1、3.3导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值 考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数 的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值 1函数的极值与导数 条件 f(x0)0 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0 x0附近的左侧 f(x)0 图象 极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值 极值点x0为极大值点x0为极小值点 2.函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在区间a，b上有最值的条件： 如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值 (2)求 yf(x)在区间a，b上的最大(小)值
2、的步骤： 求函数 yf(x)在区间(a，b)上的极值； 将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小 的一个是最小值 微思考 1对于可导函数 f(x)，“f(x0)0”是“函数 f(x)在 xx0处有极值”的什么条件？ 提示必要不充分 2函数的极大值一定大于极小值吗？ 提示不一定函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 f(x)在区间(a，b)上不存在最值() (2)函数的极小值一定是函数的最小值() (3)函数的极小值一定不是函数的最大值() (4)函数 yf
3、(x)的零点是函数 yf(x)的极值点() 题组二教材改编 2如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为() A1B2C3D4 答案A 解析由题意知只有在 x1 处 f(1)0，且其两侧导数符号为左负右正 3当 x0 时，ln x，x，ex的大小关系是_ 答案ln xxex 解析构造函数 f(x)ln xx，则 f(x)1 x1，可得 x1 为函数 f(x)在(0，)上唯一的极 大值点，也是最大值点，故 f(x)f(1)10，所以 ln xx.同理可得 xex，故 ln xxex. 4现有一块边长为 a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，然
4、后做成 一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_ 答案 2 27a 3 解析容积 V(a2x)2x,0 x0， 解得 a 6或 a 6. 6若函数 f(x)1 3x 34xm 在0,3上的最大值为 4，则 m_. 答案4 解析f(x)x24，x0,3，当 x0,2)时，f(x)0，所以 f(x) 在0,2)上单调递减， 在(2,3上单调递增 又 f(0)m， f(3)3m.所以在0,3上， f(x)maxf(0) 4，所以 m4. 题型一 利用导数求函数的极值问题 命题点 1根据函数图象判断极值 例 1(多选)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 g(x)xf(x)的图象如
5、图所 示，则下列结论中一定成立的是() Af(x)有两个极值点 Bf(0)为函数的极大值 Cf(x)有两个极小值 Df(1)为 f(x)的极小值 答案BC 解析由题图知，当 x(，2)时，g(x)0， f(x)0， 当 x(2,0)时，g(x)0， 当 x(0,1)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0. f(x)在(，2)，(0,1)上单调递减， 在(2,0)，(1，)上单调递增 故 AD 错误，BC 正确 命题点 2求已知函数的极值 例 2 已知函数 f(x)x212aln x(a0)，求函数 f(x)的极值 解因为 f(x)x212aln x(x0)， 所以 f(x)2x2a x 2x
6、2a x . 当 a0，且 x2a0，所以 f(x)0 对 x0 恒成立所以 f(x)在(0，)上单 调递增，f(x)无极值 当 a0 时，令 f(x)0，解得 x1 a，x2 a(舍去) 所以当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(0， a)a( a，) f(x)0 f(x)极小值 所以当 x a时，f(x)取得极小值，且 f( a)( a)212alnaa1aln a无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)在 x a处取得极小值 a1aln a，无极大值 命题点 3已知极值(点)求参数 例 3 (1)已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1 处有极值 0，则 ab_
7、. 答案11 解析f(x)3x26axb， 由题意得 f10， f10， 解得 a1， b3 或 a2， b9， 当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20， f(x)在 R 上单调递增， f(x)无极值， 所以 a1，b3 不符合题意， 当 a2，b9 时，经检验满足题意 ab11. (2)已知函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_ 答案 0，1 2 解析f(x)x(ln xax)，定义域为(0，)， f(x)1ln x2ax. 由题意知，当 x0 时，1ln x2ax0 有两个不相等的实数根， 即 2a1ln x x 有两个不相等的实数根， 令
8、(x)1ln x x (x0)，(x)ln x x2 . 当 0 x0；当 x1 时，(x)0， (x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减， 且(1)1， 当 x0 时，(x)， 当 x时，(x)0， 则 02a1，即 0a1 时，当 xa 或 x0，f(x)0； 当 1xa 时，g(x)0，则 f(x)0. x1 是函数 f(x)的极大值点，不符合题意 当 a1 或 x0， 当 ax1 时，f(x)0)， 令(x)2x2x2 x1 4 21 8(x0)， 其图象如图所示，故 a1 8. 题型二 利用导数求函数的最值 例 4 已知函数 g(x)aln xx2(a2)x(aR) (1)
9、若 a1，求 g(x)在区间1，e上的最大值； (2)求 g(x)在区间1，e上的最小值 h(a) 解(1)a1，g(x)ln xx23x， g(x)1 x2x3 2x1x1 x ， x1，e，g(x)0， g(x)在1，e上单调递增， g(x)maxg(e)e23e1. (2)g(x)的定义域为(0，)， g(x)a x2x(a2) 2x2a2xa x 2xax1 x . 当a 21，即 a2 时，g(x)在1，e上单调递增，h(a)g(1)a1； 当 1a 2e， 即 2a2e 时， g(x)在 1，a 2 上单调递减， 在 a 2，e上单调递增， h(a)g a 2 aln a 2 1
10、4a 2a； 当a 2e，即 a2e 时，g(x)在1，e上单调递减，h(a)g(e)(1e)ae 22e. 综上，h(a) a1，a2， aln a 2 1 4a 2a，2a2e， 1eae22e，a2e. 思维升华 (1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，则 f(a)与 f(b)一个为最大值，一个为最 小值 (2)若函数在区间a，b内有极值，则要先求出函数在a，b上的极值，再与 f(a)，f(b)比较， 最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成 (3)函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在 导数的实际应用中经常用到 (4)求函数在无
11、穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并 通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 跟踪训练 2 已知函数 f(x)axln x，其中 a 为常数 (1)当 a1 时，求 f(x)的最大值； (2)若 f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求 a 的值 解(1)易知 f(x)的定义域为(0，)， 当 a1 时，f(x)xln x， f(x)11 x 1x x ， 令 f(x)0，得 x1. 当 0 x0；当 x1 时，f(x)0. f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减 f(x)maxf(1)1. 当 a1 时，函数
12、f(x)在(0，)上的最大值为1. (2)f(x)a1 x，x(0，e， 1 x 1 e，. 若 a1 e，则 f(x)0，从而 f(x)在(0，e上单调递增， f(x)maxf(e)ae10，不符合题意 若 a0 得 a 1 x0，结合 x(0，e，解得 0 x 1 a； 令 f(x)0 得 a1 x0，结合 x(0，e，解得 1 axe. 从而 f(x)在 0，1 a 上单调递增，在 1 a，e上单调递减， f(x)maxf 1 a 1ln 1 a . 令1ln 1 a 3，得 ln 1 a 2， 即 ae2. e20，得 0 x1， 令 y0，得 1x2， 所以函数 yx ex在0,1)
13、上单调递增，在(1,2上单调递减，所以 y x ex在0,2上的最大值是 1 e，故 选 A. 3已知函数 f(x)2ln xax23x 在 x2 处取得极小值，则 f(x)的极大值为() A2B5 2 C3ln 2D22ln 2 答案B 解析由题意得，f(x)2 x2ax3，f(x)在 x2 处取得极小值，f(2)4a20，解 得 a1 2， f(x)2ln x1 2x 23x，f(x)2 xx3 x1x2 x ， f(x)在(0,1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减， f(x)的极大值为 f(1)1 23 5 2. 4已知函数 f(x)x3bx2cx 的图象如图所示，则 x21
14、x 2 2等于() A.2 3 B.4 3 C.8 3 D.16 3 答案C 解析由题中图象可知 f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数 f(x)的极值点，所以 1b c0,84b2c0，解得 b3，c2，所以 f(x)x33x22x，所以 f(x)3x26x2， x1，x2是方程 3x26x20 的两根，所以 x1x22，x1x22 3，x 2 1x22(x1x2)22x1x2 422 3 8 3. 5(多选)函数 yf(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是() A3 是函数 yf(x)的极值点 B1 是函数 yf(x)的最小值点 Cyf(x)在区间
15、(3,1)上单调递增 Dyf(x)在 x0 处切线的斜率小于零 答案BD 解析根据导函数的图象可知当 x(， 3)时， f(x)0， 当 x(3， )时， f(x)0， 函数 yf(x)在(，3)上单调递减，在(3，)上单调递增，则3 是函数 yf(x) 的极值点， 函数 yf(x)在(3，)上单调递增，1 不是函数 yf(x)的最小值点， 函数 yf(x)在 x0 处的导数大于 0，yf(x)在 x0 处切线的斜率大于零 故错误的命题为 BD. 6(多选)(2021烟台模拟)已知函数 f(x)x 2x1 ex ，则下列结论正确的是() A函数 f(x)存在两个不同的零点 B函数 f(x)既存
16、在极大值又存在极小值 C当ek0 时，方程 f(x)k 有且只有两个实根 D若 xt，)时，f(x)max5 e2，则 t 的最小值为 2 答案ABC 解析由 f(x)0，得 x2x10， x1 5 2 ，故 A 正确 f(x)x 2x2 ex x1x2 ex ， 当 x(，1)(2，)时，f(x)0， f(x)在(，1)，(2，)上单调递减，在(1,2)上单调递增， f(1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故 B 正确 又 f(1)e，f(2)5 e2， 且当 x时，f(x)，x时，f(x)0， f(x)的图象如图所示， 由图知 C 正确，D 不正确 7函数 f(x)2xln x 的
17、最小值为_ 答案1ln 2 解析f(x)的定义域为(0，)， f(x)21 x 2x1 x ， 当 0 x1 2时，f(x)1 2时，f(x)0. f(x)在 0，1 2 上单调递减，在 1 2，上单调递增， f(x)minf 1 2 1ln 1 21ln 2. 8若函数 f(x)x32cx2x 有两个极值点，则实数 c 的取值范围为_ 答案 ， 3 2 3 2 ， 解析若函数 f(x)x32cx2x 有两个极值点， 则 f(x)3x24cx10 有两个不相等的实根， 故(4c)2120， 解得 c 3 2 或 c 3 2 . 所以实数 c 的取值范围为 ， 3 2 3 2 ， . 9已知函数
18、 f(x)sin x1 3x，x0，cos x 01 3，x 00， f(x)的最大值为 f(x0)； f(x)的最小值为 f(x0)； f(x)在0，x0上是减函数； f(x0)为 f(x)的极大值 那么上面命题中真命题的序号是_ 答案 解析f(x)cos x1 3，由 f(x)0，得 cos x 1 3，即 xx 0，因为 x00，当 0 x0；当 x0 x时，f(x)0)， 则(x)e xx1ln x x2 ， 当 x(0,1)时，(x)0， (x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， (x)min(1)e1， ke1. 11已知函数 f(x)ln xax(aR) (1)当 a
19、1 2时，求 f(x)的极值； (2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数 解(1)当 a1 2时，f(x)ln x 1 2x，函数的定义域为(0，)且 f(x) 1 x 1 2 2x 2x ， 令 f(x)0，得 x2， 于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 x(0,2)2(2，) f(x)0 f(x)ln 21 故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值 (2)由(1)知，函数的定义域为(0，)， f(x)1 xa 1ax x . 当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立， 则函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
20、 当 a0 时，若 x 0，1 a ，则 f(x)0， 若 x 1 a，则 f(x)0 时，函数 yf(x)有一个极大值点，且为 x1 a. 12已知函数 f(x)xln x. (1)求函数 f(x)的极值点； (2)设函数 g(x)f(x)a(x1)，其中 aR，求函数 g(x)在区间(0，e上的最小值(其中 e 为自 然对数的底数) 解(1)f(x)ln x1，x0， 由 f(x)0，得 x1 e. 当 x 0，1 e 时，f(x)0， 所以 f(x)在区间 0，1 e 上单调递减，在区间 1 e，上单调递增 所以 x1 e是函数 f(x)的极小值点，极大值点不存在 (2)g(x)xln
21、xa(x1)，则 g(x)ln x1a， 由 g(x)0，得 xea 1. 所以在区间(0，ea 1)上，g(x)单调递减， 在区间(ea 1，)上，g(x)单调递增 当 ea 1e，即 a2 时，g(x)在(0，e上单调递减， g(x)ming(e)aeae， 当 ea 1e 即 a2 时，g(x)在(0，ea1)上单调递减，在(ea1，e上单调递增， g(x)ming(ea 1)aea1， 令 g(x)的最小值为 h(a)， 综上有 h(a) aea 1，a2， aeae，a2. 13已知函数 f(x)x2sin x，x0,2，则 f(x)的值域为() A. 4 3 3，2 3 3 B.
22、0，4 3 3 C. 2 3 3，2 D0,2 答案D 解析f(x)12cos x，x0,2， 令 f(x)0，得 cos x1 2， x2 3 或 x4 3 ， 又 f 2 3 2 3 3， f 4 3 4 3 3， f(0)0， f(2)2， f 4 3 f 2 3 2 3 2 30， f(0)f 4 3 f 2 3 0，因为函数存在唯一的极值， 所以导函数存在唯一的零点，且零点大于 0，故 x1 是唯一的极值点，此时a0，且 f(1) 1 2a1，所以 a 3 2. 15已知函数 f(x)xln xmex(e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数 m 的取值范围是 _ 答案 1 e，0
23、 解析f(x)xln xmex(x0)，f(x)ln x1mex(x0)，令 f(x)0，得mln x1 ex ， 设 g(x)ln x1 ex ， 则 g(x) 1 xln x1 ex (x0)，令 h(x)1 xln x1， 则 h(x) 1 x2 1 x0)， h(x)在(0，)上单调递减且 h(1)0， 当 x(0,1时，h(x)0，即 g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增；当 x(1，)时，h(x)0， 即 g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减， 故 g(x)maxg(1)1 e， 而当 x0 时，g(x)，当 x时，g(x)0， 若 f(x)有两极值点，只要 ym 和 g(
24、x)的图象在(0，)上有两个交点， 只需 0m1 e，故 1 em0. 16(2019全国)已知函数 f(x)2x3ax22. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 0a0，则当 x(，0) a 3，时，f(x)0， 当 x 0，a 3 时，f(x)0， 故 f(x)在(，0)， a 3，上单调递增，在 0，a 3 上单调递减； 若 a0，则 f(x)在(，)上单调递增； 若 a0， 当 x a 3，0时，f(x)0， 故 f(x)在 ，a 3 ，(0，)上单调递增，在 a 3，0上单调递减 (2)当 0a3 时，由(1)知，f(x)在 0，a 3 上单调递减，在 a 3，1上单调递增，所以 f(x)在0,1的 最小值为 f a 3 a 3 272，最大值为 f(0)2 或 f(1)4a. 于是 ma 3 272，M 4a，0a2， 2，2a3. 所以 Mm 2aa 3 27，0a2， a3 27，2a3. 当 0a2 时， 可知 y2aa 3 27单调递减， 所以 Mm 的取值范围是 8 27，2. 当 2a3 时，ya 3 27单调递增， 所以 Mm 的取值范围是 8 27，1. 综上，Mm 的取值范围是 8 27，2.
