C2 6D. 6 答案D 解析因为点 E，F 分别为 PA，AB 的中点，所以 EFPB， 因为CEF90，所以 EFCE，所以 PBCE. 取 AC 的中点 D，连接 BD，PD，易证 AC平面 BDP， 所以 PBAC，又 ACCEC，AC，CE平面 PAC，所以 PB平面 PAC， 所以 PBPA，PBPC，因为 PAPBPC，ABC 为正三角形， 所以 PA
26、PC，即 PA，PB，PC 两两垂直，将三棱锥 PABC 放在正方体中如图 所示 因为 AB2， 所以该正方体的棱长为 2， 所以该正方体的体对角线长为 6， 所以三棱锥 PABC 的外接球的半径 R 6 2 ，所以球 O 的体积 V4 3R 3 4 3 6 2 3 6，故选 D. 9 (2021重庆调研二)已知三棱锥 SABC 各顶点均在球 O 上， SB 为球 O 的直径， 若 ABBC2，ABC2 3 ，三棱锥 SABC 的体积为 4，则球 O 的表面积为 () A120B64C32D16 答案B 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本
27、资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析如图 所示，由 ABBC2，ABC2 3 得 AC2 3， 则 SABC1 2ABBCsin 2 3 3， 设ABC 外接圆圆心为 O，则 OOO， 由正弦定理可知，ABC 外接圆半径 OA 2 3 2sin 2 3 2，设 S 到面 ABC 距离为 d， 由 SB 为球 O 直径可知 OO1 2d， VSABC1 3 3d4，d4 3，则 OO2 3， 球的半径 OA OA2OO2 4124， 球 O 的表面积 S44264. 10(2021厦门质检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一
28、个 三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是() AB.4 3 C4D16 答案C 解析由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥 PABC，其中侧面 PAB底 面 ABC，在ABC 和PAB 中，ACBAPB90，ACBCAPBP 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 取 AB 的中点 D，连 PD，则 D 为ABC 外接圆的圆心，且 PD底面 ABC，所以 球心 O 在 PD 上， 设球半径为 R，则在 RtODB 中，OD1R，OBR，DB1，由
29、勾股定理得 R2(1R)212，解得 R1， 所以三棱锥的外接球的表面积为 S4R24. 二、填空题 11(2021杭州三校三联)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面 垂直的四棱锥称为“阳马”现有一“阳马”PABCD，PA底面 ABCD，PA AB2， AD1， 则该“阳马”的最长棱长为_； 外接球表面积为_ 答案39 解析由题意得“阳马”PABCD 可以看作是棱长为 2， 2， 1 的长方体的一部分， 则该“阳马”的最长棱为长方体的体对角线， 长度为 2222123， 该“阳马” 的外接球为长方体的外接球，其表面积为 4 3 2 2 9. 12(2021金华十校期末调研)一个棱柱的底
30、面是边长为 6 的正三角形，侧棱与底 面垂直其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为_，此棱柱的外接球的 表面积为_ 答案36 364 解析由题意可知该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为 6 的正三角形，底 面积为 S1 26 2sin 609 3，又因为该三棱柱的高 h4，所以该三棱柱的体 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 积为 VSh9 3436 3.由正弦定理可知该正三棱柱底面的外接圆直径为 2r 6 sin 604 3，则其外接球的半径为 R （2
31、 3） 2224，因此，此棱柱的外 接球的表面积为 4R244264. 13(2021宁波适考)一个四面体的三视图如图所示(单位：cm)，则该四面体的体 积(单位：cm3)为_，外接球的表面积(单位：cm2)为_ 答案634 解析由图可知，该几何体是一个三棱锥，其体积 V1 3 1 23436.该三棱 锥的外接球的直径2R 423232 34， 所以该外接球的表面积S4R234. 14(2021西安质检三)已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相等，且内接于 球 O，若正三棱柱 ABCA1B1C1的体积是 2 3，则球 O 的表面积为_ 答案 28 3 解析设 AA1A1B1a，则正三棱
32、柱 ABCA1B1C1的体积是 3 4 a32 3，解得 a 2，则底面正三角形的外接圆半径 r a 2sin 60 2 3 ，所以球的半径 R 2 2 2 2 3 2 21 3 ，所以球 O 的表面积为 4R228 3 . 15(2021石家庄二模)在三棱椎 PABC 中，底面 ABC 是等边三角形，侧面 PAB 是直角三角形， 且 PAPB2， PAAC， 则该三棱锥外接球的表面积为_ 答案12 解析由于 PAPB，CACB，PAAC，则 PBCB，因此取 PC 中点 O，则有 OPOCOAOB，即 O 为三棱锥 PABC 外接球球心，又由 PAPB2，得 ACAB2 2，所以 PC 22
33、（2 2）22 3，所以 S4( 3)212. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 16(2021大庆二模)已知点 A，B，C，D 均在同一球面上，AD平面 ABC，其 中ABC 是等边三角形，AD2AB6，则该球的表面积为_ 答案48 解析由题意画出几何体的图形如图所示： 把 A，B，C，D 扩展为三棱柱， 上下底面中心连线的中点 O 与 A 的距离为球的半径 R， 因为 AD2AB6，所以 OE3，AB3，又因为ABC 是正三角形， 所以 AE2 3
34、AB2 1 2AB 2 2 3 32 3 2 2 3， 所以 ROA AE2OE2 （ 3）2322 3， 所以所求的球的表面积为 S4R24(2 3)248. 17在三棱锥 PABC 中，PB6，AC3，G 为PAC 的重心，过点 G 作三棱 锥的一个截面，使截面平行于直线 PB 和 AC.则截面的周长为_ 答案8 解析过点 G 作 EFAC 交 PA， PC 于点 E， F， 过 E， F 分别作 ENPB， FMPB 分别交 AB，BC 于点 N，M，连接 MN，四边形 EFMN 是平行四边形，EF 3 2 3， 即 EFMN2，FM PB FM 6 1 3，即 FMEN2，截面的周长为
35、 248. 18已知正四棱锥 SABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 3，则内切球半径为 _ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 2 14 7 7 解析如图，设 E 为 BC 的中点，I 为底面正方形 ABCD 的中心， SI平面 ABCD，则内切球球心在 SI 上，设为 O， 过 O 作 OHSE 交 SE 于 H， 在 RtSIC 中，易求出 SI 7，即正四棱锥 SABCD 高为 7， 在SBC 中，易求出 SE2 2，即正四棱锥 SABCD 斜高为 2 2， 设内切球半径为 r，则 OIOHr， 由 RtSIE 与 RtSHO 相似，得OH SO IE SE， OH SIOI IE SE， r 7r 1 2 2， r 7 2 21 2 14 7 7 .
