1、4.单单摆摆 学习目标学习目标： 1.物理观念物理观念知道什么是单摆知道什么是单摆，单摆的构造单摆的构造， 单摆回复力的来源单摆回复力的来源2.科科 学思维学思维掌握单摆振动的特点掌握单摆振动的特点，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动3.科学探究科学探究 会用单摆测定重力加速度会用单摆测定重力加速度 阅读本节教材阅读本节教材，回答第回答第 44 页页“问题问题”并梳理必要知识点并梳理必要知识点 教材第教材第 44 页问题页问题提示：摆提示：摆角很小时角很小时，单摆的振动为简谐运动单摆的振动为简谐运动 一、单摆一、单摆及单摆的回复力及单摆的回复力 1单摆模型单摆
2、模型 如果细线的如果细线的长度长度不可改变不可改变，细线的细线的质量质量与小球相比可以忽略与小球相比可以忽略，球的球的直径直径与线的长度与线的长度 相比也可以忽略相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆这样的装置就叫作单摆单摆是实际摆的单摆是实际摆的理想化理想化模型模型 在单摆模型里在单摆模型里，悬线无弹性悬线无弹性、不可伸缩不可伸缩、没有质量没有质量，小球是质点小球是质点，单摆是一个理想单摆是一个理想 化的模型化的模型 2单摆的回复力单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿回复力的提供：摆球的重力沿切线切线方向的分力方向的分力，即即 Fmgsin_. (2)回复力的特点：在偏角很小时回复力
3、的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 正比正比，方向总指向方向总指向平衡位置平衡位置 (3)运动规律：单摆在偏角很小时做运动规律：单摆在偏角很小时做简谐简谐运动运动，其振动图像遵循正弦函数规律其振动图像遵循正弦函数规律 二、单二、单摆的周期摆的周期 1影响单摆周期的因素影响单摆周期的因素 (1)单摆的周期与单摆的周期与摆球质量摆球质量、振幅振幅无关无关 (2)单摆的周期与单摆的周期与摆长摆长有关有关，摆长越长摆长越长，周期周期越大越大 2周期公式周期公式 (1)公式：公式：T2 l g. (2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关
4、的性质单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置单摆回复力的方向总是指向悬挂位置() (2)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的() (3)单摆的振幅越大周期越大单摆的振幅越大周期越大() (4)单摆的周期与摆球的质量无关单摆的周期与摆球的质量无关() 2(多选多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力关于单摆摆球在运动过程中的受力， ，下列结论正确的是下列结论正确的是() A摆球受重力摆球受重力、摆线的张力作用摆线的张力作用 B摆球的回复力最大时摆球的
5、回复力最大时，向心力为零向心力为零 C摆球的回复力为零时摆球的回复力为零时，向心力最大向心力最大 D摆球的回复力最大时摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大摆线中的张力大小比摆球的重力大 ABC单摆在运动过程中单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力摆球受重力和摆线的拉力，故故 A 对；重力垂直于摆线对；重力垂直于摆线 的分力提供回复力的分力提供回复力，当回复力最大时当回复力最大时，摆球在最大位移处摆球在最大位移处，速度为零速度为零，向心力为零向心力为零，则则 摆线拉力小于重力摆线拉力小于重力，在平衡位置处在平衡位置处，回复力为零回复力为零，速度最大速度最大，向心力最大向心力最大，
6、摆球的加速摆球的加速 度方向沿摆线指向悬点度方向沿摆线指向悬点，故故 D 错错，B、C 对对 3(多选多选)如图所示是一个单摆如图所示是一个单摆(5)，其周期为 其周期为 T，则下列说法正确的是则下列说法正确的是() A把摆球的质量增加一倍把摆球的质量增加一倍，其周期不变其周期不变 B此摆由此摆由 OB 运动的时间为运动的时间为T 4 C摆球由摆球由 BO 时时，动能向势能转化动能向势能转化 D摆球由摆球由 OC 时时，动能向势能转化动能向势能转化 ABD单摆的周期与摆球的质量无关单摆的周期与摆球的质量无关，A 正确；此摆由正确；此摆由 OB 运动的时间为运动的时间为T 4， ，B 正确正确；
7、摆球由摆球由 BO 时时，势能转化为动能势能转化为动能，由由 OC 时动能转化为势能时动能转化为势能，C 错误错误，D 正正 确确 单摆的回复力单摆的回复力 教材第教材第 44 页页“思考与讨论思考与讨论”答答案提示：案提示： 方法一：分析单摆的回复力方法一：分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比看其与位移是否成正比，并且方向相反并且方向相反 方法二：分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系方法二：分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系 问题问题 1：(1)生活中生活中，我们经常可见悬挂起来的物体在竖直平面内摆动我们经常可见悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，这样摆动的这样摆动的 装置叫单摆装置
8、叫单摆，请举几例！请举几例！ (2)判断以下摆动模型是不是单摆判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？为什么？ 问题问题 2：试分析单摆的回复力由什么力提供？：试分析单摆的回复力由什么力提供？ 提示提示：问题问题 1：(1)生活中常常看到摆钟生活中常常看到摆钟、荡船荡船、秋千都在竖直平面内做摆动秋千都在竖直平面内做摆动，理想理想 情况下都可看成单摆模型情况下都可看成单摆模型 (2)模型模型不是单摆不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略因为橡皮筋伸长不可忽略 模型模型不是单摆不是单摆，因为绳子质量不可忽略因为绳子质量不可忽略 模型模型不是单摆不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径因为绳长不是远大于球的直径
9、模型模型不是单摆不是单摆，因为悬点不固定因为悬点不固定，因而摆长在发生变化因而摆长在发生变化 模型模型是单摆是单摆 问题问题 2： 单摆的回复力是重力的切向分力单摆的回复力是重力的切向分力， 也是摆球沿运动方向的合力也是摆球沿运动方向的合力， 即即 Fmgsin mgx L kx. 1单摆运动特点单摆运动特点 (1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度因此在运动过程中只要速度 v0，半径方半径方 向都有向心力向都有向心力 (2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置因此在运动过程中
10、只要不在平衡位置， 轨迹的切线方向都有回复力轨迹的切线方向都有回复力 2摆球的受力摆球的受力 (1)任意位置任意位置 如图所示如图所示，G2Gcos ，FG2的作用就是提供摆球绕的作用就是提供摆球绕 O做变速圆周运动的向心做变速圆周运动的向心 力；力；G1Gsin 的作用是提供摆球以的作用是提供摆球以 O 为中心做往复运动的回复力为中心做往复运动的回复力 (2)平衡位置平衡位置 摆球经过平衡位置时摆球经过平衡位置时，G2G，G10，此时此时 F 应大于应大于 G，FG 提供向心力提供向心力，因此因此， 在平衡位置在平衡位置，回复力回复力 F回 回 0，与与 G10 相符相符 (3)单摆的简谐运
11、动单摆的简谐运动 在在很小时很小时(理论值为理论值为5)，sin tan x l ， G1Gsin mg l x， G1方向与摆球位移方向相反方向与摆球位移方向相反，所以有回复力所以有回复力 F回 回 G1mg l xkx(kmg l ) 因此因此，在摆角在摆角很小时很小时，单摆做简谐运动单摆做简谐运动 【例【例 1】(多选多选)下列关于单摆的说法下列关于单摆的说法，正确的是正确的是() A单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为 A(A 为振幅为振幅)，再运动到再运动到 平衡位置时的位移为零平衡位置时的位移为零 B单摆摆球的回复力等于摆球所
12、受的合力单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力 C单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力 D单摆摆球经过平衡位置时加速度为零单摆摆球经过平衡位置时加速度为零 思路点拨思路点拨：解决该题的关键是要分清物体的受力：解决该题的关键是要分清物体的受力、回复力回复力、向心力之间的关系向心力之间的关系 AC简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移摆球在正向最大位移处时位移为为 A，在平衡位置时位移应为零在平衡位置时位移应为零，A 正确；摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提正确；摆球的回复力由重
13、力沿圆弧切线方向的分力提 供供，合力在摆线方向的分力提供向心力合力在摆线方向的分力提供向心力，B 错误错误，C 正确；摆球经过最低点正确；摆球经过最低点(摆动的平摆动的平 衡位置衡位置)时回复力为零时回复力为零，但向心力不为零但向心力不为零，所以合力不为零所以合力不为零，加速度也不为零加速度也不为零，D 错误错误 对于单摆的两点说明对于单摆的两点说明 (1)所谓平衡位置所谓平衡位置，是指摆球静止时是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不并不 是指摆动过程中的受力平衡位置是指摆动过程中的受力平衡位置实际上实际上，在摆动过程中在摆动过程中，摆球受力不可
14、能平衡摆球受力不可能平衡 (2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力 Fmgsin 提供的提供的，不可误不可误 认为回复力是重力认为回复力是重力 G 与摆线拉力与摆线拉力 T 的合力的合力 跟跟进训练进训练 训练角度训练角度 1单摆模型单摆模型 1(多选多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型， ，其理想化条件是其理想化条件是() A摆线质量不计摆线质量不计 B摆线长度不伸缩摆线长度不伸缩 C摆球的直径比摆线长度小得多摆球的直径比摆线长度小得多 D只要是单摆的运动就是简谐运动只要是单摆的运动就是简谐运动
15、ABC单摆由摆线和摆球组成单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩，摆球直径摆球直径 远小于摆线长度远小于摆线长度，A、B、C 项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的， 只有在偏角很小只有在偏角很小(5)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D 项错误项错误 训练角度训练角度 2单摆的回复力单摆的回复力 2关于做简谐运动的单摆关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是下列说法正确的是( ) A摆球经过平衡位置时所受合力为零摆球经过平衡位置时所受合力为零 B摆球所受
16、合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 C只有在最高点时只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力回复力才等于重力和摆线拉力的合力 D摆球在任意位置处摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力回复力都不等于重力和摆线拉力的合力 C摆球经过平衡位置时摆球经过平衡位置时，回复力为零回复力为零，但由于摆球做圆周运动但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置经过平衡位置， 合力不为零合力不为零，合力提供向心力合力提供向心力，方向指向悬点方向指向悬点，A 错误错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧摆球所受回复力由重力沿圆弧 切线方向的分力提供切
17、线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力， 所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B 错误错误；根据牛顿根据牛顿 第二定律可知第二定律可知，摆球在最大位移处时摆球在最大位移处时，速度为零速度为零，向心加速度为零向心加速度为零，重力沿摆线方向的重力沿摆线方向的 分力等于摆线对摆球的拉力分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时在其他位置时，速速 度不为零度不为零，向心加速
18、度不为零向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力回复力 不等于重力和摆线拉力的合力不等于重力和摆线拉力的合力，故故 C 正确正确，D 错误错误 单摆的周期单摆的周期 教材第教材第 46 页页“实实验验”答案提示：答案提示： 利用描点法在坐标纸上画出利用描点法在坐标纸上画出 Tl 图像为曲线图像为曲线， T2l 图像为过原点的一条倾斜直线图像为过原点的一条倾斜直线 由由 此得出单摆振动周期与摆长的关系此得出单摆振动周期与摆长的关系 T2l. 情景设置：情景设置： 探究单摆周期的决定因素是什么探究单摆周期的决定因素是什么 振幅较小时
19、振幅较小时，周期与振幅有关吗？周期与振幅有关吗？ 问题探究：问题探究：1.定性探究单摆的振幅定性探究单摆的振幅、质量质量、摆长对周期有什么影响？摆长对周期有什么影响？ 2定量探究单摆的周期与摆长有什么关系？定量探究单摆的周期与摆长有什么关系？ 提示提示：1.单摆振动的周期与摆球的质量无关单摆振动的周期与摆球的质量无关；振幅较小时振幅较小时，周期与振幅无关周期与振幅无关；摆长摆长 越长越长，周期越大周期越大，摆长越短摆长越短，周期越小周期越小 2T l. 1摆长摆长 l 的确定的确定 实际的单摆摆球不可能是质点实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度所以摆长应是从悬点到摆球
20、球心的长度，即即 ll0 D 2 ，l0为摆线长为摆线长，D 为摆球直径为摆球直径 2重力加速度重力加速度 g 的变化的变化 (1)公式中的公式中的 g 由单摆所在地空间位置决定由单摆所在地空间位置决定 由由 GM R2 g 知知，g 随地球表面不同位置随地球表面不同位置、不同高度而变化不同高度而变化，在不同星球上也不相同在不同星球上也不相同， 因此应求出单摆所在处的等效值因此应求出单摆所在处的等效值 g代入公式代入公式，即即 g 不一定等于不一定等于 9.8 m/s2. (2)g 还由单摆系统的运动状态决定还由单摆系统的运动状态决定 如单摆处在向上加速发射的航天飞机内如单摆处在向上加速发射的
21、航天飞机内，设加速度为设加速度为 a，此时摆球处于超重状态此时摆球处于超重状态， 沿圆弧切线方向的回复力变大沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变摆球质量不变，则重力加速度的等效值则重力加速度的等效值 gga. (3)g 还由单摆所处的物理环境决定还由单摆所处的物理环境决定 如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中， 回复力应是重力和电场力的合力回复力应是重力和电场力的合力 在圆弧切线方向的分力在圆弧切线方向的分力，所以也有所以也有 g的问题的问题 【例【例 2】如图所示如图所示，将摆长为将摆长为 L 的单摆放在一升降机中的单摆放在一升降机中，若升
22、降机以加速度若升降机以加速度 a 向向 上匀加速运动上匀加速运动，求单摆的摆动周期求单摆的摆动周期 思路点拨思路点拨：本题考查单摆周期公式本题考查单摆周期公式解题关键是正确理解单摆周期公式中的解题关键是正确理解单摆周期公式中的 g 应为应为 等效重力加速度等效重力加速度，由单摆所处的位置由单摆所处的位置，摆球的受力情况及系统运动的加速度决定摆球的受力情况及系统运动的加速度决定 解析解析单摆的平衡位置在竖直位置单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止若摆球相对升降机静止，则摆球受重力则摆球受重力 mg 和绳拉力和绳拉力 F，根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：Fmgma，此时摆球的视重此时
23、摆球的视重 mgFm(ga)， 所以单摆的等效重力加速度所以单摆的等效重力加速度 g F m ga，因而单摆的周期为因而单摆的周期为 T2 L g 2 L ga. 答案答案2 L ga 确定单摆周期的方法确定单摆周期的方法 (1)明确单摆的运动过程明确单摆的运动过程，判断是否符合简谐运动的条件判断是否符合简谐运动的条件 (2)运用运用 T2 l g时 时，注意注意 l 和和 g 是否发生变化是否发生变化，若发生变化若发生变化，则分别求出不同则分别求出不同 l 和和 g 时的运动时间时的运动时间 (3)单摆振动周期改变的途径：单摆振动周期改变的途径： 改变单摆的摆长；改变单摆的摆长； 改变单摆的
24、重力加速度改变单摆的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重) (4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系 跟跟进训练进训练 3如图所示如图所示，三根细线在三根细线在 O 点处打结点处打结， ，A、B 端固定在同一水平面上相距为端固定在同一水平面上相距为 l 的两的两 点上点上，使使AOB90，BAO30，已知已知 OC 线长是线长是 l，下端下端 C 点系着一个小球点系着一个小球(可视可视 为质点且做小角度摆动为质点且做小角度摆动) 让小球在纸面内振动让小球在纸面内振动，周期周期 T_.让小球
25、在垂直纸面内振动让小球在垂直纸面内振动，周期周期 T _. 解析解析让小球在纸面内振动让小球在纸面内振动，在偏角很小时在偏角很小时，单摆做简谐运动单摆做简谐运动， ，摆长为摆长为 l，周期周期 T 2 l g； ； 让小球在垂直纸面内振动让小球在垂直纸面内振动， 在偏角很小时在偏角很小时， 单摆做简谐运动单摆做简谐运动， 摆长为摆长为 3 4 ll ， 周期周期 T2 3 4 1 l g . 答案答案2 l g 2 3 4 1 l g 1物理观念：物理观念：单摆的回复力单摆的回复力、周期周期 2科学思维：科学思维：图像法分析单摆的振动图像法分析单摆的振动 3科学探究：科学探究：探究单摆的周期与
26、摆长的关系探究单摆的周期与摆长的关系 1(多选多选)关于单摆关于单摆，下列说法正确的是下列说法正确的是( ) A摆球受到的回复力是它所受的合力摆球受到的回复力是它所受的合力 B摆球经过平衡位置时摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零所受的合力不为零 C摆角很小时摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比 D摆角很小时摆角很小时，摆球的回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比摆球的回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 BD摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
27、，不是摆球所受的合力不是摆球所受的合力，A 选项错误选项错误；摆球经过平衡位置时摆球经过平衡位置时，回复力为零回复力为零，但由于摆球做圆周运动但由于摆球做圆周运动，有向心力有向心力，合合 力不为零力不为零，方向指向悬点方向指向悬点，B 选项正确选项正确；摆角很小时摆角很小时，回复力与摆球相对于平衡位置的回复力与摆球相对于平衡位置的 位移大小成正比位移大小成正比，但合力没有此关系但合力没有此关系，C 选项错误选项错误，D 选项正确选项正确 2(多选多选)发生下述哪一种情况时发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大单摆周期会增大( ) A增大摆球质量增大摆球质量 B增加摆长增加摆长 C减小单摆振幅减小
28、单摆振幅 D将单摆由山下移到山顶将单摆由山下移到山顶 BD由单摆的周期公式由单摆的周期公式 T2 l g可知 可知，g 减小或减小或 L 增大时周期会变大增大时周期会变大 3(多选多选)一个单摆做小角度摆动一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示其振动图像如图所示，以下说法正确的是以下说法正确的是() At1时刻摆球速度为零时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小悬线对它的拉力最小 Bt2时刻摆球速度最大时刻摆球速度最大，但加速度不为零但加速度不为零 Ct3时刻摆球速度为零时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大悬线对它的拉力最大 Dt4时刻摆球速度最大时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大悬线对它的拉
29、力最大 ABD由振动图像可知：由振动图像可知：t1和和 t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球速此时摆球速 度为零度为零，悬线对摆球的拉力最小悬线对摆球的拉力最小；t2和和 t4时刻摆球位移为零时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置正在通过平衡位置，速度速度 最大最大，悬线对摆球的拉力最大悬线对摆球的拉力最大故正确答案为故正确答案为 A、B、D. 4若单摆的摆长不变若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的摆球的质量增加为原来的 4 倍倍，摆球经过平衡位置时的速摆球经过平衡位置时的速 度减小为原来的度减小为原来的1 2， ，则单摆摆动的则单摆摆动的 频率频率_，振
30、幅变振幅变_ 解析解析单摆的周期和频率由摆长和当地的重力加速度决定单摆的周期和频率由摆长和当地的重力加速度决定， ，与摆球的质量和速度与摆球的质量和速度 无关无关；另外由机械能守恒定律可知另外由机械能守恒定律可知，摆球经过平衡位置的速度减小了摆球经过平衡位置的速度减小了，则摆动的最大高则摆动的最大高 度减小度减小，振幅减小振幅减小 答案答案不变不变小小 5思维拓展思维拓展如图所示如图所示，ACB 为光滑弧形槽为光滑弧形槽， ，弧形槽半径为弧形槽半径为 R，R AB .甲球从甲球从 弧形槽的球心处自由落下弧形槽的球心处自由落下，乙球从乙球从 A 点由静止释放点由静止释放 问题：问题：(1)两球第
31、两球第 1 次到达次到达 C 点的时间之比点的时间之比 (2)若在圆弧的最低点若在圆弧的最低点 C 的正上方的正上方 h 处由静止释放小球甲处由静止释放小球甲，让其自由下落让其自由下落，同时乙同时乙 球从圆弧左侧由静止释放球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲欲使甲、乙两球在圆弧最低点乙两球在圆弧最低点 C 处相遇处相遇，则甲球下落的高则甲球下落的高 度度 h 是多少？是多少？ 解析解析(1)甲球做自由落体运动甲球做自由落体运动 R1 2gt 2 1，所以所以 t1 2R g . 乙球沿圆弧做简谐运动乙球沿圆弧做简谐运动(由于由于R，可认为摆角可认为摆角5) 此振动与一个摆长为此振动与一个摆长为 R
32、的单摆振动模型相同的单摆振动模型相同，故此等效摆长为故此等效摆长为 R，因此乙球第因此乙球第 1 次到达次到达 C 处的时间处的时间 t21 4T 1 4 2 R g 2 R g， ，所以所以 t1t22 2 . (2)甲球从离弧形槽最低点甲球从离弧形槽最低点 h 高处开始自由下落高处开始自由下落，到达到达 C 点的时间点的时间 t甲 甲 2h g . 由于乙球运动的周期性由于乙球运动的周期性， 所以乙球到达所以乙球到达 C 点的时间点的时间 t乙 乙 T 4 nT 2 2 R g(2n 1)(n 0,1,2，) 由于甲由于甲、乙在乙在 C 处相遇处相遇，故故 t甲 甲 t 乙乙 解得解得 h 2n 1 22R 8 (n0,1,2，) 答案答案(1)2 2 (2) 2n 1 22R 8 (n0,1,2，)
