1、第第 4 节节等式性质与不等式的性质等式性质与不等式的性质 考试要求梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 知 识 梳 理 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ab0ab， ab0ab， ab0a1（aR，b0）ab（aR，b0）， a b1ab（a，b0）， a b0）a0）. 2.等式的性质 (1)对称性：若 ab，则 ba. (2)传递性：若 ab，bc，则 ac. (3)可加性：若 ab，则 acbc. (4)可乘性：若 ab，则 acbc；若 ab，cd，则 acbd. 3.不等式的性质 (1)对称性：abba； (2)传递性：ab，bcac； (3)可加性：ab
2、acbc；ab，cdacbd； (4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0ac bd； (5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)； (6)可开方：ab0 n a n b(nN，n2). 常用结论与微点提醒 1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号 方向改变. 2.有关分式的性质 (1)若 ab0，m0，则b a bm am(bm0). (2)若 ab0，且 ab1 a1，则 ab.( ) (4)0axb 或 axb01 b 1 x1，但 ay，则下列不等式成立的是() A.y x1 B.2 x0D.x2y2 解析由 xy，得xy，所以
3、 2 x0，q0，前 n 项和为 Sn，则S3 a3与 S5 a5的大小关 系为_. (2)(一题多解)若 aln 3 3 ，bln 4 4 ，cln 5 5 ，则() A.abcB.cba C.cabD.bac 解析(1)当 q1 时，S3 a33， S5 a55，所以 S3 a30 且 q1 时， S3 a3 S5 a5 a1（1q3） a1q2（1q） a1（1q5） a1q4（1q） q 2（1q3）（1q5） q4（1q） q1 q4 0， 所以S3 a3 S5 a5.综上可知 S3 a3 S5 a5. (2)法一易知 a， b， c 都是正数， b a 3ln 4 4ln 3log
4、 8164b； b c 5ln 4 4ln 5log 6251 0241，所以 bc.即 cb0，得 0 xe；由 f(x)e. f(x)在(0，e)为增函数，在(e，)为减函数. f(3)f(4)f(5)，即 abc. 答案(1)S3 a3、0，b0 且 ab，(ab)20，ab0， (a3b3)(a2bab2)0， 即 a3b3a2bab2. (2)由题意知 p0，q0，则p q （ab） ab 2 abba a ab 2b ba 2 a b ab 2，若 ab0，则a b 1，ab0，则p q1；若 0ab，则 0 a b1，ab0，则 p q1；若 ab，则 p q1.综上，pq，故选
5、 A. 答案(1)(2)A 考点二不等式的性质 【例 2】 (1)(多选题)设 ba0，cR，则下列不等式中正确的是() A.a 1 2b 1 2B.1 ac 1 bc C.a2 b2 a b D.ac2bc2 (2)(组合选择题)若1 a 1 b0，给出下列不等式： 1 ab 1 ab；|a|b0；a 1 a b1 b；ln a 2ln b2.其中正确的不等式是( ) A.B.C.D. 解析(1)因为 yx 1 2在(0，)上是增函数，所以 a 1 2b 1 2.因为 y1 xc 在(0， )上是减函数， 所以1 ac 1 bc.因为 a2 b2 a b 2（ba） （b2）b0，所以 a2
6、 b2 a b.当 c 0 时，ac2bc2，所以 D 不成立，故选 ABC. (2)法一因为1 a 1 b0，故可取 a1，b2. 显然|a|b1210，所以错误；因为 ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2 ln 40，所以错误.综上所述，可排除 A，B，D. 法二由1 a 1 b0，可知 ba0.中，因为 ab0，ab0，所以 1 ab0， 1 ab 0.故有 1 ab 1 ab，即正确； 中，因为 ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误； 中，因为 ba0，又1 a 1 b0，则 1 a 1 b0， 所以 a1 ab 1 b，故正确； 中，因为 ba0，根据 y
7、x2在(，0)上为减函数，可得 b2a20，而 y ln x 在定义域(0，)上为增函数，所以 ln b2ln a2，故错误.由以上分析， 知正确. 答案(1)ABC(2)C 规律方法解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别 注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数 函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练 2】 (1)(2020绵阳诊断改编)已知 a，b，c 满足 cba，且 ac0，则下 列选项中一定成立的是() A.abac
8、B.c(ba)0 C.cb4ab4D.ac(ac)0 (2)(2019武汉联考)下列命题中正确的是() A.若 ab，cR，则 acbc B.若 ab，cd，则a c b d C.若 ab，cd，则 acbd D.若 ab0，ab，则1 a 1 b 解析(1)因为 a，b，c 满足 cba，且 ac0，所以 c0a.对于 A，因为 b c，a0，所以 abac，故 A 正确；对于 B，因为 ba，c0，所以 ba0，c 0，所以 c(ba)0，故 B 不正确；对于 C，因为 ca，b40，所以 cb4ab4， 故 C 不正确；对于 D，因为 ac0，ac0，所以 ac(ac)0，故 D 不正确
9、， 故选 A. (2)A 中，当 c0 时不成立，c0 时也不成立，故 A 不正确.B 中，当 c0db a 时，a c0 b d，故 B 不正确.C 中，因为 ab，(c)(d)，不满足不等式的 同向相加性，故 C 不正确.D 中，因为 ab0，所以 a，b 同号，所以当 ab 时， 1 a 1 b，故 D 正确.故选 D. 答案(1)A(2)D 考点三不等式及其性质的应用多维探究 角度 1不等式在实际问题中的应用 【例 31】 (2017北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以 下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两
10、倍多于男学生人数. 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为_. 该小组人数的最小值为_. 解析令男学生、女学生、教师人数分别为 x，y，z，且 2zxyz，若教师人 数为 4，则 4yx8，当 x7 时，y 取得最大值 6.当 z1 时，1zyx2，不 满足条件；当 z2 时，2zyx4，不满足条件；当 z3 时，3zyx6，y 4，x5，满足条件.所以该小组人数的最小值为 34512. 答案612 角度 2利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移 【例 32】 (经典母题)已知1x4，2y3，则 xy 的取值范围是_， 3x2y 的取值范围是_. 解析因为1x4，2y3，所以3y2，所以
11、4xy2.由1x4， 2y3，得33x12，42y6，所以 13x2y18. 答案(4，2)(1，18) 【迁移 1】 将本例条件改为“1xy3”，求 xy 的取值范围. 解因为1x3，1y3， 所以3y1，4xy4. 又因为 xy，所以 xy0， 由得4xy0， 故 xy 的取值范围是(4，0). 【迁移 2】 将本例条件改为“已知1xy4，2xy3”，求 3x2y 的取值 范围. 解设 3x2y(xy)(xy)， 即 3x2y()x()y， 于是 3， 2， 解得 1 2， 5 2， 3x2y1 2(xy) 5 2(xy). 1xy4，2xy3， 1 2 1 2(xy)2，5 5 2(xy
12、) 15 2 ， 9 2 1 2(xy) 5 2(xy) 19 2 . 故 3x2y 的取值范围是 9 2， 19 2 . 规律方法1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必 须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格 运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范 围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系， 最后通过 “一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练 3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素 A，B 含量如下表： 甲乙 维生素 A
13、(单位/kg)600700 维生素 B(单位/kg)800400 设用甲、乙两种食物各 x kg、y kg 配成至多 100 kg 的混合食物，并使混合食物内 至少含有 56 000 单位维生素 A 和 62 000 单位维生素 B，则 x，y 应满足的所有不 等关系为_. (2)(2019青岛测试)已知实数 a(1，3)，b 1 8， 1 4 ，则a b的取值范围是_. 解析(1)x，y 所满足的关系为 xy100， 600 x700y56 000， 800 x400y62 000， x0，y0， 即 xy100， 6x7y560， 2xy155， x0，y0. (2)依题意可得 41 b8
14、，又 1a3，所以 4 a b24. 答案(1) xy100， 6x7y560， 2xy155， x0，y0 (2)(4，24) A 级基础巩固 一、选择题 1.限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h，写成不等式为() A.v40 km/h C.v40 km/hD.v40 km/h 解析由汽车的速度 v 不超过 40 km/h，即小于等于 40 km/h，即 v40 km/h，故 选 D. 答案D 2.(多选题)下列四个条件，能推出1 a 1 b成立的有( ) A.b0aB.0ab C.a0bD.ab0 解析运用倒数性质，由 ab，a
15、b0 可得1 a 1 b，B、D 正确.又正数大于负数， A 正确，C 错误，故选 A，B，D. 答案ABD 3.若 a，b 都是实数，则“ a b0”是“a2b20”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析a b0 a baba2b2，但由 a2b20a b0.故选 A. 答案A 4.若 ab0，则下列不等式中一定成立的是() A.a1 bb 1 a B.b a b1 a1 C.a1 bb 1 a D.2ab a2b a b 解析取 a2，b1，排除 B 与 D；另外，函数 f(x)x1 x是(0，)上的增函 数，但函数 g(x)x1 x在(0
16、，1上单调递减，在1，)上单调递增，所以，当 ab0 时，f(a)f(b)必定成立，即 a1 ab 1 ba 1 bb 1 a，但 g(a)g(b)未必成立， 故选 A. 答案A 5.已知 a1(0，1)，a2(0，1)，记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关 系是() A.MN C.MND.不确定 解析MNa1a2(a1a21) a1a2a1a21(a11)(a21)， 又 a1(0，1)，a2(0，1)， a110，a210，即 MN0，MN. 答案B 6.(一题多解)(2019全国卷)若 ab，则() A.ln(ab)0B.3a0D.|a|b| 解析法一由函数 yln x
17、 的图象(图略)知，当 0ab1 时，ln(ab)b 时，3a3b，故 B 不正确； 因为函数 yx3在 R 上单调递增，所以当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 正确； 当 ba0 时，|a|b|，故 D 不正确.故选 C. 法二当 a0.3，b0.4 时，ln(ab)3b，|a|b|，故排除 A，B，D.故 选 C. 答案C 7.(2020山东齐鲁名校联考)已知 0aNB.MN C.MND.不能确定 解析0a0，1b0，1ab0. MN1a 1a 1b 1b 2（1ab） （1a）（1b）0，MN，故选 A. 答案A 8.已知函数 f(x)x3ax2bxc.且 0f(1)f(2)
18、f(3)3，则() A.c3B.3c6 C.69 解析由 f(1)f(2)f(3) 得 1abc84a2bc， 1abc279a3bc，解得 a6， b11， 则 f(x)x36x211xc， 由 0f(1)3，得 01611c3，即 6”“”或“”). 解析分母有理化有 1 52 52， 1 6 5 6 5，显然 52 6 5，所 以 1 52 1 6 5. 答案0，bcad0，则c a d b0； 若 ab0，c a d b0，则 bcad0； 若 bcad0，c a d b0，则 ab0. 其中正确的命题是_(填序号). 解析ab0，bcad0， c a d b bcad ab 0，正确
19、； ab0，又c a d b0，即 bcad ab 0， bcad0，正确； bcad0，又c a d b0，即 bcad ab 0， ab0，正确.故都正确. 答案 12.若 0ab，且 ab1，则将 a，b， 1 2 ，2ab，a2b2从小到大排列为 _. 解析0ab 且 ab1， a1 2b1 且 2a1， a2ba2a(1a)2a22a2 a1 2 2 1 2 1 2.即 a2ab11 2 1 2， 即 a2b21 2. 1 2b1， (a2b2)b(1b)2b2b2b23b1 (2b1)(b1)0. 答案a2ab1 2a 2b2b， ab b，ab， a，ab. 若 mn2，pq2，
20、则() A.mn4 且 pq4B.mn4 且 pq4 C.mn4 且 pq4D.mn4 且 pq4 解析结合定义及 mn2 可得 m2， mn 或 n2， mn， 即 nm2 或 mn2，所以 mn4； 结合定义及 pq2，可得 p2， pq 或 q2， pq， 即 qaab，则实数 b 的取值范围是_. 解析因为 ab2aab，所以 a0，当 a0 时，b21b，即 b21， b1， 解得 b1； 当 a0 时，b21b，即 b21， 此式无解. 综上知实数 b 的取值范围是(，1). 答案(，1) 16.已知函数 f(x)ax2bxc 满足 f(1)0， 且 abc， 则c a的取值范围是_. 解析因为 f(1)0，所以 abc0， 所以 b(ac).又 abc， 所以 a(ac)c，且 a0，cac a c a，即 11 c a c a. 所以 2c a 2， 解得2c ab2；2a2b 1； ab a b.能够使以上 三个不等式同时成立的一个条件是_(答案不唯一，写出一个即 可). 解析使三个不等式同时成立的一个条件是 ab0， 当 ab0 时， 显然成立， 对于，( ab)2( a b)22 ab2b2 b( a b)， ab0，2 b( a b)0， 所以( ab)2( a b)20，即 ab a b. 答案ab0(答案不唯一)
