1、第第 2 课时课时奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性与周期性 题型一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 3x2 x23； (2)f(x)lg1x 2 |x2|2； (3)f(x) x2x，x0； (4)f(x)log2(x x21) 解(1)由 3x20， x230， 得 x23，解得 x 3， 即函数 f(x)的定义域为 3， 3，关于原点对称 从而 f(x) 3x2 x230. 因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)， 所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 (2)由 1x20， |x2|2， 得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称 x20，|x
2、2|2x，f(x)lg1x 2 x . 又f(x)lg1x 2 x lg1x 2 x f(x)， 函数 f(x)为奇函数 (3)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称 当 x0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 当 x0 时，x0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知，对于定义域内的任意 x，总有 f(x)f(x)成立，函数 f(x)为奇函数 (4)显然函数 f(x)的定义域为 R， f(x)log2x x21 log2( x21x) log2( x21x) 1 log2( x21x)f(x)， 故 f(x)为奇函数 思维升华 判断函数的奇偶性，其中包
3、括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断 f(x)与 f(x)是否具有等量关系， 在判断奇偶性的运算中， 可以转化为判断奇偶性的等 价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或 f(x)f(x)0(偶函数)是否成立 跟踪训练 1 (1)下列函数是偶函数的是() Af(x)x3sin x Bf(x)3x 1 3x Cf(x)x2tan x Df(x)xln( x21x) 答案D 解析由函数奇偶性定义知，A 中函数为奇函数，B 中函数为奇函数，C 中函数为非奇非偶 函数，D 中函数为偶函数 (2)设函数 f(x)， g(x)的定
4、义域为 R， 且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数， 则下列结论正确的是() Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)g(x)|是奇函数 C|f(x)|g(x)是偶函数 Df(|x|)g(x)是奇函数 答案C 解析令 F1(x)f(x)g(x)， F1(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F1(x)， F1(x)为奇函数，故 A 错误； 令 F2(x)|f(x)g(x)|， F2(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)| |f(x)g(x)|F2(x)， 故 F2(x)为偶函数，故 B 错误； 令 F3(x)|f(x)|g(x)， F3(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F3(
5、x)， F3(x)为偶函数，故 C 正确； 令 F4(x)f(|x|)g(x)， F4(x)f(|x|)g(x)f(|x|)g(x)F4(x)， F4(x)为偶函数，故 D 错误 题型二 函数奇偶性的应用 命题点 1利用奇偶性求参数的值 例 2 若函数 f(x)x3 1 2x1a为偶函数，则 a 的值为_ 答案 1 2 解析方法一(定义法)f(x)为偶函数， f(x)f(x)， (x)3 1 2 x1a x3 1 2x1a， 2a 1 2 x1 1 2x1 1， a1 2. 方法二(特值法)f(x)为偶函数， f(1)f(1)， 又 f(1)a2，f(1)a1， a2a1，a1 2. 命题点
6、2利用奇偶性求解析式 例 3 (2019全国)设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则当 x0 时，f(x)等于() Ae x1 Be x1 Ce x1 De x1 答案D 解析当 x0， 当 x0 时，f(x)ex1， f(x)e x1. 又f(x)为奇函数， f(x)f(x)e x1. 命题点 3利用奇偶性求函数值 例 4 已知函数 f(x)ax3bx52.若 f(x)在区间t，t上的最大值为 M，最小值为 m，则 M m_. 答案4 解析令 g(x)ax3bx5， 则 g(x)为奇函数， 当 xt，t时，g(x)maxg(x)min0， 又 f(x)g(x)2， Mg(x
7、)max2，mg(x)min2， Mmg(x)max2g(x)min24. 思维升华 利用函数奇偶性可以解决以下问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值 (2)求解析式： 将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上， 再利用奇偶性的定义求出 (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)f(x)0 得到关于参数的恒等式，由 系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值 (4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象 (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值 跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)是
8、定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)2xxb，则 f(1) 的值为() Ab3Bb3C2D2 答案C 解析f(x)为 R 上的奇函数，f(0)0， 即 200b0，b1， f(1)f(1)(211b)2. (2)已知函数 f(x)asin xbtan x1，若 f(a)2，则 f(a)_. 答案4 解析令 g(x)asin xbtan x， 则 g(x)为奇函数，且 f(x)g(x)1， f(a)g(a)12，g(a)3， f(a)g(a)1g(a)14. 题型三 函数的周期性、对称性 命题点 1函数的周期性 例 5 (1)已知函数 f(x)对任意 xR，都有 f(x2)f(x)，
9、当 x(0，)时，f(x)2sin x 2，则 f 2 023 3等于() A.1 2 B. 3 2 C1D. 3 答案C 解析因为 f(x2)f(x)，所以 f(x)的周期为 2. 所以 f 2 023 3f 674 3 f 3372 3 f 3 ， 又因为当 x(0，)时，f(x)2sin x 2， 所以 f 3 2sin 61. (2)(2020西安模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)，当 x(0,2时，f(x)2x log2x，则 f(2 020)等于() A5B.1 2 C2D5 答案D 解析f(x)f(x2)， f(x)的周期为 4，f(2 020)f(
10、0)f(2)(22log22)5. 思维升华 函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0) (2)若 f(xa) 1 fx，则 T2a(a0) (3)若 f(xa) 1 fx，则 T2a(a0) (4)若 f(xa)f(x)c，则 T2a(a0，c 为常数) 命题点 2函数的对称性 例 6 (多选)已知函数 f(x)的定义域为 R，对任意 x 都有 f(2x)f(2x)，且 f(x)f(x)，则下 列结论正确的是() Af(x)的图象关于 x2 对称 Bf(x)的图象关于(2,0)对称 Cf(x)的最小正周期为 4 Dyf(x4
11、)为偶函数 答案ACD 解析f(2x)f(2x)，则 f(x)的图象关于 x2 对称，故 A 正确，B 错误； 函数 f(x)的图象关于 x2 对称，则 f(x)f(x4)，又 f(x)f(x)，f(x4)f(x)，T 4，故 C 正确； T4 且 f(x)为偶函数，故 yf(x4)为偶函数，故 D 正确 思维升华 对称性的三个常用结论 (1)若函数 f(x)满足 f(ax)f(bx)，则 yf(x)的图象关于直线 xab 2 对称 (2)若函数 f(x)满足 f(ax)f(bx)，则 yf(x)的图象关于点 ab 2 ，0 对称 (3)若函数 f(x)满足 f(ax)f(bx)c，则函数 f
12、(x)的图象关于点 ab 2 ，c 2 对称 跟踪训练 3 (1)设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x3)f(x)，且当 x0,3)时，f(x)2xx21， 则 f(0)f(1)f(2)f(2 021)_. 答案2 696 解析f(x3)f(x)，T3， 又 x0,3)时，f(x)2xx21， f(0)1，f(1)2，f(2)1， f(0)f(1)f(2)1214， f(0)f(1)f(2)f(2 021) 67442 696. (2)已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为奇函数，其图象关于直线 x2 对称当 x0,4时， f(x)x24x，则 f(2 022)_. 答案4
13、解析f(x)的图象关于直线 x2 对称， f(x)f(x4)， 又 f(x)为奇函数， f(x)f(x)， 故 f(x4)f(x)，T8， 又2 02225286， f(2 022)f(6)f(2)f(2)(48)4. 我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用 yf(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体 例 1 若函数 f(2x)的定义域是1,1，则 f(log2x)的定义域为_ 答案 2，4 解析对于函数 yf(2x)，1x1， 2 12x2. 则对于函数 yf
14、(log2x)，2 1log2x2， 2x4. 故 yf(log2x)的定义域为 2，4 例 2 已知函数 f(x)对任意正实数 a，b，都有 f(ab)f(a)f(b)成立 (1)求 f(1)，f(1)的值； (2)求证：f 1 x f(x)； (3)若 f(2)p，f(3)q(p，q 均为常数)，求 f(36)的值 (1)解令 a1，b1， 得 f(1)f(1)f(1)，解得 f(1)0， 令 ab1， f(1)f(1)f(1)，f(1)0. (2)证明令 a1 x，bx， 得 f(1)f 1 x f(x)0， f 1 x f(x) (3)解令 ab2，得 f(4)f(2)f(2)2p，
15、令 ab3，得 f(9)f(3)f(3)2q， 令 a4，b9，得 f(36)f(4)f(9)2p2q. 例 3 已知函数 yf(x)的定义域为 R， 并且满足 f(xy)f(x)f(y)， f 1 3 1， 且当 x0 时， f(x)0. (1)求 f(0)的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)判断函数的单调性，并解不等式 f(x)f(2x)2. 解(1)令 xy0， 则 f(0)f(0)f(0)， f(0)0. (2)f(x)是奇函数，证明如下： 令 yx，得 f(0)f(x)f(x)0， f(x)f(x)， 故函数 f(x)是 R 上的奇函数 (3)f(x)是 R 上的增函数，证
16、明如下： 任取 x1，x2R，x10， f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1) f(x2x1)f(x1)f(x1) f(x2x1)0， f(x1)f(x2)， 故 f(x)是 R 上的增函数， f 1 3 1， f 2 3 f 1 3 1 3 f 1 3 f 1 3 2， f(x)f(2x)f(x(2x)f(2x2)f 2 3 ， 又由 yf(x)是定义在 R 上的增函数，得 2x22 3， 解得 x2 3，故 x ，2 3 . 课时精练课时精练 1(2021重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的是() Ayx1By|x|1 Cycos x x Dyx2 答案B
17、 2若函数 f(x) k2x 1k2x在定义域上为奇函数，则实数 k 的值为( ) A2B0C1 或1D2 答案C 解析因为 f(x)在定义域上为奇函数， 所以 f(x)f(x)，即 k2 x 1k2 x 2xk 1k2x， 即k2 x1 2xk 2xk k2x1， 根据等式恒成立可得，k1. 3(2021南昌联考)函数 f(x)9 x1 3x 的图象() A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称 C关于坐标原点对称D关于直线 yx 对称 答案B 解析f(x)3 2x1 3x 3x3 x，f(x)3x3x， f(x)f(x)，故 f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称 4已知函数 f(x)是定义
18、在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 xf(3)Bf(2)f(6) Cf(3)f(5)Df(3)f(6) 答案BCD 解析yf(x4)为偶函数， f(x4)f(x4)， yf(x)的图象关于直线 x4 对称， f(2)f(6)，f(3)f(5) 又 yf(x)在(4，)上单调递减， f(5)f(6)，f(3)f(6) 7已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是_ 答案 1 3 解析f(x)ax2bx 为偶函数，则 b0， 又定义域a1,2a关于原点对称， 则 a12a0， a1 3，ab 1 3. 8(2021咸阳模拟)已知函数 f(x) x2ax，x0，
19、 ax2x，x0 为奇函数，则 a_. 答案1 解析由题意，得 f(x)f(x)， 则 f(1)f(1)，即 1aa1，得 a1(经检验符合题意) 9 已知函数f(x)对xR满足f(1x)f(1x)， f(x2)f(x)， 且f(0)1， 则f(26)_. 答案1 解析f(x2)f(x)， f(x)的周期为 4， f(26)f(2) 对xR 有 f(1x)f(1x)， f(x)的图象关于直线 x1 对称， f(2)f(0)1，即 f(26)1. 10已知函数 f(x)x3x，对任意的 m2,2，f(mx2)f(x)0 恒成立，则 x 的取值范围 为_ 答案 2，2 3 解析易知原函数在 R 上
20、单调递增， 且为奇函数， 故 f(mx2)f(x)0f(mx2)f(x)f( x)，此时应有 mx2xmxx20 对所有 m2,2恒成立 令 g(m)xmx2，此时只需 g20， g20 即可， 解得2x0， 0，x0， x2mx，x0 是奇函数 (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数 a 的取值范围 解(1)设 x0， 所以 f(x)(x)22(x)x22x. 又 f(x)为奇函数， 所以 f(x)f(x)， 于是 x1， a21， 所以 11 e2e 2的 x 的取值范围是( ) A(2，)B(1，) C(2，)D(3，) 答案B 解析f(x)是定
21、义域为 R 的奇函数， f(0)1a0，a1， f(x)exe x， f(x)为 R 上的增函数， 又 f(2)e 2e21 e2e 2， 原不等式可化为 f(x1)f(2)， x12，即 x1. 14已知函数 f(x)对任意实数 x 满足 f(x)f(x)2，若函数 yf(x)的图象与 yx1 有三个 交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则 y1y2y3_. 答案3 解析因为 f(x)f(x)2， 则 f(x)的图象关于点(0,1)对称， 又直线 yx1 也关于点(0,1)对称， 因为 yf(x)与 yx1 有三个交点， 则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，
22、 则 y1y2y3213. 15(多选)已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且函数 f(x2)为偶函数，则下列结论正确的是 () A函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称 Bf(4)0 Cf(x8)f(x) D若 f(5)1，则 f(2 021)1 答案BCD 解析根据题意，f(x)是定义域为 R 的奇函数， 则 f(x)f(x)， 又由函数 f(x2)为偶函数， 则函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称， 则有 f(x)f(4x)， 则有 f(x4)f(x)， 即 f(x8)f(x4)f(x)， 则函数 f(x)是周期为 8 的周期函数； 据此分析选项： 对于 A，函数 f(x)的
23、图象关于直线 x2 对称，A 错误； 对于 B，f(x)是定义域为 R 的奇函数，则 f(0)0，又由函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称， 则 f(4)0，B 正确； 对于 C，函数 f(x)是周期为 8 的周期函数，即 f(x8)f(x)，C 正确； 对于 D，若 f(5)1，则 f(2 021)f(52 016)f(5)1，D 正确 16函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上单调递增
24、，求 x 的取值范围 解(1)因为对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)， 所以令 x1x21，得 f(1)2f(1)， 所以 f(1)0. (2)f(x)为偶函数，证明如下： f(x)的定义域关于原点对称， 令 x1x21， 有 f(1)f(1)f(1)， 所以 f(1)1 2f(1)0. 令 x11，x2x，得 f(x)f(1)f(x)， 所以 f(x)f(x)， 所以 f(x)为偶函数 (3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2， 由(2)知 f(x)是偶函数， 所以 f(x1)2 等价于 f(|x1|)f(16) 又 f(x)在(0，)上单调递增， 所以 0|x1|16， 解得15x17 且 x1， 所以 x 的取值范围是(15,1)(1,17)
