1、万有引力理论的成就 1了解万有引力定律在天文学上的重要应用； 2会用万有引力定律计算天体质量； 3理解并运用万有引力定律处理天体问题的思 路和方法。 学习目标 复习回顾 1物体做圆周运动的向心力公式是什么？分别写 出向心力与线速度、角速度以及周期的关系式。 2 r Mm GF 2 mv F r 2 Fmr 2 2 ()Fmr T 2万有引力定律的内容是什么？如何用公式表示？ 重力是万有引力的一个分力，当忽略 了地球的自转时，可认为重力在数值 上就等于万有引力大小。 3重力和万有引力的关系？ F n R M G m w r F引 物体m在纬度为的位置，万有引力指 向地心，分解为两个分力：m随地球
2、 自转围绕地轴运动的向心力和重力。 2 R mM Gmg “给我一个支点， 我可以撬动球。” 新课导入 那我们又是怎么知道巨大的地球的质量呢？ 称量地球的质量 1思路：地球的质量不可能用天平称量。 万有引力定律是否能给予我们帮助呢？ 重力是万有引力的一个分力，当忽略了地球 的自转时，可认为重力在数值上就等于万有 引力大小。 2 mM mgG R 称量地球的质量 1分析：若不考虑地球自转的影响，地 面上物体的重力等于地球对它的引力。 2 mM mgG R M 2 gR G 其中g、R在卡文迪许之前已经知道，而卡 文迪许测出G后，就意味着我们也测出了地 球的质量。卡文迪许把他自己的实验说成 是“称
3、量地球的重量”是不无道理的。 著名文学家马克吐温满怀激情地说： “科学真是迷人。根据零星的事实，增添一点 猜想，竟能赢得那么多收获！” 称量地球的质量 天体质量的计算 思考：应用万有引力可算出地球的质量，能否 算出太阳的质量呢？ 1、地球公转实际轨道是什么形状？为了解决问 题的方便，我们通常可以认为地球在绕怎样的 轨道做什么运动？ 近似 天体质量的计算 2、地球作圆周运动的向心力是由什么力提供的？ r M m F 天体质量的计算 r M m F n FF 引 2 r Mm GF 引 rmF n 2 rm R Mm G 2 2 G r M 32 地球公转角速度 不能直接测出， 但我们知道地球 公
4、转的周期T 2 3 2 4 r GT （M与m无关） 天体质量的计算 中心天体 M 环绕天体 m 求解思路：环行天体的向心力由中心天体对其万有 引力独家提供 具体方法：r T m r mM G 2 2 ) 2 ( 2 32 4 GT r M 注意：待求天体（M）的质量与环行天体（m）的 质量无关 拓展：利用月球求地球质量 天体质量的计算 月球绕地球运行的周期T=27.3天， 月球与地球的平均距离r=3.84108m r T m r Mm G 2 2 ) 2 ( 2 32 4 GT r M M地=5.981024kg 天体密度的计算 当星球绕中心天体表面运行时，r=R： 黄金替换 质量为m的物体
5、在地球（星体）表面受到 的万有引力等于其重力，即Gmg。可以 得到：GMgR2 由于G和M（地球质量）这两个参数往往 不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计 算时，一般都采用上述代换，这就避开了 万有引力常量G值和地球的质量M值 线速度v：v 角速度： 周期T： 向心加速度an： 发现未知天体海王星 在1781年发现的第七个行星天王星的运动轨 道，总是同根据万有引力定律计算出来的有一定偏 离。当时有人预测，肯定在其轨道外还有一颗未发 现的新星，这就是后来发现的第八大行星海王星。 海王星的实际轨道由英国剑桥大学的学生亚当 斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天王星的观 测资料各自独立地利用万有引力
6、定律计算出来的。 预言哈雷彗星回归： 英国天文学家哈雷依据万有引力定律，用一年 时间计算24颗彗星的轨道，并大胆猜测在1531年、 1607年、1682年出现的三颗彗星是同一颗星，周期 约为76年。 海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立 了万有引力定律的地位。 常考题型 题组一计算天体质量和密度 题12019广东佛山一中高一检测（1）开普勒第三 定律指出：行星绕太阳运动椭圆轨道的半长轴a的三次 方与它的公转周期T的二次方成正比，即 =k，k是 一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动 按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达 式（已知引力常量为G，太阳的质量为M太）； 3 2
7、 a T 常考题型 （2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有 中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定 月地距离为3.84108m，月球绕地球运动的周期为 2.36106s，地球半径取6400km，试估算地球的质量 M和密度。（G=6.6710-11Nm2/kg2，计算结果均保 留一位有效数字） 【解】（1）根据牛顿第二定律： =ma ， 又根据开普勒第三定律：k= ， 由上两式得：k= （2）对地月系统： = ， 得：M地= 61024 kg。 地球的密度= = 5103 kg/m3。 【点评】开普勒第三定律 中的k是一个与中心天 体质量有关的常量。 2 M m G a 太 2
8、2 4 T 3 2 a T 2 4 GM 太 2 M m G r 月地 2 2 4 mr T 月 2 3 2 4 r GT M V 地 3 4 3 M R 地 3 2 a k T 计算天体质量的两个基本思路计算天体质量的两个基本思路 思路一（环绕法）：将行星绕恒星的运动、卫星绕 行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由 万有引力提供的。有如下关系： G = m =mr 。 思路二（重力加速度法）：中心天体表面上物体的 重力与所受万有引力相等，mg= 。 天体密度的计算方法天体密度的计算方法 （1）利用中心天体表面的重力加速度求密度 其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径。 2 2 v m
9、r r 2 2 4 T 2 M m G R 2 3 3 44 3 GM m mg g R GR MR 2 M m G R （2）利用中心天体的卫星求密度 其中R为待求天体半径，r为卫星的轨道半径。 2 3 22 23 3 4 3 4 3 M m Gmr r rT GT R MR 题2 某星球的半径为R，表面的重力加速度为g，引力常 量为G，则该星球的平均密度为（） ABCD 【解析】根据重力近似等于星球的万有引力 ，有 解得M= 。把该星球看做均匀球体，则星球体积为 V= ， 则其密度为 。 【答案】B 2 3 4 g RG 3 4 g RG g RG 2 g RG 2 M m Gmg R 2
10、 gR G 3 4 3 R M V 3 4 g GR “黄金代换法黄金代换法”的应用技巧的应用技巧 在不考虑地球自转的影响时，在地球附近mg= ， 化简得gR2=GM。此式通常叫做黄金代换式，适用于 任何天体，主要用于天体的质量M未知的情况下，用 该天体的半径R和表面的“重力加速度”g代换M。 2 M m G R 题3 2019广东仲元中学高一检测人造卫星绕地球做 匀速圆周运动的线速度大小为v，轨道半径为r，已知引 力常量为G，根据万有引力定律，可算出地球的质量为 （） ABCD 2 vr G 2 2 vr G 2 vr G vr G A 【特别提醒】 求中心天体的质量时，需要知道的半径是以该
11、天体为圆 心做圆周运动的轨道半径，不是中心天体的半径，也不 是做圆周运动的天体的半径。 题4 有一星球的密度与地球的密度相同，但它表 面处的重力加速度是地面上的重力加速度的2倍， 则该星球的质量将是地球质量的（） AB8倍C16倍D64倍 1 4 B 题5 2019石家庄一中高一检测“嫦娥四号”探测 器已于2019年1月3日在月球背面安全着陆，开展月表 形貌与地质构造调查等科学探测。已知月球半径为R0， 月球表面处重力加速度为g0，地球和月球的半径之比 为 ，表面重力加速度之比为 ，则地球和月球 的密度之比为（） ABC4D6 0 4 R R 0 6 g g 2 3 3 2 B 题6 2019
12、辽宁大连高三一模如图所示，“嫦娥三 号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号” 在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l， 该弧长对应的圆心角为弧度，已知引力常量为G，则 月球的质量是（） ABCD 3 3 l G t 3 2 Gl t 3 2 l G t 2 3 t G l C 题7 2019安徽宿州高一期末地球表面的重力加 速度为g，则离地面高度等于地球半径的地方，重 力加速度为（） A0.25gB0.5gC2gD4g 【解析】地面上方高h处：mg=G ，地面上 mg=G ，联立解得g=0.25g。 【答案】A 题组二天体表面及离天体某高度处的重力加速度 2 M m R
13、h 2 M m R 题8 2015重庆卷航天员王亚平在“天宫一号” 飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全 失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面 高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G， 则飞船所在处的重力加速度大小为（） A0BCD 2 () GM R h 2 () GM m R h 2 GM h B 题9 假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球 质量M地之比为M火 M地=p，火星半径R火和地球半 径R地之比为R火 R地=q，那么火星表面处的重力加 速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火 g地等 于（） Apq2BCpqD p q 2 p q D 题10 已知
14、地题球质量为月球质量的81倍，地球半径约为 月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处，以相 同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离 分别为s月和s地，则s月 s地约为（） A9 4B6 1C3 2D1 1 【解析】对于处在星球表面的物体，其所受的重力近似等 于万有引力，由公式 =mg，代入数据可解得 = ； 又由平抛运动的规律可知s=vt，t= ，整理得s= ，则 s月 s地=9 4。 【答案】A 题组三万有引力定律与抛体运动知识的综合应用 2 M m G R g g 月 地 16 81 2h g 2h v g 题11 某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球 的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为 60m，则在该星球上，从同样高度、以同样的初速 度平抛同一物体，射程应为（） A10mB15mC90 mD360 m A 内容小结 1万有引力定律在天文学中的应用，一般有 两条思路： (1) 地面（或某星球表面）的物体的重力近 似等于万有引力 2 R mM Gmg （2）环绕天体所需的向心力由中心天体对 环绕天体的万有引力提供 n FF 引 r T mrm r Mm G 22 2 ) 2 ( 2了解了万有引力定律在天文学中具有 的重要意义。 谢 谢
