1、第第 3 节节空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 考试要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上， 抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；2.了解四个公理和一个定理. 知 识 梳 理 1.平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面 平行 关系 图形语言 符号语言aba
2、相交 关系 图形语言 符号语言abAaAl 独有 关系 图形语言 符号语言a， b 是异面直线a 3.平行公理(公理 4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a 与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). (2)范围： 0， 2 . 常用结论与微点提醒 1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补. 2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与
3、平面内不经过该点的 直线互为异面直线. 3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角 可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)两个平面，有一个公共点 A， 就说， 相交于过 A 点的任意一条直线.() (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.() (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.() (4)若直线 a 不平行于平面，且 a，则内的所有直线与 a 异面.() 解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线，故错误. (3)如果两个平面
4、有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于 a 不平行于平面，且 a，则 a 与平面相交，故平面内有与 a 相交的 直线，故错误. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第二册 P147 例 1 改编)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD 4，AA12，则异面直线 AC 和 BC1所成角的余弦值是() A.8 5 25 B.4 5 5 C.8 5 5 D.4 5 25 解析如图，连接 AD1，CD1，则D1AC(或其补角)就是异面直 线 AC 和 BC1所成的角，易知 AC5，AD12 5，CD1 13， 由余弦定理得 cos D1ACAD 2 1AC2C
5、D21 2AD1AC 8 5 25 . 答案A 3.(老教材必修 2P45 例 2 改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接 四边中点的四边形一定是() A.梯形B.矩形 C.菱形D.正方形 解析如图所示，易证四边形 EFGH 为平行四边形，因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点，所以 EFAC，又 FGBD，所以EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角，而 AC 与 BD 所成的角为 90， 所以EFG90，故四边形 EFGH 为矩形. 答案B 4.(2019贵阳调研)是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，若 m，n， 且 Am，A，则 m，n 的位置关系不可能是()
6、 A.垂直B.相交C.异面D.平行 解析依题意，mA，n，m 与 n 异面或相交(垂直是相交的特例)，一 定不平行. 答案D 5.(2020重庆一中月考)如图，l，A，B，C，且 C l，直线 ABlM，过 A，B，C 三点的平面记作，则与 的交线必通过() A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M 解析AB，MAB，M. 又l，Ml，M. 根据公理 3 可知，M 在与的交线上. 同理可知，点 C 也在与的交线上. 答案D 6.(一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个 顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线
7、 AB 与平面 MNQ 不平行的是() 解析法一对于选项 B，如图(1)所示，连接 CD，因为 ABCD，M，Q 分别是 所在棱的中点，所以 MQCD，所以 ABMQ，又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB平面 MNQ.因此 A 项中直线 AB 与平面 MNQ 不平行. 图(1)图(2) 法二对于选项 A，其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示)，连接 OQ，则 OQAB， 因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行. 答案A 考点一平面的基本性质及应用 【例 1】 已
8、知空间四边形 ABCD(如图所示)，E，F 分别是 AB， AD 的中点，G，H 分别是 BC，CD 上的点，且 CG1 3BC，CH 1 3DC.求证： (1)E，F，G，H 四点共面； (2)三直线 FH，EG，AC 共点. 证明(1)连接 EF，GH，如图所示， E，F 分别是 AB，AD 的中点， EFBD. 又 CG1 3BC，CH 1 3DC， GHBD，EFGH， E，F，G，H 四点共面. (2)易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， 设 FHACM，M平面 EFHG，M平面 ABC. 又平面 EFHG平面 ABCEG， MEG.FH，EG，AC 共点. 规律方法1.证明点
9、或线共面问题的两种方法： (1)首先由所给条件中的部分线(或 点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两 部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这 条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上. 3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经 过该点. 【训练 1】 如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与 四边形 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BCAD 且 BC1 2AD，BEAF 且 BE 1 2
10、AF，G，H 分别为 FA，FD 的 中点. (1)证明：四边形 BCHG 为平行四边形； (2)判断 C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知 FGGA，FHHD， 可得 GH 綉 1 2AD，又 BC 綉 1 2AD，所以 GH 綉 BC. 所以四边形 BCHG 为平行四边形. (2)解C，D，E，F 四点共面.理由如下： 因为 BE 綉 1 2AF，G 为 FA 的中点，所以 BE 綉 FG. 所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EFBG. 由(1)知 BG 綉 CH，所以 EFCH，所以 EF 与 CH 共面. 又 DFH，所以 C，D，F，E 四点共面. 考点二
11、空间两直线位置关系的判定 【例 2】 (1)(一题多解)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l 是平面与平面的交线，则下列命题正确的是() A.l 与 l1，l2都不相交 B.l 与 l1，l2都相交 C.l 至多与 l1，l2中的一条相交 D.l 至少与 l1，l2中的一条相交 (2)在图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形的序号是_(填上所有正确答案的序号). 解析(1)法一由于 l 与直线 l1，l2分别共面，故直线 l 与 l1，l2要么都不相交， 要么至少与 l1，l2中的一条相交.若 ll1，ll2
12、，则 l1l2，这与 l1，l2是异面直线 矛盾.故 l 至少与 l1，l2中的一条相交. 法二如图(1)，l1与 l2是异面直线，l1与 l 平行，l2与 l 相交，故 A，B 不正确； 如图(2)，l1与 l2是异面直线，l1，l2都与 l 相交，故 C 不正确. (2)图中，直线 GHMN； 图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，NGH，因此直线 GH 与 MN 异 面； 图中，连接 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面； 图中，G，M，N 共面，但 H平面 GMN，GMN， 因此 GH 与 MN 异面. 所以在图中，GH 与 MN 异面. 答案(1)D(2) 规律方法1
13、.异面直线的判定方法： (1)反证法： 先假设两条直线不是异面直线， 即两条直线平行或相交， 由假设出发， 经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面. (2)定理： 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面 直线. 2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型， 以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. 【训练 2】 (多选题)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M， N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，则下列说法正确的有() A.直线 AM 与 CC1是相交直线 B.直线 AM 与 BN 是
14、平行直线 C.直线 BN 与 MB1是异面直线 D.直线 AM 与 DD1是异面直线 解析直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故 AB 错误. 答案CD 考点三异面直线所成的角 【例 3】 (1)(2019湘潭二模)已知四棱锥 PABCD 的底面边长都为 2，PAPC 2 3，PBPD，且DAB60，M 是 PC 的中点，则异面直线 MB 与 AP 所成 的角为_. (2)(2020临沂一模)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 点 O 是底面 ABCD 的中心， 过 O点作一条直线l与A1D平行， 设直线l与直线OC1的夹角为， 则cos _. 解析(1)
15、如图，连接 AC 与 BD，相交于点 N，连接 MN，则 MNPA， 所以NMB(或NMB 的补角)为异面直线 MB 与 AP 所成的 角， 在MNB 中，由题意得 NB1，MN 3，BNMN，则 tan NMBNB MN 3 3 ，NMB30，故答案为 30. (2)如图所示，设正方体的表面 ABB1A1的中心为 P，容易证明 OPA1D，所以直线 l 即为直线 OP，角即POC1. 设正方体的棱长为 2， 则 OP1 2A 1D 2， OC1 6，PC1 6， 则 cos POC1 266 2 2 6 1 2 3 3 6 . 答案(1)30(2) 3 6 规律方法用平移法求异面直线所成角的
16、一般步骤： (1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角； (2)求角转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小. 【训练 3】 (一题多解)(2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC 1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为() A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 解析法一如图，连接 BD1，交 DB1于 O，取 AB 的中点 M， 连接 DM， OM.易知 O 为 BD1的中点， 所以 AD1OM， 则MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角或其补角.因为在长方体 ABCD A1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，
17、AD1 AD2DD212， DMAD2 1 2AB 2 5 2 ， DB1AB2AD2DD21 5.所以 OM1 2AD 11，OD1 2DB 1 5 2 ，于是在 DMO 中，由余弦定理， 得 cosMOD 12 5 2 2 5 2 2 21 5 2 5 5 ， 即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 5 5 . 法二以 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示.由条件可知 D(0， 0， 0)，A(1，0，0)，D1(0，0， 3)，B1(1，1， 3)，所以AD1 ( 1，0， 3)，DB1 (1，1， 3).
18、则 cosAD1 ，DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 2 2 5 5 5 ，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 5 5 . 答案C 赢得高分立体几何中的截面问题 用一个平面去截几何体， 此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面.截面问题 涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，常做为压轴题出 现. 【典例】 (2018全国卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成 的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为() A.3 3 4 B.2 3 3 C.3 2 4 D. 3 2 解析如图，依题意，平面与棱 BA，BC，BB1所在直线所成 角都相等
19、，容易得到平面 AB1C 符合题意，进而所有平行于平 面 AB1C 的平面均符合题意. 由对称性， 知过正方体 ABCDA1B1C1D1中心的截面面积应取 最大值，此时截面为正六边形 EFGHIJ.正六边形 EFGHIJ 的边长为 2 2 ，将该正六 边形分成 6 个边长为 2 2 的正三角形.故其面积为 6 3 4 2 2 2 3 3 4 . 答案A 思维升华作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的 条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理. 【训练】已知球 O 是正三棱锥(底面为正三角形， 顶点在底面的射影为底面中心)A BCD 的外接球，BC3，AB2
20、 3，点 E 在线段 BD 上，且 BD3BE，过点 E 作球 O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是_. 解析如图，设BDC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R， 连接 AO1，O1D，OD，O1E，OE， 则 O1D3sin 602 3 3， AO1 AD2DO213， 在 RtOO1D 中， R23(3R)2，解得 R2， BD3BE，DE2，在DEO1中， O1E 342 32cos 301， OE O1E2OO21 2， 过点 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面圆的面积最小， 此时截面圆的半径为 22（ 2）2 2，面积为 2. 故答案为 2. 答案2
21、A 级基础巩固 一、选择题 1.(组合型选择题)给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面； 有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定 1 个或 3 个平 面.其中正确的序号是() A.B.C.D. 解析显然命题正确. 由于三棱柱的三条平行棱不共面，错. 命题中，两个平面重合或相交，错. 三条直线两两相交，可确定 1 个或 3 个平面，则命题正确. 答案B 2.已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b() A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 解析由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线
22、，但不可能为平行 直线，若 bc，则 ab，与已知 a，b 为异面直线相矛盾. 答案C 3.(2020福州月考)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E， F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小 为() A.30B.45 C.60D.90 解析连接 B1D1，D1C，则 B1D1EF，故D1B1C 或其补角为所求的角.又 B1D1 B1CD1C，D1B1C60. 答案C 4.(多选题)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是 DB 的 中点，直线 A1C 交平面 C1BD 于点 M，则下列结论正确的是 () A.C1，M，O 三点共线 B
23、.C1，M，O，C 四点共面 C.C1，O，A1，M 四点共面 D.D1，D，O，M 四点共面 解析连接 A1C1，AC，则 AC 过点 O，即 ACBDO，又 A1C平面 C1BDM，所以三点 C1，M，O 在平面 C1BD 与平 面 ACC1A1的交线上，所以 C1，M，O 三点共线，所以选项 A， B，C 均正确，选项 D 错误. 答案ABC 5.在如图所示的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是棱 B1B，AD 的中点，则直线 BF 与平面 AD1E 的位置关系是() A.平行B.相交但不垂直 C.垂直D.异面 解析如图，取 AD1的中点 O，连接 OE，OF，则 OF
24、平行且 等于 BE， 四边形 BFOE 是平行四边形， BFOE， BF平面 AD1E，OE平面 AD1E， BF平面 AD1E. 答案A 二、填空题 6.正方体 AC1中，与面 ABCD 的对角线 AC 异面的棱有_条. 解析如图，在正方体 AC1中，与面 ABCD 的对角线 AC 异面 的棱有 BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共 6 条. 答案6 7.如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为_. 解析取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接
25、C1D，AD， 因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， 所以 ADBC， 所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线 AC1与 BC 所成角. 因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D圆柱下底面， 所以 C1DAD， 因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，所以 C1D 2AD， 所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为 2， 所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2. 答案2 8.(2020西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M， N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与
26、MN 成 60角； DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是_. 解析还原成正四面体 ADEF，其中 H 与 N 重合，A，B，C 三点重合. 易知 GH 与 EF 异面，BD 与 MN 异面. 又GMH 为等边三角形， GH 与 MN 成 60角， 易证 DEAF，MNAF，MNDE. 因此正确的序号是. 答案 三、解答题 9.如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 为正方形 ABCD 的中心， H 为直线 B1D 与平面 ACD1的交点.求证：D1，H，O 三点共线. 证明如图，连接 BD，B1D1， 则 BDACO， BB1綉 DD1， 四边形 BB1D1D
27、为平行四边形. 又 HB1D，B1D平面 BB1D1D， 则 H平面 BB1D1D， 平面 ACD1平面 BB1D1DOD1，HOD1. 故 D1，H，O 三点共线. 10.在正方体 ABCDA1B1C1D1中， (1)求直线 AC 与 A1D 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求直线 A1C1与 EF 所成角的大小. 解(1)如图，连接 B1C，AB1，由 ABCDA1B1C1D1是正方体， 易知 A1DB1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. 因为 AB1ACB1C， 所以B1CA60. 即直线 A1D 与 AC 所成的角为 6
28、0. (2)连接 BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1， 因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EFBD，所以 EFAC. 所以 EFA1C1. 即直线 A1C1与 EF 所成的角为 90. B 级能力提升 11.下列命题中正确的个数为() 存在与两条异面直线都平行的平面；过空间一点，一定能作一个平面与两条 异面直线都平行；若ABC 在平面外，它的三条边所在的直线分别交于 P， Q，R，则 P，Q，R 三点共线；若三条直线 a，b，c 互相平行且分别交直线 l 于 A，B，C 三点，则这四条直线共面；空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面. A.
29、1B.2C.3D.4 解析将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两 条直线异面且与该平面平行，故正确；当点在两条异面直线中的一条上时，这 个平面不存在，故不正确；在中，因为 P，Q，R 三点既在平面 ABC 上，又在 平面上，所以这三点必在平面 ABC 与的交线上，即 P，Q，R 三点共线，故 正确；在中，因为 ab，所以 a 与 b 确定一个平面，而 l 上有 A，B 两点在该 平面内，所以 l，即 a，b，l 三线共面于；同理 a，c，l 三线也共面，不妨设 为，而，有两条公共的直线 a，l，所以与重合，故这些直线共面，故正 确；在中，不妨设其中四点共面，则它们最多只
30、能确定 7 个平面，故错. 答案C 12.平面过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCD m，平面 ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D.1 3 解析如图所示，设平面 CB1D1平面 ABCDm1， 平面 CB1D1，则 m1m， 又平面 ABCD平面 A1B1C1D1， 平面 CB1D1平面 A1B1C1D1 B1D1，B1D1m1， B1D1m，同理可得 CD1n. 故 m，n 所成角的大小与 B1D1，CD1所成角的大小相等， 即CD1B1的大小. 又B1CB1D1CD1(均为面对角线)， CD
31、1B1 3， 得 sin CD1B1 3 2 ，故选 A. 答案A 13.在四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点.若 BD，AC 所成的角为 60， 且 BDAC1，则 EF 的长为_. 解析如图，取 BC 的中点 O，连接 OE，OF. 因为 OEAC，OFBD， 所以 OE 与 OF 所成的锐角(或直角)即为 AC 与 BD 所成的角， 而 AC，BD 所成角为 60，所以EOF60或EOF120.当 EOF60时，EFOEOF1 2.当EOF120时，取 EF 的中点 M，则 OMEF，EF2EM2 3 4 3 2 . 答案 1 2或 3 2 14.如图，在四棱锥 O
32、ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 OABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值. 解(1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S4， 所以四棱锥 OABCD 的体积 V1 342 8 3. (2)如图，连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME，DE，又 M 为 OA 中点，MEOC， 则EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角， 由已知可得 DE 2，EM 3，MD 5， ( 2)2( 3)2( 5)2，即 DE2EM2MD2， DEM 为直角三角形，且
33、DEM90， tanEMDDE EM 2 3 6 3 . 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 6 3 . C 级创新猜想 15.(多选题)如图，矩形 ABCD 中，AB2AD，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在ADE 翻折的过程中，下列命题正确的 是() A.BM 是定值 B.点 M 在某个球面上运动 C.存在某个位置，使 DEA1C D.存在某个位置，使 MB平面 A1DE 解析取 DC 的中点 F，连接 MF，BF，MFA1D 且 MF 1 2A 1D，FBED 且 FBED，所以MFBA1DE，由 余弦定理可得 M
34、B2MF2FB22MFFBcos MFB 是 定值；因为 B 是定点，所以 M 是在以 B 为圆心，MB 为半径的球面上，可得 A， B 正确；由 MFA1D 与 FBED 且 MFBFF 可得平面 MBF平面 A1DE，故 D 正确；若 DEA1C，因为 CE2DE2CD2，即 CEDE.因为 A1CCEC，则 DE平面 A1CE，所以 DEA1E 与DEA145矛盾，故 C 不正确. 答案ABD 16.(多填题)(2020海南月考)已知异面直线 a 与 b 所成的角70，P 为空间一点， 则过 P 点与 a 和 b 所成角45的直线有_条；过 P 点与 a 和 b 所成角 70的直线有_条. 解析平移 a，b 过点 P，如图，平面内，设 a 与 b 所成锐 角的平分线所在的直线为 m，所成钝角的平分线所在的直线 为 n，则 m 与 a，b 所成最小角为 35，n 与 a，b 所成最小角 为 55，旋转 m，可得与 a 和 b 所成角45的直线有 2 条；分别旋转 m，n，可 得过点 P 与 a 和 b 所成角70的直线有 4 条. 答案24
