1、10.2排列、组合排列、组合 考试要求1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.2.理解 组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题 1排列与组合的概念 名称定义区别 排列从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素 按照一定的顺序排成一列 排列有序，组合无序 组合合成一组 2.排列数与组合数 定义计算公式性质联系 排 列 数 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有 不同排列的个数，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 用符 号“Amn”表示 Amnn(n1)(n2)(nm1) n！ nm！(n，mN *，且 mn) (1)Ann
2、n！ ； (2)0！1 Cmn Amn m！ 组 合 数 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有 不同组合的个数，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 用符 号“Cmn”表示 C m n nn1n2nm1 m！ n！ m！nm！ (n，mN*，且 mn) (1)CnnC0n1； (2)CmnCn m n； (3)Cmn1Cmn Cm 1 n 微思考 1排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合 2排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？ 提示(1)排列数与组合数之间的联系为 CmnAmmAmn. (
3、2)两种形式分别为：连乘积形式；阶乘形式 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列() (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同() (3)若组合式 CxnCmn，则 xm 成立() (4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也 就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了() 题组二教材改编 2 从 4 本不同的课外读物中， 买 3 本送给 3 名同学， 每人各 1 本， 则不同的送法种数是() A12B2
4、4C64D81 答案B 解析4 本不同的课外读物选 3 本分给 3 位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为 A34 24. 36 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A144B120C72D24 答案D 解析“插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的 坐法种数为 A3443224. 4C37C47C58C 6 9的值为_(用数字作答) 答案210 解析原式C48C58C69C59C69C610C410210. 题组三易错自纠 5六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 () A192
5、种B216 种C240 种D288 种 答案B 解析第一类：甲在最左端，有 A5554321120(种)排法；第二类：乙在最左端， 甲不在最右端， 有 4A444432196(种)排法 所以共有 12096216(种)排法 6某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门若要求两类课程中 各至少选一门，则不同的选法种数为_ 答案30 解析分两种情况：(1)A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，有 C13C 2 4种不同的选法；(2)A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有 C23C 1 4种不同的选法 所以不同的选法共有 C13C24C23C
6、14181230(种). 题型一 排列问题 1用 1,2,3,4,5 这五个数字，可以组成比 20 000 大，并且百位数不是数字 3 的没有重复数字 的五位数，共有() A96 个B78 个C72 个D64 个 答案B 解析根据题意知， 要求这个五位数比 20 000 大， 则万位数必须是 2,3,4,5 这 4 个数字中的一 个， 当万位数是 3 时， 百位数不是数字 3， 符合要求的五位数有 A4424(个)； 当万位数是 2,4,5 时，由于百位数不能是数字 3，则符合要求的五位数有 3(A44A33)54(个)，因此共有 54 2478(个)这样的五位数符合要求 2(2020惠州调研
7、)七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是 () A3 600B1 440C4 820D4 800 答案A 解析除甲、乙外，其余 5 个人排列为 A 5 5种排法，再用甲乙去插 6 个空位有 A 2 6种，不同的 排法种数是 A55A263 600(种) 3受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭高三年级 一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃 饭的不同安排方案共有() A240 种B120 种C188 种D156 种 答案B 解析根据题意，按甲班位置分 3 种情况讨论： (1)甲班排在第一位，丙班和
8、丁班排在一起的情况有 4A228(种)，将剩余的三个班全排列，安 排到剩下的 3 个位置，有 A336(种)情况，此时有 8648(种)安排方案； (2)甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有 3A226(种)，将剩下的三个班全排列，安排 到剩下的三个位置，有 A336(种)情况，此时有 6636(种)安排方案； (3)甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有 3A226(种)，将剩下的三个班全排列，安 排到剩下的三个位置，有 A336(种)情况，此时有 6636(种)安排方案 由分类加法计数原理可知共有 483636120(种)方案 思维升华 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有
9、位置分析法和元素分析法，在实际 进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置， 对于分类过多的问题可以采用间接法 (2)常见排列数的求法为：相邻问题采用“捆绑法”不相邻问题采用“插空法”有 限制元素采用“优先法”特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的 全排列数 题型二 组合问题 1(2020新高考全国)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆， 甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有() A120 种B90 种C60 种D30 种 答案C 解析先从 6 名同学中选 1 名安排到甲
10、场馆， 有 C 1 6种选法， 再从剩余的 5 名同学中选 2 名安 排到乙场馆，有 C 2 5种选法，最后将剩下的 3 名同学安排到丙场馆，有 C 3 3种选法，由分步乘 法计数原理知，共有 C16C25C3360(种)不同的安排方法 2为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从 10 名办公室工作人员中裁去 4 人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为_ 答案182 解析甲、乙中裁一人的方案有 C12C 3 8种，甲、乙都不裁的方案有 C 4 8种，故不同的裁员方案 共有 C12C38C48182(种) 3从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有
11、 1 位女生入选，则不同的选法共 有_种(用数字填写答案) 答案16 解析方法一按参加的女生人数可分两类： 只有 1 位女生参加有 C12C 2 4种， 有 2 位女生参加 有 C22C 1 4种故所求选法共有 C12C24C22C1426416(种) 方法二间接法：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，共有 C 3 6种情况，没有女生参加的情况有 C 3 4种，故所求选法共有 C36C3420416(种) 思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则 按元素(位置)的性质进行分类 按事情发生的过程进行分步 具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考
12、虑其他 元素(位置) (2)两类含有附加条件的组合问题的方法 “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外 元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取 “至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最 多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类 复杂时，可用间接法求解 题型三 排列与组合的综合问题 命题点 1相邻问题 例 1 北京 APEC 峰会期间，有 2 位女性和 3 位男性共 5 位领导人站成一排照相，则女性领导 人甲不在两端，3 位男性领导人中有且只有 2 位相邻的站
13、法有() A12 种B24 种C48 种D96 种 答案C 解析从 3 位男性领导人中任取 2 人“捆”在一起记作 A，A 共有 C23A226(种)不同排法，剩 下 1 位男性领导人记作 B,2 位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在 A，B 之间，此时 共有 6212(种)排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插 入乙，共有 12448(种)不同排法 命题点 2相间问题 例 2 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则 同类节目不相邻的排法种数是() A72B120C144D168 答案B 解析安排小品
14、节目和相声节目的顺序有三种：“小品 1，小品 2，相声”“小品 1，相声， 小品 2”和“相声，小品 1，小品 2”对于第一种情况，形式为“小品 1 歌舞 1 小品 2 相声”，有 A22C13A2336(种)安排方法；同理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于第二种 情况，三个节目形成 4 个空，其形式为“小品 1相声小品 2”，有 A22A3448(种)安 排方法，故共有 363648120(种)安排方法 命题点 3特殊元素(位置)问题 例 3 大数据时代出现了滴滴打车服务， 二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存 在某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8
15、人，他们准备使用滴滴打车 软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个孩子不考虑位置)， 其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自于同一个家庭的 乘坐方式共有() A18 种B24 种C36 种D48 种 答案B 解析根据题意，分两种情况讨论： A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三 个家庭中任选 2 个，再从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车， 有 C23C12C1212(种)乘坐方式； A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选 1 个，让其 2 个孩子都在甲
16、车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车，有 C13C12C12 12(种)乘坐方式 故共有 121224(种)乘坐方式，故选 B. 思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则 (1)按元素(位置)的性质进行分类 (2)按事情发生的过程进行分步 具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他 元素(位置) 跟踪训练 (1)把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相 邻，则不同的摆法有_种 答案36 解析将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A22A
17、4 4种方法，将 产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A22A 3 3种方 法于是符合题意的摆法共有 A22A44A22A3336(种) (2)数学活动小组由 12 名同学组成，现将这 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题， 且每组只研究一个课题，并要求每组选出 1 名组长，则不同的分配方案有() A.C 3 12C39C36 A33 A 4 4种BC312C39C3634种 C.C 3 12C39C36 A44 43种DC312C39C3643种 答案B 解析方法一首先将 12 名同学平均分成四组，有C 3 12C39C36 A44 种分
18、法，然后将这四组同学分配 到四个不同的课题组，有 A 4 4种分法，并在各组中选出 1 名组长，有 34种选法，根据分步乘 法计数原理，满足条件的不同分配方案有C 3 12C39C36 A44 A4434C312C39C3634(种)，故选 B. 方法二根据题意可知，第一组分 3 名同学有 C 3 12种分法，第二组分 3 名同学有 C 3 9种分法， 第三组分 3 名同学有 C 3 6种分法，第四组分 3 名同学有 C 3 3种分法第一组选 1 名组长有 3 种选 法，第二组选 1 名组长有 3 种选法，第三组选 1 名组长有 3 种选法，第四组选 1 名组长有 3 种 选法根据分步乘法计数
19、原理可知，满足条件的不同分配方案有 C312C39C36C3334种，故选 B. 课时精练课时精练 1 “中国梦”的英文翻译为“China Dream”， 其中China又可以简写为CN， 从“CN Dream” 中取 6 个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有() A360 种B480 种C600 种D720 种 答案C 解析从其他 5 个字母中任取 4 个，然后与“ea”进行全排列，共有 C45A55600(种)，故选 C. 2用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为() A8B24C48D120 答案C 解析末位数字排法有 A 1 2种
20、，其他位置排法有 A 3 4种，共有 A12A3448(种) 3有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在 一起，则不同的站法有() A240 种B192 种C96 种D48 种 答案B 解析当丙和乙在甲的左侧时，共有 A22C14A22A3396(种)排列方法，同理，当丙和乙在甲的右 侧时也有 96 种排列方法，所以共有 192 种排列方法 4不等式 Ax86A x2 8的解集为() A2,8B2,6C7,12D8 答案D 解析 8！ 8x！6 8！ 10 x！， x219x840，解得 7x12. 又 x8，x20， 7x8，xN*，即 x8. 5(20
21、20昆明质检)互不相同的 5 盆菊花，其中 2 盆为白色，2 盆为黄色，1 盆为红色，现要 摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方 法() AA 5 5种BA 2 2种 CA24A 2 2种DC12C12A22A 2 2种 答案D 解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一 盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有 C12C12A22A 2 2种摆放方法 6(2021山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯 不相邻，则不同的开灯方案共有() A60 种B20 种C10 种D8 种 答案C 解析
22、根据题意，可分为两步： 第一步，先安排四盏不亮的路灯，有 1 种情况； 第二步，四盏不亮的路灯排好后，有 5 个空位，在 5 个空位中任意选 3 个，插入三盏亮的路 灯，有 C3510(种)情况 故不同的开灯方案共有 10110(种) 7有 5 列火车分别准备停在某车站并行的 5 条轨道上，若快车 A 不能停在第 3 道上，货车 B 不能停在第 1 道上， 则 5 列火车不同的停靠方法数为() A56B63C72D78 答案D 解析若没有限制， 5 列火车可以随便停， 则有 A 5 5种不同的停靠方法； 快车 A 停在第 3 道上， 则 5 列火车不同的停靠方法为 A 4 4种；货车 B 停在
23、第 1 道上，则 5 列火车不同的停靠方法为 A 4 4种；快车 A 停在第 3 道上，且货车 B 停在第 1 道上，则 5 列火车不同的停靠方法为 A 3 3种， 故符合要求的 5 列火车不同的停靠方法数为 A552A44A3312048678. 8(多选)(2021苏州质检)现有 4 个小球和 4 个小盒子，下面的结论正确的是() A若 4 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，则共有 24 种放法 B若 4 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，且恰有两个空盒的放法共有 18 种 C若 4 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，且恰有一个空盒的放法共有 14
24、4 种 D若编号为 1,2,3,4 的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的 编号全不相同的放法共有 9 种 答案BCD 解析若 4 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子中，共有 44256(种)放法，故 A 错误； 若 4 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放 3 个小球，另 一个盒子放 1 个小球或两个盒子均放 2 个小球，共有 C24(A221)18(种)放法，故 B 正确；若 4 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放 1 个小球， 另一个盒子中放 2 个小球，
25、共有 C14C 1 4C13C22A33 A22 144(种)放法，故 C 正确；若编号为 1,2,3,4 的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若 (2,1,4,3)代表编号为 1,2,3,4 的盒子放入的小球编号分别为 2,1,4,3，列出所有符合要求的情况： (2,1,4,3)，(4,1,2,3)，(3,1,4,2)，(2,4,1,3)，(3,4,1,2)，(4,3,1,2)，(2,3,4,1)，(3,4,2,1)，(4,3,2,1)共 9 种放法，故 D 正确故选 BCD. 9若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法
26、共有_种(用数字 作答) 答案11 解析把 g，o，o，d,4 个字母排一列，可分两步进行，第一步：排 g 和 d，共有 A 2 4种排法； 第二步：排两个 o，共 1 种排法，所以总的排法种数为 A2412.其中正确的有一种，所以错误 的共有 A24112111(种) 10某运输公司有 7 个车队，每个车队的车辆均多于 4 辆现从这个公司中抽调 10 辆车，并 且每个车队至少抽调 1 辆，那么共有_种不同的抽调方法 答案84 解析方法一在每个车队抽调 1 辆车的基础上，还需抽调 3 辆车可分为三类：一类是从 某 1 个车队抽调 3 辆，有 C 1 7种方法；一类是从 2 个车队中抽调，其中
27、1 个车队抽调 1 辆，另 1 个车队抽调 2 辆，有 A 2 7种方法；一类是从 3 个车队中各抽调 1 辆，有 C 3 7种方法故共有 C17A27C3784(种)抽调方法 方法二由于每个车队的车辆均多于 4 辆，只需将 10 个份额分成 7 份可看作将 10 个小球 排成一排， 在相互之间的 9 个空当中插入 6 个隔板， 即可将小球分成 7 份， 故共有 C6984(种) 抽调方法 11(2020梅州质检)某省高考实行 33 模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、 历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则 他们至少有两科相同的选法有_种
28、 答案200 解析根据题意，分 2 种情况讨论： 两人选择的科目全部相同，有 C3620(种)选法， 两人选择的科目有且只有 2 科相同，有 C26C14C13180(种)选法， 则两人至少有两科相同的选法有 20180200(种) 12(2020全国)4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每 个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种 答案36 解析将 4 名同学分成人数为 2,1,1 的 3 组，有 C246(种)分法，再将 3 组同学分到 3 个小区， 共有 A336(种)分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有 6636(种) 13某宾
29、馆安排 A，B，C，D，E 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 A，B 不能住 同一房间，则不同的安排方法有() A114B90C108D60 答案A 解析5 个人住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时， 有 C35A3360(种)，A，B 住同一房间有 C13A3318(种)，故有 601842(种)，当为(2,2,1)时， 有C 2 5C23 A22 A3390(种)，A，B 住同一房间有 C23A3318(种)，故有 901872(种)，根据分类加 法计数原理可知，共有 4272114(种) 14(2021湖北八
30、市重点高中联考)从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 名去参加一项活动，要求 男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为 _(用数字作答) 答案23 解析设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为 C35C339； 设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为 C35C33 9； 设甲、乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为 C455. 综合得，不同的选法种数为 99523. 15中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”， 主要指美育；“射”和
31、“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”， 数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座 排课有如下要求： “数”必须排在前三节， 且“射”和“御”两门课程相邻排课， 则“六艺” 课程讲座不同排课顺序共有() A120 种B156 种C188 种D240 种 答案A 解析当“数”排在第一节时有 A22A4448(种)排法； 当“数”排在第二节时有 A13A22A3336(种)排法； 当“数”排在第三节时， 当“射”和“御”两门课程排在第一、 二节时有 A22A3312(种)排法， 当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有 A12A22A33
32、24(种)排法， 所以满足条件的共有 48361224120(种)排法，故选 A. 16用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为 偶数的四位数共有_个(用数字作答) 答案324 解析当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有 0，则千位上把 剩余数字中任意一个放上即可，方法数是 C23A33C1472；若选出的三个偶数不含 0，则千位上 只能从剩余的非 0 数字中选一个放上，方法数是 A33C1318，故这种情况下符合要求的四位数 共有 721890(个) 当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是 0，则再选出两个 奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为 C23A33C1472；若选出的偶数不是 0， 则再选出两个奇数后， 千位上只能从剩余的非 0 数字中选一个放上， 方法数是 C13C23A33C13 162，故这种情况下符合要求的四位数共有 72162234(个) 根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有 90234324(个)
