1、强化训练强化训练 5平面向量中的综合问题平面向量中的综合问题 1(2021甘肃诊断)已知平面向量 a，b 满足 a(1，2)，b(3，t)，且 a(ab)，则|b| 等于() A3B. 10C2 3D5 答案B 解析ab(1，2)(3，t)(2，t2)，由于 a(ab)，所以 a(ab)0，即 1( 2)(2)(t2)0，解得 t1，所以 b(3,1)，|b| 10. 2(2021常德模拟)如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，E 为 BC 的中点，则AE 等 于() A.1 2AB 1 2AD B.3 4AB AD C.3 4AB 1 2AD D.3 2AB 1 2AD 答案C
2、解析设 F 为 AB 的中点，连接 DF，如图， ABCD，AB2CD， BFCD，且 BFCD， 四边形 BFDC 为平行四边形， FD BC ， AE ABBEAB1 2BC AB1 2FD AB 1 2(FA AD ) AB 1 2 1 2AB AD 3 4AB 1 2AD . 3已知向量 a，b 满足|a|2，|b| 2，且 a(a2b)，则 b 在 a 方向上的投影为() A1 2 B1C.1 2 D1 答案B 解析因为 a(a2b)，所以 a(a2b)a22ab42ab0，ab2，所以 b 在 a 方向 上的投影为ab |a| 2 2 1. 4(2020河北“五个一”名校联考)若两
3、个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|a|，则向量 a b 与 ab 的夹角是() A. 6 B. 2 C.2 3 D.5 6 答案C 解 析将 |a b| |a b| 2|a| 平 方 得 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4a2， 解 得 ab0， b23a2， cosab，aba 2b2 4a2 1 2，所以向量 ab 与 ab 的夹角是 2 3 . 5(多选)已知在边长为 2 的等边ABC 中，向量 a，b 满足AB a，BCab，则下列式子 正确的是() A|2ab|2B|b|2 3 Ca(ab)2Dab6 答案ABD 解析AC ABBC2ab，则|2ab|AC|2，A 正
4、确；a(ab)ABBC2，C 错误； a(ab)|a|2ab2，则 ab6，D 正确；又|ab|2，两边平方得|a|22ab|b|24， 则|b|2 3，B 正确 6(多选)若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的值可能为 () A. 21B1 C. 2D2 答案AB 解析因为 a，b，c 均为单位向量， 且 ab0，(ac)(bc)0， 所以 abc(ab)c20， 所以 c(ab)1， 而|abc| abc2 a2b2c22ab2ac2bc 32cab 321， 所以选项 C，D 不正确，故选 AB. 7(2020泰安模拟)已知向量OA (3，4)，OB
5、 (6，3)，OC (2m，m1)若AB OC ， 则实数 m 的值为_ 答案3 解析因为AB OC ，AB OB OA (3,1)， 所以 3(m1)2m，所以 m3. 8已知 a(2，1)，b(3，)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数的取值范围是_ 答案3 2且3 解析由题意得，ab0 且 a 与 b 不共线， 即 3(2)0 且(2)3， 解得0，1，且 D，G，E 共线，则 1 1 _. 答案3 解析ABC 的重心为 G， AG1 3(AB AC)， D，G，E 共线，则存在实数 m，使得AG mAD (1m)AE ， 1 3AB 1 3AC mAD (1m)AE mAB (1m)
6、AC， m1 3， 1m1 3， 解得 m 1 31 1 3， 1 1 3. 11已知向量 a，b 的夹角为 60，且 a(1,0) (1)若|b|2，求 b 的坐标； (2)若(ab)(ab)，求|a2b|的值 解(1)设 b(x，y)， 因为向量 a，b 的夹角为 60，且 a(1,0)，|b|2. 所以 cos a，bcos 60 ab |a|b| x 2 1 2，解得 x1， 所以|b|2 x2y2 1y2，解得 y 3， 所以 b(1， 3) (2)因为(ab)(ab)， 所以(ab)(ab)a2b2|a|2|b|20， 由于 a(1,0)， 所以|a|b|1， 所以|a2b| |a
7、2b|2 a24b24ab144111 2 3. 12.如图，在四边形 ABCD 中，B60，AB3，BC6，且AD BC ，AD AB 3 2. (1)求实数的值； (2)若 M，N 是线段 BC 上的动点，且|MN |1，求DM DN 的最小值 解(1)AD BC ，ADBC， B60，DAB120， AD AB 63cos 1203 2， 1 6. (2)如图，过点 A 作 AOBC，垂足为 O， 则 OB1 2AB 3 2，OC 9 2，AO 3 3 2 ， 以 O 为原点，以 BC，OA 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系， 则 D 1，3 3 2，设 M(x,0)，N(x1,0)，
8、3 2x 7 2， DM x1，3 3 2，DN x，3 3 2， DM DN x2x27 4 x1 2 213 2 ， 当 x1 2时，DM DN 取得最小值13 2 . 13已知非零向量AB 与AC 满足 AB |AB | AC |AC | BC 0，且 AB |AB | AC |AC | 1 2，则ABC 的形状为 () A等边三角形B三边均不相等的三角形 C等腰非等边三角形D直角三角形 答案C 解析注意到 AB |AB |表示与AB 同向的单位向量，AC |AC |表示与AC 同向的单位向量，所以AB |AB | AC |AC | 表示以与AB 同向的单位向量和与AC 同向的单位向量为
9、邻边的平行四边形的对角线，因为 AB |AB | AC |AC | BC 0，所以|AB|AC|，由AB |AB | AC |AC | 1 2可以得出AB 与AC的夹角为 120，所以 ABC 为等腰非等边三角形 14已知 O 是正三角形 ABC 内部的一点，OA 2OB 3OC 0，则OAC 的面积与OAB 的面积之比是() A.3 2 B.2 3 C2D1 答案B 解析如图所示，D，E 分别是 BC，AC 的中点， 由OA 2OB 3OC 0 得 OA OC 2(OB OC )， 即OE 2OD ，所以 OE2OD， 设正三角形的边长为 2 3a， 则OAC 底边 AC 上的高为 hAC1
10、 3BEa， OAB 底边 AB 上的高为 hAB1 2BE 3 2a， 所以S OAC SOAB 1 2ACh AC 1 2ABh AB 2 3aa 2 3a3 2a 2 3. 15已知三个向量 a，b，c 共面，且均为单位向量，ab0，则|abc|的取值范围是() A 21， 21B1， 2 C 2， 3D 21,1 答案A 解析因为 ab0， 所以|ab|2a22abb22， 所以|ab| 2， 所以|abc|2a2b2c22ab2(ab)c32(ab)c， 则当 c 与(ab)同向时，(ab)c 最大， |abc|2最小，此时(ab)c|ab|c|cos 0 2，|abc|232 2，
11、 所以|abc|min 21； 当 c 与(ab)反向时，(ab)c 最小，|abc|2最大，此时(ab)c|ab|c|cos 2，|a bc|232 2， 所以|abc|max 21， 所以|abc|的取值范围为 21， 21 16在ABC 中，设BC CA CA AB . (1)求证：ABC 为等腰三角形； (2)若|BA BC|2 且 B 3， 2 3 ，求BA BC的取值范围 (1)证明因为BC CACAAB， 所以CA (BC AB )0， 因为AB BCCA0，所以CA (AB BC)， 所以(AB BC)(BCAB)0， 所以 AB 2BC20， 所以|AB |BC |， 故ABC 为等腰三角形 (2)解因为 B 3， 2 3 ，所以 cos B 1 2， 1 2 ， 设|AB |BC|a， 因为|BA BC|2，所以|BABC|24， 所以 a2a22a2cos B4，所以 a2 2 1cos B， 所以BA BC|BA|BC|cos Ba2cos B 2cos B 1cos B2 2 1cos B， 又1 2cos B 1 2， 所以22 2 1cos B 2 3， 即BA BC 2，2 3 .
