1、第第 6 节节离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列 对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应 用. 知 识 梳 理 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变 量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取 每一个值 xi(i1，2，n)的概率 P(Xxi)pi，则表 Xx1x2xixn Pp1p2pipn 称为离散型随机变量 X 的概
2、率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质： pi0(i1，2，n)；p1p2pn1. 3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为 X01 P1pp ，其中 pP(X1)称为成功概率. (2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品， 则 P(Xk)C k MCn k NM CnN ， k0， 1，2， ，m，其中 mminM，n， 且 nN，MN， n，M，NN*，称随机变量 X 服从超几何分布. X01m P C0MCn 0 NM CnN C1MCn 1 NM CnN CmMCn m NM CnN
3、常用结论与微点提醒 随机变量的线性关系 若 X 是随机变量，YaXb，a，b 是常数，则 Y 也是随机变量. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于 1.() (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际 意义.() (3)如果随机变量 X 的分布列由下表给出， X25 P0.30.7 则它服从两点分布.() (4)一个盒中装有 4 个黑球、3 个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是 黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为 X，则 X 服从超 几何分布.() 解
4、析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和 等于 1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示， 其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X 的取值不是 0 和 1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所 以试验中取到黑球的次数 X 不服从超几何分布，(4)不正确. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材选修 23P49 练习 2 改编)抛掷一枚质地均匀的硬币 2 次， 则正面向上次 数 X 的所有可能取值是_. 答案0，1，2 3.(多选题)(老教材选修 23P77A1 改
5、编)已知随机变量的分布如下： 123 P 1 4 13 2a 2a2 则实数 a 的值为() A.1 2 B.1 2 C.1 4 D.1 4 解析由随机变量的分布知 013 2a1， 02a21， 1 41 3 2a2a 21， 解得 a1 2或 a 1 4. 答案BC 4.(2020广州调研)若随机变量 X 的分布列为 X210123 P0.10.20.20.30.10.1 则当 P(Xa)0.8 时，实数 a 的取值范围是() A.(，2B.1，2 C.(1，2D.(1，2) 解析由随机变量 X 的分布列知：P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5， P(X2)0.8，则当 P
6、(Xa)0.8 时，实数 a 的取值范围是(1，2. 答案C 5.(2020菏泽联考)一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4) 的值为() A. 1 220 B.27 55 C. 27 220 D.21 55 解析X4表示从盒中取了 2 个旧球，1 个新球，故 P(X4)C 2 3C19 C312 27 220. 答案C 6.(2019福州二模)设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X0)_. 解析由已知得 X 的所有可能取值为 0
7、，1， 且 P(X1)2P(X0)，由 P(X1)P(X0)1， 得 P(X0)1 3. 答案 1 3 考点一离散型随机变量分布列的性质 【例 1】 (1)离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn) a n（n1）(n1，2， 3，4)，其中 a 是常数，则 P 1 2X 5 2 的值为() A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.5 6 (2)(2019南宁二模改编)设随机变量 X 的概率分布列为 X1234 P 1 3 m 1 4 1 6 则 P(|X3|1)_. 解析(1)因为 P(Xn) a n（n1）(n1，2，3，4)，所以 a 2 a 6 a 12 a 201，所 以 a5
8、 4，所以 P 1 2X 5 2 P(X1)P(X2)5 4 1 2 5 4 1 6 5 6. (2)由1 3m 1 4 1 61，解得 m 1 4，P(|X3|1)P(X2)P(X4) 1 4 1 6 5 12. 答案(1)D(2) 5 12 规律方法分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的， 利用这一点可以求随机变 量在某个范围内的概率. 【训练 1】 (1)已知随机变量 X 的分布列为 P(Xk) 1 2k，k1，2，则 P(2 X4)() A. 3 16 B.1 4 C. 1
9、 16 D. 5 16 (2)已知随机变量 X 的分布列为 X012345 P 1 10 3 10 x 3 10 yz 则 P(X2)() A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6 解析(1)P(2X4)P(X3)P(X4) 1 23 1 24 3 16. (2)P(X2)x 3 10yz1 1 10 3 10 0.6. 答案(1)A(2)D 考点二离散型随机变量的分布列 【例 2】 (2019冀州期末)有编号为 1，2，3，n 的 n 个学生，入座编号为 1， 2，3，n 的 n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该 生的编号不同的学生人数为 X，已知 X2 时，共有 6
10、种坐法. (1)求 n 的值； (2)求随机变量 X 的概率分布列. 解(1)因为当 X2 时，有 C 2 n种方法， 因为 C2n6，即n（n1） 2 6，也即 n2n120， 解得 n4 或 n3(舍去)，所以 n4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X， 由题意可知 X 的可能取值是 0，2，3，4， 所以 P(X0) 1 A44 1 24， P(X2)C 2 41 A44 1 4， P(X3)C 3 42 A44 1 3， P(X4)1 1 24 1 4 1 3 3 8， 所以 X 的概率分布列为 X0234 P 1 24 1 4 1 3 3 8 规律方法求随机
11、变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机 变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽 样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求 随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率. 【训练 2】 (2020济南调研)某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产 的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量 指标值落在20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图 1 是设备改造前 样本的频率分布直方图，表 1 是设备改造后样本的频数分布表： 图 1：设备改造
12、前样本的频率分布直方图 表 1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)40，45) 频数2184814162 (1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值； (2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在25， 30)内的定为一等品，每件售价 240 元；质量指标值落在20，25)或30，35)内的 定为二等品，每件售价 180 元；其他的合格品定为三等品，每件售价 120 元.根据 表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替 从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有
13、一名顾客随机购买两件产品， 设 其支付的费用为 X(单位：元)，求 X 的分布列. 解(1)根据题图 1 可知，设备改造前样本的频数分布表如下： 质量指标值15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)40，45) 频数41640121810 417.51622.54027.51232.51837.51042.53 020. 样本产品的质量指标平均值为3 020 100 30.2. 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为 30.2. (2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为1 2， 1 3， 1 6， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品
14、的概率分别为1 2， 1 3， 1 6. 随机变量 X 的取值为 240，300，360，420，480. P(X240)1 6 1 6 1 36，P(X300)C 1 21 3 1 6 1 9. P(X360)C121 2 1 6 1 3 1 3 5 18， P(X420)C 1 21 2 1 3 1 3， P(X480) 1 2 1 2 1 4， 所以随机变量 X 的分布列为 X240300360420480 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 考点三超几何分布 【例 3】 (2020荆门调研)在测试中，客观题难度的计算公式为 PiRi N，其中 P i 为第 i 题的难度，R
15、i为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数.现对某校高三年 级 240 名学生进行一次测试，共 5 道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每 道题的难度，如下表所示： 题号12345 考前预估难度 Pi0.90.80.70.60.4 测试后，随机抽取了 20 名学生的答题数据进行统计，结果如下： 题号12345 实测答对人数161614144 (1)根据题中数据，估计这 240 名学生中第 5 题的实测答对人数； (2)从抽样的 20 名学生中随机抽取 2 名学生，记这 2 名学生中答对第 5 题的人数 为 X，求 X 的分布列； (3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设 Pi为第 i
16、 题的实测难度，并定义 统计量 S1 n(P 1P1)2(P2P2)2(PnPn)2，若 S0.05，则本次测试的 难度预估合理，否则不合理，试检验本次测试对难度的预估是否合理. 解(1)因为 20 人中答对第 5 题的人数为 4， 因此第 5 题的实测难度为 4 200.2， 所以，估计 240 人中有 2400.248 人实测答对第 5 题. (2)X 的所有可能取值是 0，1，2. P(X0)C 2 16 C220 12 19，P(X1) C116C14 C220 32 95，P(X2) C24 C220 3 95. X 的分布列为 X012 P 12 19 32 95 3 95 (3)
17、将抽样的 20 名学生测试中第 i 题的实测难度作为 240 名学生测试中第 i 题的实 测难度. 列表如下： 题号12345 实测难度0.80.80.70.70.2 S1 5(0.80.9) 2(0.80.8)2(0.70.7)2(0.70.6)2(0.20.4)20.012. 因为 S0.0120.05， 所以，该次测试的难度预估是合理的. 规律方法1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体 的个数.超几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类 个体数 X 的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类
18、别的小球等概率模型，其实质是古典 概型. 【训练 3】 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该 企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、 整理 分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A，B 两个调查小组分赴全市不同区 域发放问卷并及时收回； 在整理分析阶段， 两个调查小组从所获取的有效问卷中， 针对 15 至 45 岁的人群，按比例随机抽取了 300 份，进行数据统计，具体情况如 下表： 组别 年龄 A 组统计结果B 组统计结果 经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车 15，25)27 人13 人40 人20 人 25，35)23
19、人17 人35 人25 人 35，4520 人20 人35 人25 人 先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体分配到“经 常使用单车”和“偶尔使用单车”中去， (1)求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数. (2)为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁 且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人，每人 1 份(其余人员仅赠送骑行优惠券).已知参加座谈会的人员中有且只有 4 人来自 A 组，求 A 组这
20、 4 人中得到礼品的人数 X 的分布列. 解(1)从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁”的人数为 100 60 30020， 再将这 20 人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分， 其中“年龄达 到 35 岁且偶尔使用单车”的人数为 20 45 1009. (2)A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的可能取值为 0，1，2，3，相应概率为 P(X0)C 3 5 C39 5 42，P(X1) C14C25 C39 10 21， P(X2)C 2 4C15 C39 5 14，P(X3) C34 C39 1 21. 故其分布列为 X0123 P 5 42 10 21
21、5 14 1 21 A 级基础巩固 一、选择题 1.袋中有 3 个白球、5 个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是() A.至少取到 1 个白球B.至多取到 1 个白球 C.取到白球的个数D.取到的球的个数 解析选项 A，B 表述的都是随机事件，选项 D 是确定的值 2，并不随机；选项 C 是随机变量，可能取值为 0，1，2. 答案C 2.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为 ，则“5”表示的试验结果是() A.第一枚 6 点，第二枚 2 点 B.第一枚 5 点，第二枚 1 点 C.第一枚 1 点，第二枚 6 点 D.第一枚 6 点，第二枚 1 点 解析第一
22、枚的点数减去第二枚的点数不小于 5，即只能等于 5.故选 D. 答案D 3.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个 红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回 5 个红球” 事件的是() A.4B.5 C.6D.5 解析“放回 5 个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6. 答案C 4.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量表示所选 3 人中 女生的人数，则 P(1)等于() A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 解析P(1)1P(2)1C 1 4C22 C36 4 5. 答案D 5
23、.从装有 3 个白球、4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球、1 个红球的概率是() A. 4 35 B. 6 35 C.12 35 D. 36 343 解析如果将白球视为合格品， 红球视为不合格品， 则这是一个超几何分布问题， 故所求概率为 pC 2 3C14 C37 12 35. 答案C 二、填空题 6.若离散型随机变量 X 的分布列为 X01 P9c2c38c 则常数 c 的值为_. 解析根据离散型随机变量分布列的性质知 9c2c0， 38c0， 9c2c38c1， 得 c1 3. 答案 1 3 7.袋中有 4 只红球，3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只
24、红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量，则 P(6)_. 解析P(6)P(取到 3 只红球 1 只黑球)P(取到 4 只红球)C 3 4C13 C47 C 4 4 C47 13 35. 答案 13 35 8.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题，比赛规定：对于每一个题， 没有抢到题的队伍得 0 分，抢到题并回答正确的得 1 分，抢到题但回答错误的扣 1 分(即得1 分)；若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则 X 的所 有可能取值是_. 解析X1，甲抢到一题但答错了. X0，甲没抢到题，或甲抢到 2 题，但答时一对一错. X1 时，甲抢到 1
25、题且答对或甲抢到 3 题，且 1 错 2 对. X2 时，甲抢到 2 题均答对. X3 时，甲抢到 3 题均答对. 答案1，0，1，2，3 三、解答题 9.设随机变量 X 的分布列为 P Xk 5 ak(k1，2，3，4，5). (1)求 a 的值； (2)求 P X3 5 ； (3)求 P 1 10X 7 10 . 解(1)由分布列的性质，得 P X1 5 P X2 5 P X3 5 P X4 5 P(X1)a 2a3a4a5a1，所以 a 1 15. (2)P X3 5 P X3 5 P X4 5 P(X1)3 1 154 1 155 1 15 4 5. (3)P 1 10X 7 10 P
26、 X1 5 P X2 5 P X3 5 1 15 2 15 3 15 2 5. 10.为推动乒乓球运动的发展， 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有 来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子 选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手， 且这 2 名种子选手来自同一个 协会”，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列. 解(1)由已知，有 P(A)C 2 2C23C23C23 C48 6 35. 所以事件 A
27、 发生的概率为 6 35. (2)随机变量 X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为 1，2，3，4. P(Xk)C k 5C4 k 3 C48 (k1，2，3，4). 故 P(X1)C 1 5C33 C48 1 14， P(X2)C 2 5C23 C48 3 7， P(X3)C 3 5C13 C48 3 7， P(X4)C 4 5C03 C48 1 14， 所以随机变量 X 的分布列为 X1234 P 1 14 3 7 3 7 1 14 B 级能力提升 11.若 P(x2)1，P(x1)1，其中 x1x2，则 P(x1x2)等于() A.(1)(1)B.1() C.1(1)D.1(1) 解析
28、由分布列的性质得 P(x1x2)P(x2)P(x1)1(1)(1) 11(). 答案B 12.已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2 件检查，其次品数为，已知 P(1)16 45，且该产品的次品率不超过 40%，则这 10 件产品的次品率为( ) A.10%B.20%C.30%D.40% 解析设 10 件产品中有 x 件次品，则 P(1)C 1 xC110 x C210 x（10 x） 45 16 45，所以 x2 或 8.因为次品率不超过 40%，所以 x2，所以次品率为 2 1020%. 答案B 13.(一题多解)如图所示，A、B 两点 5 条连线并联，它们在单 位时间内能通过的
29、最大信息量依次为 2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单 位时间内通过的最大信息总量为，则 P(8)_. 解析法一由已知得的取值为 7，8，9，10， P(7)C 2 2C12 C35 1 5， P(8)C 2 2C11C22C12 C35 3 10， P(9)C 1 2C12C11 C35 2 5， P(10)C 2 2C11 C35 1 10， 的概率分布列为 78910 P 1 5 3 10 2 5 1 10 P(8)P(8)P(9)P(10) 3 10 2 5 1 10 4 5. 法二P(8)1P(7)1C 2 2C12 C35 11 5 4 5. 答案 4 5 14.(2020
30、东北三省四校联考)甲、 乙两家外卖公司， 其“骑手”的日工资方案如下： 甲公司规定底薪 70 元，每单抽成 1 元；乙公司规定底薪 100 元，每日前 45 单无 抽成， 超出 45 单的部分每单抽成 6 元.假设同一公司的“骑手”日送餐单数相同， 现从两家公司各随机抽取一名“骑手”并记录其 100 天的日送餐单数，得到如下 条形图： (1)求乙公司“骑手”的日工资 y(单位：元)与日送餐单数 n(nN*)的函数关系； (2)若将频率视为概率，回答以下问题： 记乙公司“骑手”的日工资为 X(单位：元)，求 X 的分布列； 小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日工资的角度考 虑
31、，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由. 解(1)乙公司每天的底薪 100 元， 前 45 单无抽成， 超出 45 单部分每单抽成 6 元， 故日工资 y 100，n45，nN*， 6n170，n45，nN*. (2)根据题意及条形图得，乙公司“骑手”的日送餐单数为 42，44 时，X100， 频率为 20 1000.2， 日送餐单数为 46 时，X106，频率为 30 1000.3， 日送餐单数为 48 时，X118，频率为 40 1000.4， 日送餐单数为 50 时，X130，频率为 10 1000.1， 故乙公司“骑手”的日工资 X 的分布列如表所示： X100106118
32、130 P0.20.30.40.1 根据条形图得，甲公司“骑手”的日平均送餐单数为 42 20 10044 40 100 46 20 10048 10 10050 10 10045， 所以甲公司“骑手”的日平均工资为 70451115(元). 由可知，乙公司“骑手”的日平均工资为 112 元， 故推荐小明去甲公司应聘. C 级创新猜想 15.(多选题)(2020烟台质检)某人参加一次测试， 在备选的 10 道题中， 他能答对其 中的 5 道.现从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试，规定至少答对 2 题才 算合格.则下列选项正确的是() A.答对 0 题和答对 3 题的概率相同，都为
33、1 8 B.答对 1 题的概率为3 8 C.答对 2 题的概率为 5 12 D.合格的概率为1 2 解析设此人答对题目的个数为，则0，1，2，3，P(0)C 0 5C35 C310 1 12，P( 1)C 1 5C25 C310 5 12，P(2) C25C15 C310 5 12，P(3) C35C05 C310 1 12，则答对 0 题和答对 3 题的概率相同，都为 1 12，故 A 错误；答对 1 题的概率为 5 12，故 B 错误；答对 2 题的概率为 5 12，故 C 正确；合格的概率 pP(2)P(3) 5 12 1 12 1 2，故 D 正确.故选 CD. 答案CD 16.(多填题)随机变量 X 的分布列如下： X101 Pabc 其中 a， b， c 成等差数列， 则 P(|X|1)_， 公差 d 的取值范围是_. 解析因为 a，b，c 成等差数列，所以 2bac.又 abc1，所以 b1 3，所 以 P(|X|1)ac2 3.又 a 1 3d， c 1 3d， 根据分布列的性质， 得 0 1 3d 2 3， 01 3d 2 3，所以 1 3d 1 3. 答案 2 3 1 3， 1 3
