1、第第 6 节节双曲线双曲线 考试要求了解双曲线的定义、 几何图形和标准方程， 知道其简单的几何性质(范 围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 知 识 梳 理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2| 且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫 焦距.其数学表达式：集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为 常数且 a0，c0： (1)若 ac，则集合 P 为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21
2、(a0，b0) 图形 性 质 范围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线yb ax ya bx 离心率ec a，e(1，) 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半 轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系c2a2b2 常用结论与微点提醒 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a . 2.离心率 ec a a2b2 a 1b 2 a2. 3.等轴双曲线
3、的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 4.若渐近线方程为 yb ax，则双曲线方程可设为 x2 a2 y2 b2(0). 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为 b. 6.若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minc a，|PF2|minca. 7.焦点三角形的面积： P 为双曲线上的点， F1， F2为双曲线的两个焦点， 且F1PF2 ，则F1PF2的面积为 b2 tan 2 . 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线.() (2)平面内到点
4、F1(0，4)，F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.() (3)方程x 2 m y2 n 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.() (4)双曲线 x2 m2 y2 n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x m y n0.( ) (5)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与 x2 b2 y2 a21(a0，b0)的离心率分别是 e 1，e2， 则 1 e21 1 e221.( ) 解析(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部. (3)当 m0，n0 时表示焦点在 x 轴上的双曲
5、线，而 m0，n0 时则表示焦点 在 y 轴上的双曲线. 答案(1)(2)(3)(4)(5) 2.(老教材选修 21P62A6 改编)经过点 A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等 轴双曲线方程为_. 解析设双曲线方程为：x2y2(0)，把点 A(3，1)代入，得8，故所求 双曲线方程为x 2 8 y 2 8 1. 答案 x2 8 y 2 8 1 3.(老教材选修 21P61A1 改编)已知双曲线 x2y 2 161 上一点 P 到它的一个焦点 的距离等于 4，那么点 P 到另一个焦点的距离等于_. 解析设双曲线的焦点为 F1，F2，|PF1|4，则|PF1|PF2|2，故|PF2|6 或 2
6、， 又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为 ca 171，故|PF2|6. 答案6 4.(2019北京卷)已知双曲线x 2 a2y 21(a0)的离心率是 5，则 a( ) A. 6B.4C.2D.1 2 解析由双曲线方程x 2 a2y 21，得 b21，c2a21. 5e2c 2 a2 a21 a2 1 1 a2. 结合 a0，解得 a1 2. 答案D 5.(2019全国卷)已知 F 是双曲线 C：x 2 4 y 2 5 1 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点.若|OP|OF|，则OPF 的面积为() A.3 2 B.5 2 C.7 2 D.9 2 解析由 F 是双曲线x 2
7、4 y 2 5 1 的一个焦点，知|OF|3，所以|OP|OF|3. 不妨设点 P 在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00， 则 x20y203， x20 4 y 2 0 5 1， 解得 x2056 9 ， y2025 9 ，所以 P 2 14 3 ，5 3 ， 所以 SOPF1 2|OF|y 01 23 5 3 5 2. 答案B 6.(2019江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2y 2 b21(b0)经过点(3， 4)，则该双曲线的渐近线方程是_. 解析因为双曲线 x2y 2 b21(b0)经过点(3， 4)， 所以 9 16 b21(b0)， 解得 b 2， 即双曲线
8、方程为 x2y 2 2 1，其渐近线方程为 y 2x. 答案y 2x 考点一双曲线的定义及应用 【例 1】 (1)(2020滨州质检) x2（y3）2 x2（y3）24 表示的曲线方 程为() A.x 2 4 y 2 5 1(x2)B.x 2 4 y 2 5 1(x2) C.y 2 4 x 2 5 1(y2)D.y 2 4 x 2 5 1(y2) (2)(2019长春质检)双曲线 C 的渐近线方程为 y2 3 3 x， 一个焦点为 F(0， 7)， 点 A( 2，0)，点 P 为双曲线第一象限内的点，则当点 P 的位置变化时，PAF 周长的最小值为() A.8B.10C.43 7D.33 17
9、 解析(1)x2（y3）2的几何意义为点 M(x，y)到点 F1(0，3)的距离， x2（y3）2的几何意义为点 M(x， y)到点 F2(0， 3)的距离， 则 x2（y3）2 x2（y3）24 表示点 M(x，y)到点 F1(0，3)的距离与到点 F2(0，3)的距 离的差为 4，且 40，b0)的左、右焦 点分别为 F1，F2，实轴长为 6，渐近线方程为 y1 3x，动点 M 在双曲线左支上， 点 N 为圆 E：x2(y 6)21 上一点，则|MN|MF2|的最小值为() A.8B.9C.10D.11 (2)(2019济南调研)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29
10、，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_. 解析(1)由题意知 2a6，则 a3，又由b a 1 3得 b1，所以 c a 2b2 10， 则 F1( 10，0).根据双曲线的定义知|MF2|2a|MF1|MF1|6，所以|MN| |MF2| |MN| |MF1| 6 |EN| |MN| |MF1| 5|F1E| 5 （ 10）2（ 6）259，当且仅当 F1，M，N，E 共线时取等号，故选 B. (2)如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA
11、|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点 C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大， 与 C1的距离小)， 其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1). 答案(1)B(2)x2y 2 8 1(x1) 考点二双曲线的标准方程 【例 2】 (1)(一题多解)(2020东北三省四校联考)经过点(2，1)，且渐近线与圆 x2 (y2)21 相切的双曲线的标准方程为() A. x2 11 3 y 2 1
12、11 B.x 2 2 y21 C. y2 11 3 x 2 111 D.y 2 11 x2 11 3 1 (2)(2019青岛二模)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2， 点 P(2， 3)在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程 为() A.x2y21B.x 2 2 y 2 3 1 C.x2y 2 3 1D.x 2 16 y2 4 1 解析(1)法一设双曲线的渐近线方程为 ykx，即 kxy0，由渐近线与圆 x2 (y2)21 相切可得圆心(0， 2)到渐近线的距离等于半径 1， 由点到直线的距离 公式可得|
13、k02| k21 1，解得 k 3.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦 点在 x 轴上，可设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，将(2，1)代入可得 4 a2 1 b2 1，由 4 a2 1 b21， b a 3， 得 a211 3 ， b211， 故所求双曲线的标准方程为 x2 11 3 y 2 111. 法二设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)，将(2，1)代入方程可得，4mn 1. 双曲线的渐近线方程为 y m n x， 圆 x2(y2)21 的圆心为(0，2)，半径为 1， 由渐近线与圆 x2(y2)21 相切，可得 2 1m n 1，即m n 3，
14、由可得 m 3 11，n 1 11，所以该双曲线的标准方程为 x2 11 3 y 2 111，故选 A. (2)|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， |PF1|PF2|4c. 点 P 位于第一象限，|PF1|PF2|2a， |PF1|2ca，|PF2|2ca， cos PF2F14c 2（2ca）2（2ca）2 4c（2ca） c2a 2ca，又点 P(2， 3)在双曲线 上， sin PF2F1 3 2ca， c2a 2ca 2 3 （2ca）21，化简得(c2a) 23(2c a)2，即 c2a2b21，又 4 a2 3 b21，a 21，双曲线的方程为 x2y21，故 选 A
15、. 答案(1)A(2)A 规律方法1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在 x 轴还是 y 轴上， 设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的 位置不好确定，可将双曲线的方程设为 x2 m2 y2 n2(0)或 mx 2ny21(mn0)， 再根据条件求解. 2.与双曲线x 2 a2 y2 b21 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 x2 a2 y2 b2(0). 【训练 2】 (1)(2019昆明调研)“0n2”是“方程 x2 n1 y2 n31 表示双曲线”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2
16、)(多填题)已知双曲线 E 与双曲线x 2 4 y 2 9 1 共渐近线且经过点 P(2，3 5)，则双 曲线 E 的标准方程为_，顶点坐标为_. 解析(1)若方程 x2 n1 y2 n31 表示双曲线，则(n1)(n3)0，解得1n3， 则 0n2 的范围小于1n3，所以“0n0，b0)的左、 右焦点，P 是双曲线 C 右支上一点，若|PF1|PF2|4a，且F1PF260，则双 曲线 C 的渐近线方程是() A. 3xy0B.2x 7y0 C. 3x2y0D.2x 3y0 解析F1，F2是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线右支上，由双曲线定 义可得|PF1|PF2|2a，又知|PF1|P
17、F2|4a，|PF1|3a，|PF2|a.在PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 的 推 论 可 得 cos 60 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| ， 即 1 2 （3a）2a24c2 23aa ， 3a210a24c2，即 4c27a2，又知 b2a2c2，b 2 a2 3 4，双曲线 C 的渐近 线方程为 y 3 2 x，即3x2y0，故选 C. 答案C 规律方法双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的渐近线是令 x2 a2 y2 b20， 即得两渐近线方 程x a y b0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答. 角度 2求双曲线的离
18、心率 【例 32】 (2019全国卷)设 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P，Q 两点.若|PQ|OF|， 则 C 的离心率为() A. 2B. 3C.2 D. 5 解析设双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的右焦点 F 的坐标 为(c， 0).则 c a2b2， 如图所示， 由圆的对称性及条件|PQ| |OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQOF. 设垂足为 M， 连接 OP， 则|OP|a， |OM|MP|c 2.在 RtOPM 中， |OM| 2|MP|2
19、 |OP|2得 c 2 2 c 2 2 a2，故c a 2，即 e 2. 答案A 规律方法求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求 a，b，c 的值，由c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转 化成关于 e 的方程(或不等式)求解. 角度 3双曲线几何性质的综合应用 【例 33】 (1)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x 2 2 y21 上的一点，F1，F2是 C 的 两个焦点，若MF1 MF2 0，b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的左支交于点 A，与右支交于点 B，
20、若|AF1|2a，F1AF2 2 3 ，则S AF1F2 SABF2 () A.1B.1 2 C.1 3 D.2 3 解析(1)因为 F1( 3，0)，F2( 3，0)，x 2 0 2 y201，所以MF1 MF2 ( 3x0， y0)( 3x0，y0)x20y2030，即 3y2 010，解得 3 3 y00，b0)的左、 右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若|PF1| 2 |PF2| 的最小值为 8a，则该双曲线离心率 e 的取值范围是() A.(0，2)B.(1，3 C.2，3)D.3，) (3)(角度 3)(2019长沙统一考试改编)已知 F1， F2分别是双曲线 C： y2x21 的
21、上、 下焦点， P 是其一条渐近线上的一点， 且以 F1F2为直径的圆经过点 P， 则PF1F2 的面积为_. 解析(1)因为 2b2，所以 b1，因为 2c2 3，所以 c 3，所以 a c2b2 2，所以双曲线的渐近线方程为 yb ax 2 2 x. (2)由双曲线定义可知|PF1|PF2|2a， |PF1|2a|PF2|， |PF1|2 |PF2| （2a|PF2|）2 |PF2| 4a2|PF2|24a|PF2| |PF2| 4a2 |PF2| |PF2| 4a2|PF2| 4a2 |PF2|4a8a，当且仅当|PF 2| 4a2 |PF2|，即|PF 2|2a 时，等号成立. |PF
22、1| 2 |PF2| 的最小值为 8a，|PF2|2a，|PF1|4a. 点 P 在双曲线右支上，|PF1|PF2|F1F2|，当且仅当 P，F1，F2三点共线 且点 P 为右顶点时等号成立，即 6a2c，e3，又e1，e(1，3，故选 B. (3)设 P(x0，y0)，不妨设点 P 在双曲线 C 的过一、三象限的渐近线 xy0 上， 因此可得 x0y00.F1(0， 2)，F2(0， 2)，所以|F1F2|2 2，以 F1F2为直径 的圆的方程为 x2y22，又以 F1F2为直径的圆经过点 P，所以 x20y202.由 x0y00， x20y202 得|x0|1，于是 SPF 1F2 1 2
23、|F 1F2|x0|1 22 21 2. 答案(1)B(2)B(3) 2 A 级基础巩固 一、选择题 1.(2018浙江卷)双曲线x 2 3 y21 的焦点坐标是() A.( 2，0)，( 2，0)B.(2，0)，(2，0) C.(0， 2)，(0， 2)D.(0，2)，(0，2) 解析由题可知双曲线的焦点在 x 轴上，又 c2a2b2314，所以 c2， 故焦点坐标为(2，0)，(2，0). 答案B 2.(2018全国卷)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为 () A.y 2xB.y 3x C.y 2 2 xD.y 3 2 x 解析由题意知，ec a
24、 3，所以 c 3a，所以 b c 2a2 2a，即b a 2， 所以该双曲线的渐近线方程为 yb ax 2x. 答案A 3.(2019全国卷)双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的一条渐近线的倾斜角为 130， 则 C 的离心率为() A.2sin 40B.2cos 40 C. 1 sin 50 D. 1 cos 50 解析由题意可得b atan 130， 所以 e1b 2 a2 1tan 2130 1sin 2130 cos2130 1 |cos 130| 1 cos 50.故选 D. 答案D 4.(一题多解)(2018全国卷)已知双曲线 C： x2 a2 y2 b21(
25、a0，b0)的离心率为 2， 则点(4，0)到 C 的渐近线的距离为() A. 2B.2C.3 2 2 D.2 2 解析法一由离心率 ec a 2，得 c 2a，又 b 2c2a2，得 ba，所以双 曲线 C 的渐近线方程为 yx.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到 C 的渐近线 的距离为 4 112 2. 法二离心率 e 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 yx，点(4，0) 到 C 的渐近线的距离为 4 112 2. 答案D 5.已知方程 x2 m2n y2 3m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是() A.(1，3)B.(1， 3) C.(0，
26、3)D.(0， 3) 解析方程 x2 m2n y2 3m2n1 表示双曲线， (m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知 c2(m2n)(3m2 n)4m2(其中 c 是半焦距)， 焦距 2c22|m|4，解得|m|1， 1n0，b0)一个焦点且与其一条渐近线平 行，则双曲线方程为_. 解析由题意得一个焦点为 F(5，0)，c5，b a2， 又 a2b2c2，所以 a25，b220， 所以双曲线方程为x 2 5 y 2 201. 答案 x2 5 y 2 201 10.(多填题)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线为 2xy0，一个焦点 为( 5，0)
27、，则 a_；b_. 解析由 2xy0，得 y2x，所以b a2. 又 c 5，a2b2c2，解得 a1，b2. 答案12 11.设椭圆 C1的离心率为 5 13，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 C 2上的点到 椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为 _. 解析由题意知椭圆 C1的焦点坐标为 F1(5，0)，F2(5，0)，设曲线 C2上的一 点 P，则|PF1|PF2|8. 由双曲线的定义知，a4，b3. 故曲线 C2的标准方程为x 2 42 y2 321. 即x 2 16 y2 9 1. 答案 x2 16 y2 9 1 12.设双曲线x 2 9 y
28、 2 161 的右顶点为 A， 右焦点为 F.过点 F 且平行于双曲线的一条 渐近线的直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_. 解析a29，b216，故 c5. A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线 BF 的方程为 y4 3(x5)， 代入双曲线方程解得 B 17 5 ，32 15 . SAFB1 2|AF|y B|1 22 32 15 32 15. 答案 32 15 B 级能力提升 13.(2020长沙雅礼中学模拟)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点为 F 1， F2，在双曲线上存在点 P 满足 2|PF1 PF2 |F1F2 |，则此双曲线的离心率 e
29、的取 值范围是() A.(1，2B.2，) C.(1， 2D. 2，) 解析当 P 不是双曲线与 x 轴的交点时， 连接 OP， 因为 OP 为PF1F2的边 F1F2 上的中线，所以PO 1 2(PF 1 PF2 )；当 P 是双曲线与 x 轴的交点时，同样满足上 述等式.因为双曲线上存在点 P 满足 2|PF1 PF2 |F1F2 |，所以 4|PO |2c，由 |PO |a，可知 4a2c，则 e2，选 B. 答案B 14.(2020德州模拟改编)已知双曲线 C：x 2 16 y2 b21(b0)，F 1，F2分别为 C 的左、 右焦点，过 F2的直线 l 分别交 C 的左、右支于点 A
30、，B，且|AF1|BF1|，则|AB| 的值为_. 解析由双曲线定义知|AF2|AF1|2a，|BF1|BF2|2a，由于|AF1|BF1|，所 以两式相加可得|AF2|BF2|4a，而|AB|AF2|BF2|，|AB|4a，由双曲线方 程知 a4，|AB|16. 答案16 15.(2020南昌联考)点 P 是椭圆x 2 a21 y2 b211(a 1b10)和双曲线x 2 a22 y2 b221(a 20， b20) 的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，F1PF2 3，则 b1 b2的值是 _. 解析不妨设 P 是第一象限内的交点， |PF1|m，|PF2|n， 由椭圆的定义可知
31、 mn2a1， 由双曲线定义可知 mn2a2， 由得 ma1a2，na1a2. 在F1PF2中，由余弦定理的推论可得， cos F1PF2m 2n2（2c）2 2mn 1 2， 即 m2n2mn4c2， (a1a2)2(a1a2)2(a1a2)(a1a2)4c2， 即 a213a224c2，又知 a21b21c2，a2 2b22c2， b21c23(c2b22)4c2，b213b22， 又知 b10，b20，b1 b2 3. 答案3 16.(2019全国卷)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1， F2， 过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于
32、A， B 两点.若F1A AB ， F1B F2B 0， 则 C 的离心率为_. 解析因为F1B F2B 0，所以 F1BF2B，如图. 所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO， 所以BOF22BF1O.因为F1A AB ，所以点 A 为 F1B 的中 点，又点 O 为 F1F2的中点，所以 OABF2，所以 F1BOA，因为直线 OA，OB 为双曲线 C 的两条渐近线，所以 tanBF1O 1 tanAOF1 a b，tanBOF 2b a.因 为 tanBOF2tan(2BF1O)，所以b a 2a b 1 a b 2，所以 b 23a2，所以 c2a23a2， 即 2ac，所以双曲线
33、的离心率 ec a2. 答案2 C 级创新猜想 17.(多选题)若点 P 是以 F1， F2为焦点的双曲线x 2 25 y2 9 1 上的一点， 且|PF1|12， 则|PF2|() A.2B.22C.4D.20 解析由双曲线x 2 25 y2 9 1 得 a5， b3， c 34， 由双曲线的定义得|PF2|PF1| 10，即|PF2|PF1|10121022 或 2. 答案AB 18.(多填题)(2020昆明诊断改编)已知 F 是双曲线 C：x2y 2 8 1 的右焦点， P 是 C 的左支上一点，A(0，6 6)，则APF 周长的最小值为_，此时该三角形 的面积为_. 解析设双曲线的左焦
34、点为F1， 连接PF1.由双曲线方程x2y 2 8 1 可知，a1，c3，故 F(3，0)，F1(3，0).当点 P 在双曲线 左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1| 2，从而APF 的周长为|AP|PF|AF|AP|PF1|2 |AF|.因为|AF| 32（6 6）215 为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF 的周长最小.由图象可知， 此时点 P 在线段 AF1与双曲线的交点处(如图所示).|AF1| |AF|15，故APF 周长的最小值为 32.此时，由题意可知直线 AF1的方程为 y 2 6x6 6，由 y2 6x6 6， x2y 2 8 1 得 y26 6y960，解得 y26或 y 8 6(舍去)，所以 SAPFSAF1FSPF1F1 266 6 1 262 612 6. 答案3212 6
