1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 根据不等式成立的情形求参数 在选择题、填空题中，根据不等式成立的情形(如恒成立，能成立有解无解等)或 解的性质特征(如有一个解，两个解，解的最大值等)求参数的取值范围是经常出 现的题型，常用方法主要有 (1)分离参数； (2)分类讨论； (3)数形结合； (4)变更主元 题型一不等式恒成立求参数 【例 1】 (1)已知函数 f(x)ax22x1，若对任意 xR，f(f(x)0 恒成立，则实 数 a 的取值范围是
2、_ (2)(2020浙江考前冲刺卷)已知函数 f(x)xex 1ln xax，若 f(x)0 恒成立，则 实数 a 的最大值是_ 答案(1) 51 2 ， (2)1 解析(1)当 a0 时，f(x)2x1，f(f(x)4x3 不满足大于或等于 0 恒成立， 不符合题意； 当 a0 时，f(x)a x1 a 2 11 a1 1 a，对称轴 x 1 a， 由 11 a 1 a，可得 f(f(x)f 11 a a 11 a 2 2 11 a 1a1 a1， 若对任意xR， f(f(x)0恒成立， 等价于a1 a10恒成立， 解得a 51 2 (舍) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3
3、23031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 或 a 51 2 ； 当 a0，h(x)在(0，)上单调递增，又 h(1)0，当 x(0， 1)时，g(x)0，g(x)在(0，1)上单调递减，在(1， )上单调递增，g(x)ming(1)1，则 a1， a 的最大值为 1. 感悟升华(1)分离参数法 结论：不等式 f(x)g(a)恒成立f(x)ming(a)(求解 f(x)的最小值)； 不等式 f(x)g(a)恒成立f(x)maxg(a)(求解 f(x)的最大值) (2)不易分离参数时，常分类讨论或数形结合解决； (
4、3)若不等式在参数所给范围上恒成立，可变更主元； (4)注意利用基本不等式，绝对值三角不等式 【训练 1】 (1)对任何实数 x，若不等式|x1|x2|k 恒成立，则实数 k 的取值 范围为() A(，3)B(，3) C(，3D(，3 (2)若不等式 2x1m(x21)对满足|m|2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围为 _ 答案(1)B(2) 1 7 2 ，1 3 2 解析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，3|x1|x2|3，由题 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4831228
5、54 期待你的加入与分享 意得 k3. (2)原不等式化为(x21)m(2x1)0. 令 f(m)(x21)m(2x1)(2m2) 则 f（2）2（x21）（2x1）0， f（2）2（x21）（2x1）0. 解得1 7 2 x1 3 2 ， 故 x 的取值范围为 1 7 2 ，1 3 2. 题型二不等式能成立(有解)求参数 【例 2】 (2020北京朝阳区二模)已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)2f(x)， 当 x0，)时，f(x)sin x若存在 x0(，m，使得 f(x0)4 3，则 m 的取 值范围为_ 答案 10 3 ， 解析f(x)2f(x)，f(x)2f(x)， 当 x
6、0，)时，f(x)sin x. 当 x，2)时，f(x)2sin(x) 当 x2，3)时，f(x)4sin(x2) 当 x3，4)时，f(x)8sin(x3) 作出函数的图象 令 8sin(x3)4 3，解得 x10 3 ，或 x11 3 ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 若存在 x0(，m，使得 f(x0)4 3，则 m10 3 . 感 悟 升 华(1) 分 离 参 数 法 常 用 的 结 论 不 等 式 f(x)g(a) 存 在 解 f(x)ma
7、xg(a)(求解 f(x)的最大值)； 不等式 f(x)g(a)存在解f(x)ming(a)(求解 f(x)的最小值) (2)图象法也是常用方法 【训练 2】 (1)若关于 x 的不等式|2 018x|2 019x|d 有解，则实数 d 的取值 范围是_ (2)已知函数 f(x)x2axa3， g(x)ax2a， 若存在 x0R， 使 f(x0)0 和 g(x0)0 同时成立，则实数 a 的取值范围为() A(7，)B(，2)(6，) C(，2)D(，2)(7，) 答案(1)1，)(2)A 解析(1)|2 018x|2 019x|2 018x2 019x|1， 关于 x 的不等式|2 018x
8、|2 019x|d 有解时，d1. (2)由 f(x)x2axa3，知 f(1)4. 若存在 x0R，使 f(x0)0，即 a6. 又 g(x)ax2a 的图象恒过点(2，0)， 故当 a6 时，作出函数 f(x)和 g(x)的大致图象如图 1 所示，当 a6 时，由 g(x)0 可知 x6， f（2）7； 当 a2 时，由 g(x)2，此时函数 f(x)x2axa3 的图象的对称轴 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 方程为 xa 2，且 a 20，易知
9、函数 f(x)的图象恒过点(1，4)，所以不存在 x 0(2， )，使得 f(x0)0 成立 综上，实数 a 的取值范围为(7，)故选 A. 题型三根据不等式解的特征求参数 【例 3】 (1)(2020浙江考前冲刺卷六)定义：设不等式 F(x)0 的解集为 M，若 M 中只有唯一整数，则称 M 是最优解若关于 x 的不等式|x22x3|mx20，则实数 a 的取值范围是() A(ln 2，ln 3)B. ln 3 5 ，ln 2 3 C. ln 3 5 ，ln 2 2D. ln 2 2 ，ln 3 3 答案(1) 7 2，2 2 3， 7 4(2)C 解析(1)|x22x3|mx20 可转化为
10、|x22x3|0 时， 要存在唯一的整数 x0， 满足 f(x0)g(x0)， 则有 f（2）g（2） ， f（3）g（3） ， f（4）g（4） ， 即 32m2， 03m2， 54m2， 解得2 3m 7 4. 当 m0 时，要存在唯一的整数 x0，满足 f(x0)g(x0)，则有 f（0）g（0） ， f（1）g（1） ， f（2）g（2） ， 即 32， 0m2， 52m2， 解得7 2m0，即3ln x0 x0 a2ax00，3ln x0 x0 a2ax0.令 g(x) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数
11、学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3ln x x ，h(x)a2ax，则 g(x)3（1ln x） x2 ，令 g(x)0，得 xe，则 g(x) 在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，作出 g(x)的大致图象如图所示易 知 h(x)的图象是过点 1 2，0且斜率为 2a 的直线，当 a0 时，显然不符合题意， 当 a0 时，作出 h(x)的大致图象如图所示，则当 g（2）h（2） ， g（3）h（3） ，时，存在唯一 整数 x02 符合题意，所以 a0， 3ln 2 2 a4a， 3ln 3 3 a6a， 得ln 3 5 aln 2 2 ，故选 C. 感悟
12、升华(1)一次二次含绝对值的不等式可分类讨论，数形结合解决； (2)结构复杂(如有指数，对数)的不等式多构造函数利用导数知识求解 【训练 3】 (1)已知满足不等式|x24xa|x3|5 的 x 的最大值为 3，则实数 a 的值是_ (2)(2020北京西城区二模)设函数 f(x)(x1)ex，若关于 x 的不等式 f(x)ax1 有 且仅有一个整数解，则正数 a 的取值范围是() A(0，eB(0，e2C. 1，e 2 2D. 1，e 21 2 答案(1)8(2)D 解析(1)x3，|x3|3x. 若 x24xa0，则原不等式化为 x23xa20. 此不等式的解集不可能是集合x|x3的子集，
13、 x24xa0，若关于 x 的不等式 f(x)ax1 有且仅有一 个整数解，则 f（1）a1， f（2）2a1，解得 10 在区间(1，4)内有解，则实数 a 的取值范围 是() A(，2)B(2，) C(6，)D(，6) 答案A 解析不等式 x24x2a0 在区间(1， 4)内有解等价于 a(x24x2)max， x(1， 4) 令 f(x)x24x2，x(1，4)， 所以 f(x)f(4)2，所以 a2. 2 (2020浙江三校三联)已知 aR， 则“a2”是“|x1|x1|a 恒成立”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案C 本资料分享自新人教
14、版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析因为|x1|x1|x1(x1)|2，所以不等式|x1|x1|a 恒成 立等价于 a2，所以“a2”是“|x1|x1|a”的充要条件，故选 C. 3若关于 x 的不等式|x2|x1|4|12m|有解，则实数 m 的取值范围是 () A3，4B4，3 C(3，4)D(4，3) 答案A 解析因为|x2|x1|x2x1|3，所以要使不等式有解，则只需 3 4|12m|，解得3m4.故选 A. 4 (2020金华十校期末调研)若关于x的不等式x
15、33x2axa20在x(， 1上恒成立，则实数 a 的取值范围是() A(，3B3，) C(，3D3，) 答案A 解析关于 x 的不等式 x33x2axa20 在 x(，1上恒成立，等价于 a(x1)x33x22(x1)(x22x2)在 x(，1上恒成立，当 x1 时，1 3aa200 成立；当 x1 时，x10，即 ax22x2 恒成立，因为 yx22x2(x1)233，所以 a3，故选 A. 5若不等式|2x1|xa|a 对任意的实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 () A. ，1 3B. 1 2， 1 4 C. 1 2，0D. ，1 4 答案D 解析当a1 2时，|2x1|xa|
16、 x1a，x1 2. 当 x1 2时取最小 值为1 2a. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 不等式|2x1|xa|a 对任意的实数 x 恒成立， 1 2aa，a 1 4， 1 21 2时，同理可得 x 1 2时，|2x1|xa|最小值为 1 2a，不等式|2x1|x a|a 对任意的实数 x 恒成立，1 2aa 恒成立，a 1 2， 综上所述实数 a 的取值范围是 ，1 4 . 6(2021杭州地区四校联考)已知 x，y 满足约束条件 2xy4， 2x
17、3y0， x1， 且不等式|xy 2|a 恒成立，则实数 a 的取值范围为() A(1，)B( 2，) C1，)D 2，) 答案C 解析不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分(含边界) 所示，|xy2| 2|xy2| 2 ，其几何意义为平面区域内的 点(x，y)到直线 xy20 的距离的 2倍由图可知，阴影 部分(含边界)中的点 A(1，2)与直线 xy20 的距离最远，且直线 xy20 穿过阴影部分， 因此阴影部分(含边界)中的点与直线 xy20 的最近距离为 0， 最远距离为|122| 2 2 2 ，所以 0|xy2| 2 2 2 ，即|xy2|1.又不等式|xy 2|a 恒成立，所以 a
18、1. 7在关于 x 的不等式 x2(a1)xa0 的解集中至多含 2 个整数，则实数 a 的取 值范围是() A(3，5)B(2，4)C3，5D2，4 答案D 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析因为 x2(a1)xa(xa)(x1)1 时，有 1xa，要使不等式的解集最多含 2 个整数，此时 a4，所以 有 1a4； 当 a1 时，有 ax1，要使不等式的解集最多含 2 个整数，此时 a2，所以有 2a1. 设 aR，若关于 x 的不等式 f(x)|
19、 x 2a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是() A. 47 16，2B. 47 16， 39 16 C.2 3，2D. 2 3，39 16 答案A 解析不等式 f(x)| x 2a|为f(x)x 2af(x)(*)， 当 x1 时，(*)式即为x2x3x 2ax 2x3，x2x 23ax 23 2x3， 又x2x 23 x1 4 2 47 16 47 16(x 1 4时取等号)， x23 2x3 x3 4 2 39 16 39 16(x 3 4时取等号)， 所以47 16a 39 16， 当 x1 时，(*)式为x2 x x 2ax 2 x， 3 2x 2 xa x 2 2 x， 又3
20、 2x 2 x 3 2x 2 x 2 3(当 x2 3 3 时取等号)， x 2 2 x2 x 2 2 x2(当 x2 时取等号)， 所以2 3a2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 综上47 16a2.故选 A. 9(2021湖州五校模拟)已知不等式e2xexkx0 在0，)上无解，则实数 k 的取值范围是() A1，)B1，) C(1，)D(，1) 答案B 解析令 f(x)e2xexkx(x0，)，则 f(x)0 在0，)上无解，等价 于f(x)0
21、在0， )上恒成立 f(x)2e2xexk， 令g(x)2e2xexk(x0， )， 则 g(x)4e2xexex(4ex1)0 在0， )上恒成立， 所以 g(x)在0， )上单调递减，所以 g(x)maxg(0)1k.若 k1，则 g(x)0，即 f(x)0， f(x)在0，)上单调递减，所以 f(x)maxf(0)0，f(x)0 恒成立若 k0，即 f(x)0，所 以 f(x)在(0，x0)上单调递增因为 f(0)0，所以 f(x)0 在(0，x0)上成立，与已知 矛盾，故舍去综上可知，k1，故选 B. 二、填空题 10若存在实数 x 使|xa|x1|3 成立，则实数 a 的取值范围是_
22、 答案2，4 解析|xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得2a4. 11若关于 x 的不等式 x2ax20 在区间1，4上有解，则实数 a 的取值范围为 _ 答案(，1) 解析因为 x1，4，所以不等式 x2ax20 可化为 a2x 2 x 2 xx，设 f(x) 2 xx， x1， 4， 由题意得只需 af(x) max.因为函数 f(x)为区间1， 4上的减函数， 所以 f(x)maxf(1)1，故 a0. 若存在 xR 使得关于 x 的不等式 f(x)ax1 成立，则实数 a 的取值范围是_ 答案(，3)(0，) 解析当 x0 时，不等式 f(0)1 不成立；当 x0 时，不等式
23、f(x)ax1 即为 2 xax1，a 2 x 1 x min .令 1 xt， t0，则 2 x 1 xt 22t0，此时 a0，则实数 a 的取值范围是(，3(0， ) 14(2021银川一中高三模拟)已知不等式 xyax22y2对于 x1，2，y2，3 恒成立，则 a 的取值范围是_ 答案1，) 解析不等式 xyax22y2对于 x1，2，y2，3恒成立，等价于 ay x2 y x 2 对于 x1，2，y2，3恒成立， 令 ty x，则 1t3，at2t 2在1，3上恒成立， 令 z2t2t，t1，3 则 z2t2t2 t1 4 2 1 8， t1 时，zmax1，a1. 15(2021
24、上海黄浦区调研)当 x，y 满足 x2y70， xy10， x1 时，|2xy|a 恒成立， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则实数 a 的取值范围是_ 答案4，) 解析由 x，y 满足 x2y70， xy10， x1. 作出可行域，如图所示设 z2xy，则 y 2xz，z 表示直线 y2xz 在 y 轴上的截距的相反数， 则 A(1，0)，C(1，3)，由 x2y70， xy10， 得 B(3，2) 当直线 y2xz 过点 B(3，2)时，z 有最大
25、值 4， 当直线 y2xz 过点 C(1，3)时，z 有最小值1. 所以|2xy|4，所以 4a. 16已知 f(x)|xa|x|x2|(xa) (1)当 a1 时，不等式 f(x)0 的解集为_； (2)若 x(，1)时，f(x)0，则 a 的取值范围是_ 答案(1)(，1)(2)1，) 解析(1)当 a1 时，f(x)|x1|x|x2|(x1) 当 x1 时，f(x)2(x1)20； 当 x1 时，显然 f(x)0， 所以不等式 f(x)0 的解集为(，1) (2)当a1时， 若ax1， 则f(x)(xa)x(2x)(xa)2(xa)0， 不合题意 所 以 a1. 当 a1，x(，1)时，
26、f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0. 所以 a 的取值范围是1，) 17(2021金华一中月考)已知实数 x，y 满足 2xy0， xy50， y40， 则y x的取值范围是 _；若不等式 a(x2y2)(xy)2恒成立，则实数 a 的最小值为_ 答案2，4 9 5 解析由题意可得不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (含边界)所示，该区域是以(1，4)，(2，4)， 5 3， 10 3 为顶点的三角
27、形及其内部.y x表 示该区域内的点(x，y)与(0，0)连线的斜率， 结合线性规划的特点可知y x在点(1，4)处取得最大值 4，在点(2，4)和点 5 3， 10 3 处 取得最小值 2.所以y x2，4由 a(x 2y2)(xy)2可得 a（xy） 2 x2y2 1 2 x y y x ， 所以要使不等式恒成立，则需 a 1 2 x y y x max .因为y x2，4，所以 y x x y 5 2，所 以 1 2 x y y x 14 5 9 5.所以 a 9 5，则实数 a 的最小值为 9 5. 18若关于 x 的不等式(x2a)(2xb)0 在(a，b)上恒成立，则 2ab 的最小值 为_ 答案0 解析要使 2ab 取得最小值，尽量考虑 a，b 取负值的情况因此当 a0，与 b0 矛盾；当 a0b 时，不等式(x2a)(2xb)0 等价于 2xb0， 即 b2x 在(a，b)上恒成立，则 b2a，即 2ab0，此时 2ab 的最小值 为 0；当 0a0.综上，可知 2ab 的最小值为 0.
