1、新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 二项式定理（第二项式定理（第 1 1 课时）课时） 广东省深圳中学黄 XX 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明 内容解析：本节是高中数学人教 A 版选修 23 第一章第 3 节的内容二项式定理 是多项式乘法的特例， 是初中所学多项式乘法的延伸， 此内容安排在组合计数模型之后， 随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备 由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中 还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有 着不可忽略的价值
2、教学中应当引起充分重视 二、目标和目标解析二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明 二项式定理 （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二 项式定理的简单应用 （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这 个模型培养学生数学建模素养 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发 现二项式定理符合学生的认知规律但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合 数学的基本要求因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结 论，还能为
3、证明二项式定理提供方法 （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式如果不把其看成一个数列的和，引进 数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识因此，通过一些特 例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径 （3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻 找机会去落实在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二 项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会 基于上述分
4、析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 1教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要 求又较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运 算问题是本节课的第一个教学问题解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以 让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上 2教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题这不 仅是本节课的重点，也是教学难点解决方案：通过比较多项式 112233 ()()()ababab 展开式中项与项的异同点， 得出()nab的展开式的项的规
5、律， 从而得到二项式定理的内 容 3教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题学生很容易把发现二项 式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程二项式定理的证明可以用数学归纳法， 但难度较大 较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明 解 决方案：通过对 3 ()ab的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般 的展开式进行刻画 基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律 四、教学策略分析四、教学策略分析 本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示为了让学生通过观 察、归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台因此，在
6、教学过程中使用 TI-图形计算器既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状 态转到主动学习状态中来 在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学问题的设置给学生留有充分的 思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点 在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学 抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典 范因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 五、教学过程与设计五、教学过程与设计 教教 学学 环环 节节 问
7、题或任问题或任 务务 师生活动师生活动 设设 计意图计意图 问题问题 1有人说有人说 70 (1)x 的 展 开的 展 开 式式中中 有有 47 x项项，你认你认 为为对对 吗吗？若有若有， 它的它的 系数是多少系数是多少？ 问题问题 2为了为了 解决问题解决问题 1， 需要用需要用 到到( )nab 的展开的展开， 你认为这个展开式你认为这个展开式 式会怎样呢？式会怎样呢？ 教师教师 1： 提出问题提出问题 1 学生学生 1：学生思考 教师教师 2：提出问题：提出问题 2 学生学生 2：学生思考 教教师师3： 观察观察 1 ()ab、 2 ()ab、 3 ()ab、 4 ()ab、 5 ()
8、ab的展开式的展开式，你能得到你能得到 哪些哪些规律？规律？ 学生学生 3：利用图形计算器 CAS 的 expand()函数，得出 3 ()ab、 4 ()ab、 5 ()ab的展开式 教师教师 4： 根据你所计算的结果根据你所计算的结果，填对填对 应表格应表格 问题 引入 提 出 问题 引 导 学生通过 对特殊情 形 的 观 察，归纳 猜想一般 情形的基 本特征 教师 引导，学 生根据所 得具体的 展开式， 从展开式 中的项 数、项的 次数、项 的系数等 角度进行 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 学生学生 4：发现项数、项的次数、项的 系数并猜想： 1 01 ()n nnn k
9、kn kn abaababb 归纳，并 根据归纳 所得猜想 一般的展 开式的结 果 学 生 体会由特 殊到一般 的归纳猜 想 的 过 程 问题问题 3猜猜 想一：想一： 1 01 ()n nn n kkn kn abaab abb 中的中的 k ？ ？ 教师教师 5：提出问题：提出问题 3 学生学生 5：引起思考，并提出想法 教师教师 6：提出问题：提出问题： 在在 33223 0123 ()abaa babb 中，为什么中，为什么“ 0 1 ， 1 3 ， 2 3 ， 3 1 ”？ 学生学生 6：展开式计算，寻找答案 教师教师 7：提出问题：提出问题： 3 ()ab与与 112233 ()(
10、)()ababab 是是 什么什么关系关系？ 学生学生6：当 123 aaaa , 123 bbbb 时 ， 3 112233 ()()()()abababab 教师教师 7：提出问题：提出问题： 探究探究 112233 ()()()ababab 展开式展开式 的特点的特点 学生学生 7：利用图形计算器的 CAS 功 能中expand()函数，得出 112233 ()()()ababab 的展开式 一 般 问题回到 特殊情形 进 行 研 究 把 问 题回到已 知的结构 进 行 处 理 学 生 通过计算 器得到计 算结果 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 教 师教 师8 ： 引 导
11、学 生 分 析引 导 学 生 分 析 112233 ()()()ababab 展开式展开式的各项，并的各项，并 提出问题在展开式中为什么没有提出问题在展开式中为什么没有 1 12 a ba 项，项， 12 a a等项？ 等项？ 学生学生 8：学生根据所得的计算结果， 观察得到展开式的项的特点：展开式中 的每一项是由每个括号中“取且只取” 一个字母相乘得到的 教师教师 9：通过表格呈现特殊通过表格呈现特殊 3 ()ab 与与 112233 ()()()ababab 的展开式的的展开式的 并提出问题：并提出问题： 33223 0123 ()abaa babb 中，为什么中，为什么 1 3 ？ 学生
12、学生 9： 3 ()ab展开式中的项 2 3a b 是由 112233 ()()()ababab 展开式中的项 a a b 123，a b a1 23，b a a123去掉足码得到 aab， aba，baa后合并同类项得到从三个括 号中的一个括号选择“b”剩余两个括号 选择“a”构成的，因为从三个括号中的 一个括号选择“b” ，一旦确定哪个括号 选“b” ，剩余两个括号选择也就确定了， 因为“b”有三种选择，所以对应同类项 教 师 通过引导 学生对展 开式各项 构成的观 察，得到 项 的 构 成 通 过 特殊与一 般的项的 关 系 对 比，得到 对系数意 义 的 理 解 根 据 展开式系 新人
13、教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 的个数就为3，即“ 2 a b”的系数为3 教师教师 10：能否用计数模型进行解能否用计数模型进行解 释？释？ 学生学生 10： “ 2 a b”可以看成是从三个 括号中选择一个括号选“b” ，剩余两 个括号选择“a” ，完成这件事的所有可 能，要做这件是，我们可分成两步来完 成：第一、从三个括号中选择一个括号 选“b” ，有 1 3 C种选择；第二、剩余两个 括号选择“a”就 2 2 1C 种选法，故有 11 33 1CC 种选法，所以， 1 13 C依此可 以得到其它系数的组合数形式： 303122233 3333 ()abC aC a bC ab
14、C b 教师教师 11：根据：根据所得所得 3 ()ab展开式的展开式的 规律，规律，你能否得猜想你能否得猜想() n ab的展开式的展开式中中 01 , kn 的值的值？ 学生学生 11： 011 ()n nnkn kk nnn nn n abC aC abC ab C b 数即同类 项的个数 这 一 结 论，引导 同学们通 过一般到 特殊，用 组合计数 模型对各 项系数进 行研究 得 到 展开式系 数 的 猜 想 证证 明明 定定 理理 问题问题 3你你 能能证明证明 011 ()n nn nn kn kknn nn ab C aC ab C abC b ()Nn 吗？吗？ 教师教师 12
15、：提出问题：提出问题 3 学生学生 12：提出想法 教师教师 13：你认为证明问题：你认为证明问题 3，关键，关键 是几步？是几步？ 学生学生 13： （1）项的结构； （2）项的 系数 教师教师 14： 证明：()nab是n个( )ab 相乘，根据多项式的乘法，展开式每一 由归 纳猜想到 理论证 明 引 导 提炼学生 提炼证明 要点 强 调 规 范 表 达 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 明明 晰晰 概概 念念 问题问题 4从从 数列的角度看数列的角度看二项二项 式展开式式展开式， 你能获得你能获得 什么认识什么认识？ 项都满足 n kk ab （ 0,1, kn ） 对项 n
16、 kk ab （ 0,1, kn ）看成问 题： 从n个括号中选择k个括号选 “b”， 剩余括号选择“a” ，相乘而成可这样 设计计数模型，要做这件事，可分成两 步来完成： 第一、 从n个括号中选择k个括号选 “b” ，有 k n C种选择； 第二、剩余括号选择“a”就1 n k n k C 种选法， 根据分步计数原理有1 kk nn CC 种选 法 所以，项 n kk ab 的同类项有 k n C，故 n kk ab 的系数为 k n C（0,1, kn） 所以，()nab展开式每一项满足 kn kk n C ab （ 0,1, kn ） 教师教师 15：上述公式叫二项式定理，上述公式叫二项
17、式定理， 展开式共有展开式共有1n项，其中各项的系数项，其中各项的系数 k n C （ 0,1, kn ）叫做二项式系数）叫做二项式系数 教师教师 16：提出问题：提出问题 4 学生学生 14：二项展开式可以看成是一 个数列的和， 数列的通项公式是 kn kk n C ab ， 表示数列第1k 项 教师教师 17：二项式展开式的通项是展二项式展开式的通项是展 开式中第开式中第1k 项项： 1 kn kk kn TC ab 明 晰 概念 学 生 从数列的 角度获得 对二项式 展开式的 再认识 让学 生体会利 用二项式 定理模型 进行计 算，感受 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 问问
18、题题5你能你能 根据根据 () n ab的 展 开的 展 开 式式得出得出()nab的展的展 开式开式吗吗？ 课堂练课堂练习习1 (1) 求求(1)nx的的 展开式；展开式； (2)求求 6 1 (2)x x 的 展 开的 展 开 式式 课堂练课堂练习习2 求求 9 1 ()x x 展开展开 式中式中 3 x的系数的系数 学生学生 15：根据二项式定理，把 ()nab化成()nab 的形式， 把此式子中 的“b”看成二项式定理中的“b”即可得 到结论（写出具体展开式） 教师教师 18：布置课堂练习：布置课堂练习 1、2 学生学生 16：完成课堂练习，并通过计 算器核对答案 数学模型 的在数学
19、应用中的 价值 课堂课堂 练习练习 1 熟悉 二项式定 理模型 课堂课堂 练习练习 2让 学生体会 用通项公 式表示展 开式的简 洁性 问题问题 6你你 从二项式定理的发从二项式定理的发 现现、 证明与应用的过证明与应用的过 程中体会到一些什程中体会到一些什 么？么？ 教师教师 19：提出问题：提出问题 6 学生学生 17：本节课获取二项式定理的 过程： 先由特殊察 3 ()ab、 4 ()ab、 5 ()ab 的展开式猜想一般() n ab的展开式项的 结构，再通过对特殊形式 3 ()ab展开式 项的研究得到() n ab的展开式项的规 律，最后进行理论证明；课堂展示了获 取一个一般性结论的
20、过程：首先要通过 特殊到一般进行猜想结论，体现了数学 抽象过程；其次，得到猜想后，要进行 理论论证，体现了数学逻辑推理；最后， 得到结论后，要以此为模型进行应用， 体现了数学模型的应用 师 生 共同回顾 总结引 领学生感 悟数学认 知 的 过 程，体会 数学核心 素养 新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料 课课 堂堂 小小 结结 升升 华华 认认 知知 课后课后练习练习 1写出写出 6 (1)x 的展开式的展开式 2写出写出 3 3 1 () 2 n x x 的 展 开的 展 开 式式的第的第1r 项项 课后思考课后思考 1 3 ()abc的 展开式 为 2请同学们观请同学们观 察下表察下表 （我国宋朝时 期数学家杨辉所做 的一个表） ，你有什 么发现？ 学生学生 18：学生课后进行思考，并完 成课后练习 课后 练习是对 定理巩 固，思考 练习是对 本节知识 的一个深 化认识， 同时也为 下节内容 做好铺 垫
