1、1.5一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 考试要求1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元 二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式 1一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式，一元二次 不等式的一般形式是 ax2bxc0 或 ax2bxc000)的图象 方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两个不相等的实数 根 x1，x2(x10(a0) 的解集 x|xx2 x|x b 2a R ax2bxc0) 的解集 x|x1 x0(0(0(0 恒成立的条件是 a0， 0； ax2
2、bxc0 恒成立的条件是 a0， 0. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式 ax2bxc0.() (2)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.() (3)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式 ax2bxc0 的解集一定不是空 集() (4)xa xb0 等价于(xa)(xb)0.( ) 题组二教材改编 2已知集合 Ax|x25x40，Bx|x2x60，则 AB 等于() A(2,3)B(1,3) C(3,4)D(2,4) 答案B 解析由题意知 Ax|1x4，Bx|2x0 的解集为_(用区间
3、表示) 答案(4,1) 解析由x23x40 可知，(x4)(x1)0， 得4x0， 令 3x22x20，得 x11 7 3 ，x21 7 3 ， 3x22x20 的解集为 ，1 7 3 1 7 3 ， . 题组三易错自纠 5若关于 x 的不等式 ax2bx20 的解集是 1 2， 1 3 ，则 ab_. 答案14 解析x11 2，x 21 3是方程 ax 2bx20 的两个根， a 4 b 220， a 9 b 320， 解得 a12， b2， ab14. 6若不等式 x2ax40，即 a216. a4 或 a4. 题型一 一元二次不等式的求解 命题点 1不含参的不等式 例 1 (1)(202
4、0全国)已知集合 Ax|x23x40，B4,1,3,5，则 AB 等于() A4,1B1,5C3,5D1,3 答案D 解析Ax|x23x40 x|(x1)(x4)0 x|1x4，B4,1,3,5， AB1,3 (2)不等式1x 2x0 的解集为( ) A2,1B(2,1 C(，2)(1，)D(，2(1，) 答案B 解析原不等式化为 1x2x0， 2x0， 即 x1x20， x20， 解得2x1. 命题点 2含参不等式 例 2 解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10) 解原不等式变为(ax1)(x1)0，所以 x1 a (x1)1 时，解得1 ax1； 当 a1 时，解集为； 当 0a1 时
5、，解得 1x1 a. 综上，当 0a1 时，不等式的解集为 x|1x1 时，不等式的解集为 x| 1 ax0 改成 aR，解不等式 解当 a0 时，同例 2， 当 a0 时，原不等式等价于x11， 当 a0 时，1 a0， 解得 x1 或 x1 a. 综上，当 0a1 时，不等式的解集为 x|1x1 时，不等式的解集为 x| 1 ax1， 当 a0 时，不等式的解集为 x|x1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类 (2)根据判别式与 0 的关系判断根的个数 (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论 跟踪训练 1 (1)已知不等式
6、ax2bx10 的解集是 x| 1 2x 1 3，则不等式 x2bxa0 的解集是_ 答案x|x3 或 x2 解析由题意，知1 2， 1 3是方程 ax 2bx10 的两个根，且 aa2(aR) 解原不等式可化为 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0， 解得 x1a 4，x 2a 3. 当 a0 时，不等式的解集为 ，a 4 a 3，； 当 a0 时，不等式的解集为(，0)(0，)； 当 a0 时，不等式的解集为 ，a 3 a 4，. 题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点 1在 R 上的恒成立问题 例 3 对于任意实数 x， 不等式(a2)x22(a2)
7、x40 恒成立， 则实数 a 的取值范围是() A(，2)B(，2 C(2,2)D(2,2 答案D 解析当 a20，即 a2 时，40 恒成立； 当 a20，即 a2 时， 则有 a20， 2a224a240， 解得2a2. 综上，实数 a 的取值范围是(2,2 命题点 2在给定区间上的恒成立问题 例 4 已知函数 f(x)mx2mx1.若对于 x1,3，f(x)5m 恒成立，则实数 m 的取值范围 为_ 答案 ，6 7 解析要使 f(x)m5 在 x1,3上恒成立， 即 m x1 2 23 4m60 时，g(x)在1,3上单调递增， 所以 g(x)maxg(3)，即 7m60， 所以 m6
8、7，所以 0m 6 7； 当 m0 时，60 恒成立； 当 m0 时，g(x)在1,3上单调递减， 所以 g(x)maxg(1)，即 m60， 所以 m6，所以 m0， 又因为 m(x2x1)60， 所以 m 6 x2x1.令 y 6 x2x1， 因为函数 y 6 x2x1 6 x1 2 23 4 在1,3上的最小值为6 7，所以只需 m 6 7即可 所以 m 的取值范围是 ，6 7 . 命题点 3给定参数范围的恒成立问题 例 5 若 mx2mx10 对于 m1,2恒成立，则实数 x 的取值范围为_ 答案 1 3 2 ，1 3 2 解析设 g(m)mx2mx1(x2x)m1， 其图象是直线，
9、当 m1,2时， 图象为一条线段， 则 g10， g20， 即 x2x10， 2x22x10， 解得1 3 2 x0 对一切实数 x 都成立， 则实数 a 的取值范围为() Aa 1 2 Ba1 2或 a1 2 D1 2a0 不恒成立，故 a0 不合题意； 当 a0 时， a0， 0， 14a21 2. (2)当 x(1,2)时，不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是() A(，4B(，5) C(，5D(5，4) 答案C 解析令 f(x)x2mx4， x(1,2)时，f(x)0)有不相等的两根为 x1，x2，且 x1x2，相应的二次函数 为 f(x)ax2bxc，方程的根即为二次函
10、数的图象与 x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见 下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一：(两根与 0 的大小比较即根的正负情况) 分布情况 两个负根即两根都小 于 0(x10，x20，x20) 一正根一负根即一个 根小于 0，一个根大于 0(x100) 得出的结论 0， b 2a0 0， b 2a0， f00 f(0)0 大致图象(a0， b 2a0， f00， b 2a0， f00 综合结论 (不讨论 a) 0， b 2a0 0， b 2a0， af00 af(0)0 表二：(两根与 k 的大小比较) 分布情况 两根都小于 k 即 x1k， x2k， x2k 一个根小于 k，一个根
11、大于 k 即 x1k0) 得出的结论 0， b 2a0 0， b 2ak， fk0 f(k)0 大致图象(a0， b 2ak， fk0， b 2ak， fk0 综合结论 (不讨论 a) 0， b 2a0 0， b 2ak， afk0 af(k)0 表三：(根在区间上的分布) 分布情况两根都在(m，n)内 两根有且仅有一根在 (m，n)内(图象有两种 情况，只画了一种) 一根在(m，n)内，另 一根在(p， q)内， mn p0) 得出的结论 0， fm0， fn0， m b 2an f(m)f(n) 0， fn0， fp0 或 fmfn0， fpfq0 大致图象(a0， fm0， fn0， m
12、 b 2an f(m)f(n) 0 fm0， fp0， fq0 或 fmfn0， fpfq0， fmfn0， m b 2an f(m)f(n) 0 fmfn0， fpfq0 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧 x1n， (图形分别如下)需满足的条件是 (1)a0 时， fm0， fn0； (2)a0， fn0. 对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况： ()若 f(m)0 或 f(n)0，则此时 f(m)f(n)0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有 一根为 m 或 n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从
13、而可以求出参 数的值如方程 mx2(m2)x20 在区间(1,3)上有一根，因为 f(1)0，所以 mx2(m2)x 2(x1)(mx2)，另一根为2 m，由 1 2 m3 得 2 3m2 即为所求； ()方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即0，此时由0 可以求出参 数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不 在，舍去相应的参数如方程 x24mx2m60 有且只有一根在区间(3,0)内，求 m 的取 值范围分析：由 f(3)f(0)0 即(14m15)(m3)0 得出3m15 14；由0 即 16m 2 4(2m6)0 得出 m1 或 m3
14、2，当 m1 时，根 x2(3,0)，即 m1 满足题 意；当 m3 2时，根 x3(3,0)，故 m 3 2不满足题意综上分析，得出3m 15 14或 m 1. 例 1 已知二次方程(2m1)x22mx(m1)0 有一正根和一负根，求实数 m 的取值范围 解设 f(x)(2m1)x22mx(m1)， 由(2m1)f(0)0 ，即(2m1)(m1)0， 解得1 2m0， m1 22 0， f00 m128m0， m1， m0 m32 2， m0 0m32 2， 即 m 的取值范围为(0,32 2)(32 2，) 例 3 已知二次函数 f(x)(m2)x2(2m4)x3m3 与 x 轴有两个交点
15、，一个大于 1，一个 小于 1，求实数 m 的取值范围 解由(m2)f(1)0 ， 即(m2)(2m1)0 2m1 2， 即 m 的取值范围为 2，1 2 . 课时精练课时精练 1已知集合 Ax|x2x20，Bx|x23x0，则 AB 等于() A(0,2)B(1,0) C(3,2)D(1,3) 答案B 解析Ax|1x2，Bx|3x0， AB(1,0)故选 B. 2若 0t0 的解集为() A. x| 1 t x 1 t 或 xt C. x|xt D. x|tx 1 t 答案D 解析原不等式可化为(xt) x1 t 0， 0t1，t1 t， 原不等式的解集为 x|tx0 的解集为(1,3)，那
16、么 不等式 f(2x)0 的解集是(1,3)，则 a0，故1 a1，b3， 即 a1，b3. f(x)x22x3， f(2x)4x24x3， 由4x24x31 2或 x 3 2， 故不等式 f(2x)0 的解集为 x| 1 2x0 的解集为 x| 1 2x2， 方程(axb)(x2)0 的实数根为1 2和 2， 且 a0， b a 1 2， 即 a2b0)有且只有一个零点，则() Aa2b24 Ba21 b4 C若不等式 x2axb0 D若不等式 x2axb0)有且只有一个零点，故可得a24b0，即 a24b0. 对于 A，a2b24 等价于 b24b40， 显然(b2)20，故 A 正确；
17、对于 B，a21 b4b 1 b2 4b1 b4，当且仅当 4b 1 b0，即 b 1 2时，等号成立，故 B 正确； 对于 C，因为不等式 x2axb0 的解集为(x1，x2)，故 x1x2b0，故 C 错误； 对于 D，因为不等式 x2axb2 的解集为_ 答案x|1x0， 即x22x1 x1 0，即4x x10， 即(x1)(x4)0，解得 1x4， 原不等式的解集为x|1x0， k10， 解得 k0， g1x21x24x40 x3. 10关于 x 的不等式 x2(a1)xa0 的解集中恰有两个整数，则实数 a 的取值范围是 _ 答案2，1)(3,4 解析不等式 x2(a1)xa0， 可
18、化为(x1)(xa)0， 当 a1 时，不等式为(x1)21 时，不等式的解集为x|1xa，则 3a4， 当 a1 时，不等式的解集为x|ax1， 则2a1， 综上有2a1 或 30. (1)若该不等式的解集为(4,2)，求 a，b 的值； (2)若 ba1，求此不等式的解集 解(1)根据题意得 24a， 24b， 解得 a2，b8. (2)当 ba1 时，x2axb0 x2ax(a1)0， 即x(a1)(x1)0. 当 a11，即 a2 时，原不等式的解集为； 当 a11，即 a1，即 a2 时，原不等式的解集为(1，a1) 综上，当 a 2 时， 不等式的解集为(1，a1) 12某商品每件
19、成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低 x 成(1 成 10%)，售出商品数量就增加 8 5x 成要求售价不能低于成本价 (1)设该商店一天的营业额为 y 元，试求 y 与 x 之间的函数关系式 yf(x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围 解(1)由题意得，y100 1 x 10 100 1 8 50 x. 因为售价不能低于成本价， 所以 100 1 x 10 800， 解得 0 x2. 所以 yf(x)40(10 x)(254x)， 定义域为x|0 x2 (2)由题意得 40(10 x)(254x)10
20、 260， 化简得 8x230 x130，解得1 2x 13 4 . 所以 x 的取值范围是 1 2，2. 13已知 a，b，c，d 都是常数，ab，cd.若 f(x)2 021(xa)(xb)的零点为 c，d，则下 列不等式正确的是() AacbdBabcd CcdabDcabd 答案D 解析f(x)2 021(xa)(xb)x2(ab)xab2 021，又 f(a)f(b)2 021，c，d 为 函数 f(x)的零点，且 ab，cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数 f(x)的大致图象，如图 所示，由图可知 cabd，故选 D. 14若不等式 x2ax20 在区间1,5上有解，则 a 的取
21、值范围是() A. 23 5 ， B. 23 5 ，1 C(1，)D. ，23 5 答案A 解析由a280 知方程恒有两个不等实根，又因为 x1x220，解得 a23 5 . 15 已知二次函数 f(x)x22x3， 不等式 f(x)m 的解集的区间长度为 6(规定： 闭区间a， b的长度为 ba)，则实数 m 的值是_ 答案5 解析不等式 f(x)m 可化为 x22x3m0， 令 x22x3m0 的解集为x|x1xx2， 则 x2x16， x1x22， x1x2m3， 又(x2x1)2(x1x2)24x1x236， 44(m3)36，即 m5. 16已知 f(x)2x2bxc，不等式 f(x
22、)0， fxk0 的正整数解只有一个，求实数 k 的取值范围； (2)若对于任意 x1,1，不等式 tf(x)2 恒成立，求 t 的取值范围 解(1)因为不等式 f(x)0， fxk0， 2x22kxk210 xk0， 解得 x5， kx5k， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为 6， 可得 65k7，解得2k0 时，有 t15t110， t15t110， 即 t5t10， t5t10， 解得1 4t 1 6，所以 0t 1 6； 当 t0 时，函数 ytx25tx1 在1,1上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可， 所以 t5t10，解得 t1 4，即 1 4t0， 综上，t 的取值范围是 1 4， 1 6 .
