1、第第 6 节节空间向量及空间位置关系空间向量及空间位置关系 考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂 直；4.理解直线的方向向量及平面的法向量；5.能用向量语言表述线线、线面、面 面的平行和垂直关系；6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些 简单定理. 知 识 梳 理 1.空间向量的有关概念 名称定义 空间向量在空间中，具有大小和方向的量 相等向量方向相同且模相等的向量 相反向量方向相反且模相等的向量 共线向
2、量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重 合的向量 共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使得 ab. (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充 要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxayb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组x，y，z，使得 pxaybzc，其中，a，b，c叫做空间的一 个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关
3、概念 两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，b 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 ab. 非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b. (2)空间向量数量积的运算律： 结合律：(a)b(ab)； 交换律：abba； 分配律：a(bc)abac. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3). 向量表示坐标表示 数量积aba1b1a2b2a3b3 共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3 垂直ab0(a0，b0)a1b1a
4、2b2a3b30 模|a|a2 1a22a23 夹角a，b(a0，b0)cosa，b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重 合，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量：直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面的法向 量. 6.空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示 直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2 l1l2n1n2n1n2 l1l2n1n2n1n20 直线 l 的方向向量为 n，平面的法 向量为
5、m lnmnm0 lnmnm 平面，的法向量分别为 n，m nmnm nmnm0 常用结论与微点提醒 1.在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA xOB yOC (其中 xy1)，O 为平面内任意一点. 2.在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP xOA yOB zOC (其中 x yz1)，O 为空间任意一点. 3.向量的数量积满足交换律、分配律，即 abba，a(bc)abac 成立，但 不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立. 4.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向 量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面
6、外. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.() (2)若直线 a 的方向向量和平面的法向量平行，则 a.() (3)若a，b，c是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量.() (4)若 ab0，则a，b是钝角.() 解析(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个； (2)a；(3)若 a，b，c 中有一个是 0，则 a，b，c 共面，不能构成空间一个基底； (4)若a，b，则 ab0，P 2 1， 3 1， 2 1 . 设平面 PAC 的法向量为 m(x，y，z). 由AP 2 1， 3 1， 2 1 ，AC (0，2 3
7、，0)， 得 mAP 2 1x 3 1y 2 1z0， mAC 2 3y0， 即 y0， z2 2 x，令 x1，则 z 2 2 ， 所以 m 1，0，2 2为平面 PAC 的一个法向量. 同理，可求得 n 1， 3 3 ，1 为平面 BCEF 的一个法向量. 当 mn0，即2 3时，平面 PAC平面 BCEF， 故存在满足题意的点 P，此时|BP| |PE| 2 3. 规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线 面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假 设，若得出矛盾的结论则否定假设.
8、(2)探索性问题的关键是设点：空间中的点可设为(x，y，z)；坐标平面内的点 其中一个坐标为 0，如 xOy 面上的点为(x，y，0)；坐标轴上的点两个坐标为 0， 如 z 轴上的点为(0，0，z)；直线(线段)AB 上的点 P，可设为AP AB，表示出 点 P 的坐标，或直接利用向量运算. 【训练 4】如图所示， 该几何体是由过直三棱柱 ABCA1B1C1 侧棱 AA1中点 N 的截面 B1C1N 截得的， 其中 ABBC4， BB1 8， ABBC.M 为 AB 的中点， 在线段 CB 上是否存在一点 P， 使得 MP平面 CNB1？若存在，求出 BP 的长；若不存在， 请说明理由. 解如
9、图，分别以 AB，BB1，BC 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Bxyz，则 A(4，0，0)，B(0，0， 0)，C(0，0，4)，N(4，4，0)，B1(0，8，0)，C1(0，8，4). 设平面 CNB1的法向量为 n(x，y，z). NC (4，4，4)，NB1 (4，4，0)， NC n4x4y4z0， NB1 n4x4y0. 令 x1，可得平面 CNB1的一个法向量为 n(1，1，2). 设 P(0，0，a)(0a4). 由 M(2，0，0)，得PM (2，0，a). MP平面 CNB1，PM n22a0，解得 a1， 在线段 CB 上存在一点 P，使得 M
10、P平面 CNB1，此时 BP1. A 级基础巩固 一、选择题 1.设 u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面，的法向量.若，则 t 等于 () A.3B.4C.5D.6 解析由题意得 uv262(4)4t0， 解得 t5. 答案C 2.已知平面内有一点 M(1，1，2)，平面的一个法向量为 n(6，3，6)，则 下列点 P 中，在平面内的是() A.P(2，3，3)B.P(2，0，1) C.P(4，4，0)D.P(3，3，4) 解析逐一验证法，对于选项 A，MP (1，4，1)， MP n61260，MP n， 点 P 在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内. 答案A 3.如图，F 是
11、正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CD 的中点.E 是 BB1 上一点，若 D1FDE，则有() A.B1EEBB.B1E2EB C.B1E1 2EB D.E 与 B 重合 解析分别以 DA，DC，DD1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系，设正方体的棱长为 2，则 D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0， 0，2)，设 E(2，2，z)，则D1F (0，1，2)，DE (2，2，z)， 因为D1F DE 02122z0，所以 z1，所以 B1EEB. 答案A 4.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC， AD 的中点，则AE AF的值为
12、( ) A.a2B.1 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 解析如图，设AB a，ACb，AD c， 则|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60. AE 1 2(ab)，AF 1 2c， AE AF1 2(ab) 1 2c 1 4(acbc) 1 4(a 2cos 60a2cos 60)1 4a 2. 答案C 5.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B和 AC 上的点， A1MAN 2a 3 ， 则 MN 与平面BB1C1C 的位置关系是() A.斜交B.平行 C.垂直D.MN 在平面 BB1C1C 内 解析建立如图所示的
13、空间直角坐标系， 由于 A1MAN 2a 3 ， 则 M a，2a 3 ，a 3 ，N 2a 3 ，2a 3 ，a ， MN a 3，0， 2a 3 . 又 C1D1平面 BB1C1C， 所以C1D1 (0，a，0)为平面 BB1C1C 的一个法向量. 因为MN C1D1 0， 所以MN C1D1 ，又 MN平面 BB1C1C， 所以 MN平面 BB1C1C. 答案B 二、填空题 6.已知平面内的三点 A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一个法向量 n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_. 解析设平面的法向量为 m(x，y，z)， 由 mAB 0，得 x0
14、yz0yz， 由 mAC 0，得 xz0 xz，取 x1， m(1，1，1)，mn，mn，. 答案 7.(2020日照调研)已知AB (1，5，2)，BC(3，1，z)，若ABBC，BP(x1， y，3)，且 BP平面 ABC，则实数 xy_. 解析由条件得 352z0， x15y60， 3（x1）y3z0， 解得 x40 7 ，y15 7 ，z4， xy40 7 15 7 25 7 . 答案 25 7 8.下列命题：直线 l 的方向向量为 a(1，1，2)，直线 m 的方向向量 b 2，1，1 2 ，则 l 与 m 垂直；直线 l 的方向向量 a(0，1，1)，平面的法向 量 n(1，1，1
15、)，则 l；平面，的法向量分别为 n1(0，1，3)，n2 (1，0，2)，则；平面经过三点 A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2， 0)， 向量 n(1， u， t)是平面的法向量， 则 ut1.其中为真命题的是_(把 你认为正确命题的序号都填上). 解析对于， a(1， 1， 2)， b 2，1，1 2 ， ab12112 1 2 0，ab，直线 l 与 m 垂直，正确； 对于，a(0，1，1)，n(1，1，1)，an011(1)(1) (1)0，an，l或 l，错误； 对于，n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，n1与 n2不共线，不成立， 错误； 对于，点 A(1，0，1)
16、，B(0，1，0)，C(1，2，0)，AB (1，1，1)， BC (1，1，0).向量 n(1，u，t)是平面的法向量， nAB 0， nBC 0，即 1ut0， 1u0， 则 ut1，正确. 综上，真命题的序号是. 答案 三、解答题 9.正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 C1C，B1C1的中点.求证：MN平面 A1BD. 证明如图所示，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长 为 1，则 D(0， 0， 0)， A1(1， 0， 1)， B(1， 1， 0)， M 0，1，1 2 ， N 1 2，1，
17、1， 于是MN 1 2，0， 1 2 ，DA1 (1，0，1)，DB (1，1，0). 设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nDA1 0，且 nDB 0，得 xz0， xy0. 取 x1，得 y1，z1. 所以 n(1，1，1). 又MN n 1 2，0， 1 2 (1，1，1)0， 所以MN n. 又 MN平面 A1BD，所以 MN平面 A1BD. 10.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点，过点 E 作 EFPB 于点 F.求证： (1)PA平面 EDB； (2)PB平面 EFD. 证明以
18、 D 为坐标原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 设 DCa. (1)连接 AC 交 BD 于点 G，连接 EG. 依题意得 A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)， E 0，a 2， a 2 . 因为底面 ABCD 是正方形，所以 G 为 AC 的中点， 故点 G 的坐标为 a 2， a 2，0， 所以PA (a，0，a)，EG a 2，0， a 2 ， 则PA 2EG ，故 PAEG. 而 EG平面 EDB，PA平面 EDB， 所以 PA平面 EDB. (2)依题意得 B(a，a，0)，所以PB (a，a
19、，a). 又DE 0，a 2， a 2 ， 故PB DE 0a 2 2 a 2 2 0，所以PB DE ， 所以 PBDE. 由题可知 EFPB，且 EFDEE， 所以 PB平面 EFD. B 级能力提升 11.(多选题)下列说法正确的有() A.若 pxayb，则 p 与 a，b 共面 B.若 p 与 a，b 共面，则 pxayb C.若MP xMA yMB ，则 P，M，A，B 共面 D.若 P，M，A，B 共面，则MP xMA yMB 解析A 正确；B 中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立；C 正 确；D 中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直线上，则MP
20、xMA y MB 不正确. 答案AC 12.如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB 2，AF1，M 在 EF 上，且 AM平面 BDE.则 M 点的坐标为 () A.(1，1，1)B. 2 3 ， 2 3 ，1 C. 2 2 ， 2 2 ，1 D. 2 4 ， 2 4 ，1 解析设 AC 与 BD 相交于 O 点，连接 OE，由 AM平面 BDE， 且 AM平面 ACEF，平面 ACEF平面 BDEOE，AMEO， 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点， M 为线段 EF 的中点. 在空间坐标系中，E(0，0，1)，F( 2， 2，1). 由中点坐标公式，知点 M
21、的坐标 2 2 ， 2 2 ，1 . 答案C 13.如图，圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O 为 底面中心，M 为 SO 中点，动点 P 在圆锥底面内(包括圆周). 若 AMMP，则点 P 形成的轨迹长度为_. 解析由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示. 则 A(0，1，0)，B(0，1，0)， S(0，0， 3)，M 0，0， 3 2 ， 设 P(x，y，0)， AM 0，1， 3 2 ， MP x，y， 3 2 ， 由AM MP 0，得 y3 4， 点 P 的轨迹方程为 y3 4. 根据圆的弦长公式，可得点 P 形成的轨迹长度为 21 3 4 2 7 2 . 答案 7
22、 2 14.(2020广州模拟)如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长 都等于 2，ABC 和A1AC 均为 60，平面 AA1C1C平面 ABCD. (1)求证：BDAA1； (2)在直线 CC1上是否存在点 P，使 BP平面 DA1C1？若存在，求出点 P 的位置； 若不存在，请说明理由. (1)证明设 BD 与 AC 交于点 O，则 BDAC，连接 A1O，在AA1O 中，AA12， AO1，A1AO60， A1O2AA21AO22AA1AOcos 603， AO2A1O2AA21，A1OAO. 由于平面 AA1C1C平面 ABCD，且平面 AA1C1C平面 ABCDAC，A1O
23、平面 AA1C1C，A1O平面 ABCD. 以 OB，OC，OA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，则 A(0，1，0)，B( 3，0，0)， C(0，1，0)，D( 3，0，0)，A1(0，0， 3)， C1(0，2， 3). 由于BD (2 3，0，0)，AA1 (0，1， 3)， AA1 BD 0(2 3)10 300， BD AA1 ，即 BDAA1. (2)解假设在直线 CC1上存在点 P，使 BP平面 DA1C1， 设CP CC1 ，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0，1， 3). 从而有 P(0，1， 3)，BP ( 3，1， 3).
24、设平面 DA1C1的法向量为 n3(x3，y3，z3)， 则 n3A1C1 ， n3DA1 ， 又A1C1 (0，2，0)，DA1 ( 3，0， 3)， 则 2y30， 3x3 3z30， 取 n3(1，0，1)，因为 BP平面 DA1C1， 则 n3BP ，即 n3BP 3 30，得1， 即点 P 在 C1C 的延长线上，且 C1CCP. C 级创新猜想 15.(多选题)(2020聊城月考)已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果 AB (2，1，4)，AD (4，2，0)，AP (1，2，1)，则下列结论正确的是 () A.APABB.APAD C.AP 是平面 ABCD
25、的法向量 D.AP BD 解析AB AP0，AD AP 0，ABAP，ADAP，则选项 A 和 B 都正确； 又AB 与AD 不平行， AP 是平面 ABCD 的法向量， 故 C 正确； BD AD AB (2， 3，4)，AP (1，2，1)， BD 与AP 不平行，故 D 错误. 答案ABC 16.(多填题)已知空间向量PA ，PB，PC 的模长分别为 1，2，3，且两两夹角均为 60.点 G 为ABC 的重心，若PG xPA yPBzPC，x，y，zR，则 xyz _；|PG |_. 解析根据题意得，点 G 为ABC 的重心，设 BC 中点为 D，则AG 2 3AD 1 3(AB AC )，所以PG PA 1 3(PB PAPCPA)，所以PG 1 3PA 1 3PB 1 3PC ，所以 xyz 1 3 ，所以xyz1.|PG |2 1 3 2 1222322121 2213 1 2223 1 2 25 9 ，所以|PG |5 3. 答案1 5 3
