1、新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 二项式定理（一） 教学设计 贵州省高中数学名师工作室贵州省高中数学名师工作室吴吴 XX 一、教学设计一、教学设计 1. 教学内容解析教学内容解析 二项式定理是初中乘法公式的推广， 是排列组合知识的具体运用， 是学习后一章 “随 机变量及其分布”的基础。中学教材中的二项式定理主要包括：二项式定理的推导，通 项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等。通过二项式定理的学习，要求学生掌握“猜 想-归纳-论证”的数学思想，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形 成技能；进一步体会过程分析与特殊化方法等的运用；二项式定理的证明是一个教学难 点这是因为，
2、证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。本节课起到了承 上启下的作用，是对之前所学计数原理的巩固，也是对之后随机变量及其分布（特别是 超几何分布）作铺垫。而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理 的展开，可以得到优美的 n n n ) 1 1 (lim =e2.718281 2.学生学情分析学生学情分析 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一类特殊的多项式，表 现为二项式的乘方的展开式，也是解决某些整除、近似计算等问题的重要方法之一。学 生在初中是以多项式的乘法展开为载体，从具体式子感知多项式的展开。学生进入高中 一年多的数学学习后，在数学符号化、公理化
3、、抽象化等方面得到了有效的锻炼，逻辑 推理能力、 转化与化归等数学思想方法得到了训练， 特别是， 前一节学习了计数原理后， 对该节课推导二项式定理奠定了基础。从学生现阶段的思维特点分析，大部分学生解决 n ba)( 展开式采用的是的不完全归纳法(猜想)，与初中学习的多项式的展开结合起来， 从)(ba 、 2 )(ba 、 3 )(ba 、 4 )(ba 的展开式的形式特点等方面进行类比，教师 可以因势利导，让学生体会从一般到特殊的数学思想方法。然而，n无穷大时，能保证 展开式恒成立吗？ 3教学策略分析教学策略分析 考虑到本节课要让学生在以下几个方面得到收获： 一是掌握二项式定理的推导过 新人教
4、版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 程（生长性）；二是基础知识，准确理解数学概念（项、项的系数、二项式系数、通 项公式等），并能灵活运用数学思想方法；三是“猜想证明归纳”的一般规律 及方法。 基于学生的认知基础和现阶段的数学思维水平， 故本节课从学生已有的认知 作为出发点，先让学生计算 2 ()?ab 3 ()?ab 4 ()?ab 在繁琐的计算 过程中激发学生去思考更有效的方法解决该问题。 采用了数学探究式教学模式组织教 学， 在解决简单具体问题的基础上， 抽象出解决一般问题的方法， 让学生亲身经历 “提 出问题解决问题总结规律” ，培养学生独立思考、自主探索、合作交流的学习意 识和习惯
5、。更是设置“问题串” ，促进学生深层次思考。 在教学过程中，设置“创设问题情境创设问题情境，因疑惑而激趣因疑惑而激趣亲身体验亲身体验，探索新知探索新知 合作合作探究探究，总结总结规律规律典型例题分析典型例题分析强化训练强化训练，巩固提升巩固提升”让学生体会研究问题 的方式方法，培养学生观察、分析概括的能力，以及化归意识。 教学中教师充分发挥主导作用，营造民主、平等、和谐、积极的课堂氛围，充分调 动学生学习的积极性，以数学问题情境为立足点，为学生自主探索、合作交流提供足够 的时间和空间， 放手让学生独立思考， 大胆实践， 在已有知识和经验的基础上主动建构。 并由此获得成功的体验，激发学生学习数学
6、的兴趣和学好数学的信心，践行贵州师范大 学吕传汉教授“教思考，教体验，教表达”的理念。 4教学目标设置教学目标设置 知识与技能：知识与技能： (1)理解并掌握二项式定理，能利组合思想证明二项式定理； (2)能利用通项公式求某一项的系数。 过程与方法：过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括 的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。 情感、态度与价值观：情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识， 合作精神， 体验二项式定理的发现和创造历程， 体会数学语言的简洁和严谨。 教学重点：教学重点：用计数原理分析 2 )(ba 、 3
7、)(ba 的展开式，推导二项式定理； 教学难点教学难点：利用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式形成单项式之和 时各项系数的规律。 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 二、教学过程二、教学过程 1.1.创设问题情境，因疑惑而激趣创设问题情境，因疑惑而激趣 教师：请同学们计算下面两个题： 2 ()?ab 3 ()?ab 【教师巡视 2 分钟，学生用初中多项式的乘法展开 222 ()2abaabb ， = 3222 ()()()()(2)abab abab aabb 】 教师：有的同学计算得很快哦，要不再来计算一个： 4 ()?ab 【观察学生反应：只有少部分学生用初中方法埋头苦干，
8、大部分学生停下演算静静 的思考】 【说明：学生【说明：学生(1,2,3.)i i 表示预设学生可能回答或提出的问题】表示预设学生可能回答或提出的问题】 学生 1： 4 ()ab 就是 4 个()ab 相乘，计算有点麻烦，要算到什么时候去哦！ 学生 2：我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式。 学生 3：就像数列的通项公式吗？ 教师：你能猜想 2016 ()ab 的展开式是什么吗？ 【设计意图设计意图：鼓励学生大胆猜想是教学生数学思考问题的开始，也许学生的猜想没 有道理，甚至是错误的，但问题意识的种子却已在他们的头脑生根，慢慢发芽】 教师：同学们，你们现在的困惑，就是牛顿当年的困惑 那是 16
9、64 年冬，22 岁的牛顿在研读沃利斯博士的无穷算术时，引发了许多思 考 2 ()?ab 3 ()?ab 4 ()?ab 都可以用初中多项式的乘法展开， 如果你是 牛顿，接下来会思考一个什么问题呢？ 学生 4：研究这三个式子展开式的规律，得到一般的规律。 学生 5：一般情形下，当nN 时， ()nab等于多少？ 教师：同学们很聪明啊，和伟大的牛顿当年想的一样啊。那么，研究规律的最终目 的是想得到什么结论？今天，就让我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温他探究、发现二 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 项式定理的过程。 教师板书：二项式定理：二项式定理：()? n ab 【设计意图设计意图
10、】从学生的认知水平出发设置问题情境，在困惑中激发学生思考解决问 题方法，让多数学生能动手动脑，不仅能激发学生学习数学的兴趣，更是调动学生学习 新知识的积极性。数学不是冰冷的美丽，她是来自现实的火热思考。问题情境中渗透数 学史，且紧扣本节课的主题与重点。 （点评：点评：与数学史情境有机结合，把学生带入本课时学习主题。 ） 2.亲身体验亲身体验，探索新知探索新知 教师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？ 学生 6：从上面的特殊情况入手，研究、发现它们展开后的规律，再推广到这种一 般情况。 学生 7：好像每一项都有,a b，只是系数不同。 学生 8：不对！有一项只有a，有一项只有b。 教师
11、： “从特殊到一般”是研究问题的常用方法。同学们观察得很仔细啊！ （预设：学生应该能观察出展开式中项的规律，若观察不出来，教师适当点拨预设：学生应该能观察出展开式中项的规律，若观察不出来，教师适当点拨。 ） 教师：记得刚才有同学说， 4 ()ab 就是四个()ab 相乘，刚才求得的展开式是这样 的： 4 ()ab ()()()()ab ab ab ab 432 234 464aa ba babb 。 请思考问题：展开式中各种类型的项是如何得到的？ 展开式中各项的系数是如何确定的？ （点评：点评：具有导向性的问题能指引学生明确研究方向，教师做到了适时点拨） 学生 9：分步计数原理：第一步，第一次
12、取有两种不同的方法；第二步，第二次取 有两种不同的方法，共四步，共有 4 216项。 学生 10：但是展开式只有 5 项哦，合并同类项了！ 【设计意图设计意图】考虑到所任教的学生是贵州省一类示范高中的实验班，基础较扎实， 所以直接用课本 30 页的探究作为该节课探究载体。教师确定研究方向后让学生自主探 究，留给学生足够的时间和空间。因为教师提出的两个问题具有明显的指向性，预设能 够让学生回忆计数原理。若学生遇到困难，教师可以回到 2 ()ab 展开式进行点拨。 【预设【预设学生遇到困难学生遇到困难，教师提示教师提示】 )()( 2 bababa是 2 个)(ba 相乘，根据多项式乘法法则，每个
13、)(ba 再相 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 乘时有两种选择，选a或选b，而且每个)(ba 中的a或b都选定后，才能得到展开式的 一项。于是，由分步乘法原理，再合并同类项之前， 2 )(ba 的展开式有 4 项，而且每一 项都是)2 , 1 , 0( 2 kba kk 的形式。 每个都不取b的情况有 1 种，即 0 2 C,即 2 a前的系数为 0 2 C； 恰有 1 个取b的情况有 2 种，即 1 2 C，即ab前的系数为 1 2 C； 恰有 2 个取b的情况有 1 种，即 2 2 C，即 2 b前的系数为 2 2 C； 因此， 22 2 1 2 20 2 222 2)()(
14、bCabCaCbababababa 【设计意图设计意图】预设当学生思维遇阻时，降低难度，让学困生体会展开式的项及其各 项系数的由来；引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导 n ba)( 的展开式提供了方法，使学生在后续的探究“法” 。 学生： 教师：同学们分析得不错。其实，根据多项式乘法法则， 4 ()ab 展开式的每一项都 是从这四个括号中各任取一个字母相乘得到的。我们分析的结论是有五种不同类型的 项，第一类：四个括号都取a相乘得到 4 a；第二类：三个括号都取a，一个括号取b得 到 3 a b；第三类，第四类 教师：A 同学，你具体分析 3 a b有哪几种情形可以得
15、到？它的系数 4 又是如何确定 的？ 学生 A： 3 a b是这四个括号中一个括号取b，另三个括号取a相乘得到的，共有四 种取法，所以系数为 4。 教师：A 同学回答得很好，观察得很仔细，很好地回答了问题，请坐！ 教师：接下来我们一起看其他情形。 （教师多媒体动画演示）（教师多媒体动画演示） 【设计意图设计意图】由比课本例题稍微难一点的具体问题启发学生再思考，目的是让学生 找到二项式展开式的各项及其各项的系数，对于学生的发现及时给予充分的表扬和鼓 励。这个过程让学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘法原理与组合数的 简洁美”，这也是一个内化的过程。 （点评点评：教师教师动画演示，加深学
16、生对展开式来龙去脉的理解，为合作探究作铺垫。 ） 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 预设预设：若学生还是观察不出其规律若学生还是观察不出其规律，采取如下方式采取如下方式。可以为归纳二项式定理的通项可以为归纳二项式定理的通项 公式作铺垫。公式作铺垫。 说明：说明：教师分析 2 ()ab 展开式每 一项特征，并师生共同归纳出其表达 式； 3 ()ab ， 4 ()ab 由学生独立思考 并展示。 3.合作合作探究探究，总结，总结规律规律 教师：接下来我们要牛顿一样的思考！ 问题问题：一般情形下，当nN 时， ()nab等于多少？ 【说明】说明】将学生分成 9 组，每组 7 人，2 人负责
17、展开式书写并证明；2 人负责归纳 展开式的特征；3 人负责展开式的记录、展示。目的是这样分层提高了学生学习的积极 性。学生小组讨论，归纳并总结。时间是 8 分钟。 【多媒体展示】【多媒体展示】 nn n rrnr n n n n n n bCbaCbaCaCba 110 )( （1）共有1n项； （2）二项式系数： 0 n C、 1 n C、 2 n C、 、 k n C、 、 n n C ； （3） 通项： rrnr nr baCT 1 （4）注意区分项，项的系数，二项式系数这三个概念。 【设计意图设计意图】通过小组合作学习，加强师生、生生之间的交流。充分体现教师主导 学生主体地位，学生深层
18、次的参考与到课堂学习，成为课堂的主人，加深对所得结论的 理解，培养学生自主、合作、交流的能力；让学生在探索过程中，充分感受到成功的情 感体验，做到吕传汉教授提出的“教思考、教体验、教表达”。 【问题问题】各二项式系数之和是多少？即? 10 n n r nnn CCCC 【教师点拨】【教师点拨】 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 （1）将二项式定理左边a、b都赋值为 1，得 nn n r nnn CCCC2 10 ； （2）二项式定理给出了一个恒等式，即对两项a、b的一切取值都成立，因此对其 特殊值也成立，赋值法是解决与二项展开式系数有关问题的重要手段。在二项式定理中 令xb ，那么
19、二项式定理变成一个关于x的函数 n n n xaxaxaaxaxf 2 210 )()(。所有各项系数和就是) 1 (f。 【设计意图设计意图】 适当拔高， 给学生提供思考的空间， 好的数学问题能点燃学生的激情， 好奇心总能激发学生有效参与课堂学习。 4 4. .典型例题分析典型例题分析 例例 1： 6 1 (2)x x 求的展开式. 【要求】【要求】学生 4 分钟自主完成，然后教师投影展示部分学生成果； 预设预设：学生可能出现的两种解法学生可能出现的两种解法：方法一：直接展开；方法二：先化简后展开。 重点强调方法二，先通分化简，再运用二项式定理展开，降低计算难度。 【追问】【追问】例题中的第
20、二项，第二项系数，第二项的二项式系数分别是多少？ （点评点评：方法的优化有助于解决问题的方法的优化有助于解决问题的“精精、准准、简简” ，不断的追问强化了学生不断的追问强化了学生 对容易混淆知识点理解）对容易混淆知识点理解） 5 5. .强化训练，巩固提升强化训练，巩固提升 A 组组 基础题基础题 （1）求 7 )(qp 的展开式； （2）求 7 )21 (x的展开式的第 4 项的系数； （3）求 9 ) 1 ( x x 的展开式中 3 x的系数； （4）求 73 )2(xx 的展开式的第四项的二项式系数； 【设计意图设计意图】设置题目由浅入深，面向全体学生，巩固新知，把课本例题 2 安 排在
21、训练题组中。 B 组组提升题提升题 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 （1）若 9 () a x x 的展开式中 3 x的系数是84，则a （2）求(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx的展开式中含 x4项的系数为. 【设计意图【设计意图】设置问题在学生最近发展区，跳一跳，够得着。知识的灵活运用， 对所学新知识点有效提升。 三、归纳总结三、归纳总结 （1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2）你掌握了哪些学习数学方法？ 【设计意图设计意图】师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自己 的意见。学生自己总结，对知识点进行梳理，加深理解。 四、作业布置四、作业布置
22、 37 P习题A组第 2 题（2） ；第 4 题（2） （3） ；第 5 题。 五、教学反思五、教学反思 1、教学设计中，设置了“创设问题情境创设问题情境，因疑惑而激趣因疑惑而激趣亲身体验亲身体验，探索新知探索新知合合 作作探究探究，总结总结规律规律典型例题分析典型例题分析强化训练强化训练，巩固提升巩固提升”五个环节层层深入，环环相 扣，充分体现师学、生生的交流互动，在教师主导下，学生通过动手、动眼、动脑，经 历了知识的形成和发展过程。 2、以以“问题问题”为红线为红线，促进学生深层次参与课堂学习促进学生深层次参与课堂学习。本节课在精心设置问题驱动 下，学生对知识和方法的探究由表及里，逐步深入
23、。以“问题”为主线组织教学活动， 引导学生提出问题并解决问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出问题不 仅受其数学基础、 生活经历等的影响。 本节课由简单的两个问题 2 ()?ab ， 3 ()?ab 开始，接着在 4 ()?ab ， 2016 ()?ab ，乃至()? n ab 的困惑下，激发学生去思考 新的方法解决这个新问题。 问题展开式中各种类型的项是如何得到的？展开式中各 项的系数是如何确定的？引领学生直至解决问题的核心。在教学各个环节中以问题为主 线，引导学生在不断的提出问题与解决问题过程中，领悟科学探索精神，适时的启发学 生揭示问题的数学实质，从而促进学生深层次的参与课堂活动。 3、让课堂让课堂“动起来，静下去动起来，静下去” ， 使得学生获得能力提升使得学生获得能力提升。 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 心理学家皮亚杰强调“认识起因于主各体之间的相互作用” ，只有客体的形式与学 生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生 获得真正的理解。本节课遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教、学、研互相促进 的规律” ，教学中追求简易，重视直观，注重推理能力的训练，尽量创造学习环境，让 学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用。
