1、平面与平面平行 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 一、回顾平面与平面平行的定义 平面与平面平行（简称面面平行） 定义：已知平面 和平面 ， 当 时，称平面 和平面 平行，记作 . 符号表示： 图形表示： 面面平行的定义给出了面面平行的一个充要条件. 二、平面与平面平行的性质 第二类：线线关系 分析： 构成要素 有了面面平行的定义接下来大家想探究哪些问题呢？ 研究一个对象的性质 直线 我们关心这组对象的属性，即有哪些性质？ 一个平面 思考：如果已知 ，我们能得到哪些性质呢？这与什么有关系呢 ？ 一个平面 直线第一类：线面关系 研究它的构成要素的关系 二、平面与平面平行的性质 第二类：线
2、线关系 的构成要素 平行 异面 ？ 直线 一个平面 区别： 能不能 共面 一个平面 直线 第一类：线面关系 第一类：线面关系 第二类：线线关系 借助一个平面 二、平面与平面平行的性质 若 ， ， ，按照前面的分析， 共 面且没有公共点，则 . 你能用自己理解的语言叙述一下这个面面 平行的性质吗？ 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它 们的交线平行. 二、平面与平面平行的性质 你能写出严格的数学推理证明吗？ 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交 线平行. 二、平面与平面平行的性质定理 平面与平面平行的性质定理（简称面面平行的性质定理） 文字语言:如果两个平行平面同时与第三个
3、平面相交，那么它们的 交线平行. 符号语言： 图形语言： 面面平行 线线平行 面面平行的性质定理给出了面面平行的一个 条件. 必要 三、直线与平面平行的判定 问题：如果我们把面面平行的性质定理逆向去分析，已知线线 平行，能不能得到面面平行呢？ 分析：假设直线 都在平面 内，且 ，将直线 同时移出平面 ，设移出后的直线分别为 ，则 ，设 所确定的平面为 ，判断平面 与平面 的位置关系，并 说明理由. 三、直线与平面平行的判定 分析：假设直线 都在平面 内，且 ，将直线 同时移出平面 ，设移出后的直线分别为 ，则 ，设 所确定的平面为 ，判断平面 与平面 的位置关系，并 说明理由. 直观上看两个平
4、面相互平行，这个问题直接分 析有一定难度，不妨从反面想一想. 三、平面与平面平行的判定 三、平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行的判定定理（简称面面平行的判定定理） 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面 ，那么这两个平面平行. 面面平行的判定定理给出了面面平行的一个 条件. 面面平行 线线平行 充分 线面平行 图形语言： 三、平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行的判定定理 推论 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面 内的两条直线，则这两个平面平行. 面面平行 线线平行 图形语言： 四、总结 空间间中的平行关系 直线线与直线线平行 直线线与平面
5、平行 平面与平面平行 平面与平面平行 的性质和判定定理 四、小结 面面平行 定义 (明确研究对象) 面面平行的定义给出了面面平行的一个充要条件. 面面平行的性质定理（研究对象的性质） 面面平行的性质定理给出了面面平行的一个必要条件. 面面平行的判定定理（逆向看性质结论，研究判定） 面面平行的判定定理给出了面面平行的一个充分条件. 四、总结 面面平行 线线平行 线面平行 直线与平面平行 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 一、回顾直线与平面平行的定义 直线与平面平行（简称线面平行） 定义：设 是空间中的一条直 线， 是空间中的一个平面，当 时，称直线 与平面 平 行，记作 . 符号表示：
6、 图形表示： 线面平行的定义给出了线面平行的一个充要条件. 二、直线与平面平行的性质 思考：如果已知 ,我们能得到哪些性质呢？这与什么有关系呢？ 分析： 研究它的构成要素的关系 ？ 有了线面平行的定义，接下来大家想探究哪些问题呢？ 研究一个对象的性质 直线 我们关心这组对象的属性，即这组对象有哪些性质？ 一条直线 一个平面 构成要素 二、直线与平面平行的性质 平行 异面 ？ 直线 一条直线 一个平面 ？ 区别 ： 能不能 共面 构成要素 借助一个平面 二、直线与平面平行的性质 ,过直线 作平面 ，设 ，按照前面 的分析， 共面且没有公共点，则 . 你能用自己理解的语言叙述一下这个线面 平行的性
7、质吗？ 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这 个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行. 二、直线与平面平行的性质 你能写出严格的数学推理证明吗？ 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线 的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的 交线平行. 二、直线与平面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理（简称为线面平行的性质定理） 文字语言：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平 面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行. 符号语言： 图形语言： 线面平行的性质定理给出了线面平行的一个 条件. 线面平行 线线平行 必要 二、直线与平面平行的性质定理 思考
8、：由直线与平面平行的性质定理可知，如果 ，在平面 内存在直线 与直线 平行，平面 内有多少条直线与直线 平行 ？这些直线之间是什么关系？ 分析：过直线 可以作出无数个平面 这些直线都相互平行 这些平面与 相交于无数条直线 这些直线都与直线 平行 （平面 内存在无数条直线与已知直线 平行） 三、直线与平面平行的判定 问题：假设直线 在平面 内，即 ，将直线 平移出 平面 （记平移后的直线为 ），因为平移，所以 ，判 断直线 与平面 的位置关系，并说明理由. 分析：直观上可以猜出，直线 与平面 没有公共点，即 ，但这个结论是否正确呢？从正面思考有些难度，不妨从反面 想一想. 三、直线与平面平行的判
9、定 三、直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理（简称线面平行的判定定理） 文字语言:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么 这条直线与这个平面平行. 符号语言： 图形语言： 线面平行 线线平行 线面平行的判定定理给出了线面平行的一个充分条件. 四、小结 空间间中的平行关系 直线线与直线线平行 直线线与平面平行 平面与平面平行 直线线与平面平行 的性质质和判定定理 四、小结 线面平行 定义 (明确研究对象) 线面平行的定义给出了线面平行的一个充要条件. 线面平行的性质定理（研究对象的性质） 线面平行的性质定理给出了线面平行的一个必要条件. 线面平行的判定定理（逆向看性质结论
10、，研究判定） 线面平行的判定定理给出了线面平行的一个充分条件. 空间中的平行关系 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 一、情景与问题 请同学们观察选自我们生活中的一组图片，这些图片有什 么共同特征呢？我们怎样用数学的眼光去分析呢？ 一、情景与问题 一、情景与问题 一、情景与问题 我们以教室图片为例，把教室内的日 光灯管抽象成一条直线 ，黑板边界抽象成 直线 ，教室的地面抽象成平面 ，教室 的天花板抽象成平面 ，观察上述直线与 直线，直线与平面，平面与平面之间有什 么共同的特征？ 分析： 一个共同点是：都没有公共点. 一、情景与问题 分析： 没有公共点的几何图形之间的 关系，我们如何从数
11、学的角度去认 识它们呢？ 本主题的主要内容空间中的平行关系. 一、情景与问题 上述关系里有没有大家比较熟 悉的，初中我们学习了平行线的概 念，在同一平面内，没有公共点即 不相交的两条直线称为平行直线. 这个概念能不能推广到空间中呢？ 一、情景与问题 空间中，如果两条直线没有公共点 ，是不是一定是平行直线？ 如果直线 和直线 是空间中的两条直线 平行 异面 二、直线与直线平行的定义 直线与直线平行（简称线线平行） 定义：直线 和直线 是空间中的两 条直线且在同一平面内，如果 ，即没有公共点，则称这两条直 线为平行直线. 图形表示： 线线平行的定义给出了线线平行的一个充要条件. 三、直线与直线平行
12、的性质 说明：平面几何是空间几何的一个子集，空间几何对于平面几 何的概念和公理化体系既有统一性又有兼容性，所以平面内的 平行线的性质和判定定理在空间中都成立. 大家还记得初中学过的平面内的平行线的性质和判定定理吗？ 我们一起回顾一下： 三、直线与直线平行的性质 初中学过的平行线的性质有以下几点： （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同位角相等； （4）在同一平面内，经过直线外一点能且只能画 一条直线与这条直线平行； （5）在同一平面内，若两条直线分别与另一条直线 互相平行，则这两条直线也互相平行. 三、直线与直线平行的判定 初中学过的平行线的判定
13、有以下几点： （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同位角相等，两直线平行； （4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ； （5）平行于同一直线的两条直线相互平行. 三、直线与直线平行的性质 空间平行线的传递性： 空间中，平行于同一直线的两条直线相互平行,通常称为空间平 行线的传递性. 图形表示 ： 符号表示： 三、直线与直线平行的性质 问题：由空间平行线的传递性可以得到哪些性质呢？ 分析：结合之前几何体的学习，由空间平行线的传递性可以得到 一些线线平行关系. 例如，如图所示的棱柱中，因为侧面都是平 行四边形，所以有 . 三、直线与直线平行的性质
14、 问题：由空间平行线的传递性可以得到哪些性质呢？ 分析：由空间平行线的传递性可以得到空间中的等角定理：如果 一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同， 那么这两个角相等. 三、直线与直线平行的性质 等角定理：在空间中，如果 ,则有 . 分析：空间中的两个角，如果 都在同一平面内， 你能证明这个结论吗？请大家自己试着完成，如果两个角不在 同一平面内，怎样证明呢？ 三、直线与直线平行的性质 分析：? 依托两个三角形之间的关系 ? 三、直线与直线平行的性质 四、直线与平面平行的定义 前面我们研究了空间中两直线的平行关系，如果把其中一条直线拓 展成一个平面，使得直线和平面没有公共点呢?
15、比如教室内的日光灯管所在直线 ，和教室的地面所在平面 ，没 有公共点，我们也称直线和平面平行，记作 . 四、直线与平面平行的定义 直线与平面平行（简称线面平行） 定义：设 是空间中的一条直 线， 是空间中的一个平面，当 时，称直线 与平面 平 行，记作 . 符号表示： 图形表示： 线面平行的定义给出了线面平行的一个充要条件. 五、平面与平面平行的定义 如果把直线与平面平行中的直线也拓展成一个平面，使得两个平面 没有公共点呢? 比如教室的地面所在的平面 ，和教室的天花板所在平面 ，没有 公共点，我们称平面 和平面 平行，记作 . 五、平面与平面平行的定义 符号表示： 图形表示： 平面与平面平行（
16、简称面面平行） 定义：已知平面 和平面 ， 当 时，称平面 和平面 平行，记作 . 面面平行的定义给出了面面平行的一个充要条件. 六、总结 空间间中的平行关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 空间中垂直关系的构造 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 1.探究“在平面中过一定点作给定直线的垂线” 【问题1】如图，点 是正四面体正四面体侧面 上一点， 要在面 上过点 作一条与棱 垂直的线段， 该怎样作？写出作法，并说明理由. 【分析】 分析几何对象 间的位置关系 判断可操作性、操作方法 【解法1提纲 】 线面垂直判定定理 线面垂直的定义 平面基本事实3 【解法2提纲】 【变
17、式1】如图，点 是三棱锥三棱锥侧面 上一点，要在面 上 过点 作一条与棱 垂直的线段，该怎样作？ 如果是在正三棱锥中，甚至是任意三棱锥中呢？ 同【解法1】 提取、 转化到 三棱锥 【变式2】如图，点 是四棱锥四棱锥侧面 上一点，要在面 上 过点 作一条与棱 垂直的线段，该怎样作？ 如果是在任意的四棱锥中呢？ 同【解法1】 2.探究问题1的实际应用 如果在下列木块上过给定一点锯出垂直于侧棱的一条凹槽， 应该怎样做？ 三棱锥中呢？三棱锥中呢？四棱锥中呢？四棱锥中呢？正四面体正四面体 直角卡尺 正四面体 任意三棱锥 任意四棱锥 抽象概括类比迁移转化化归数学模型 实际模型学科理论上的可操作性与生活实际
18、中的可操作性的联系与不同. 3.探究“过平面上一定点作给定平面的垂线” 【问题2】如图，点 是三棱锥侧面 上一点， 要过点 作一条与平面 垂直的线段，该怎样作？ 写出作法，并说明理由. 分析几何对象间的位置关系 进行等价转化 等价转化的依据 思考及操作同问题1拓展 过定点作给定直线的垂面 【分析】 【解法提纲】2.过点P作直线AB的垂面. 1.过点P作直线AC的垂面. 【解法提纲】3.作出两个垂面的交线，证明其与平面ABC垂直 4.问题2的实际应用 如果要在木块上过一点打穿与侧面垂直的一个孔洞， 应该怎样做？ 从中能够得到 什么启发？ 你能否设计出 一个辅助工具 ，帮助打出这 个孔洞呢？ 长方
19、体长方体三棱锥中呢三棱锥中呢 ？ 总结与反思 回忆本节课研究了几何体中过一定点的哪些垂直关系. 你能够总结构造的基本策略吗？能够总结之间的相互转化关系吗？ 你能感受到数学学科操作和实际生活操作的联系和不同吗？ 总结与反思 核心概念：线面垂直判定定理 作给定直线的一个垂面 过一定点作给定直线的垂面 将垂面平移 在一平面内过一定点作给定直线的垂线 将垂面与平面相交 过一定点作给定平面的垂面 核心概念：面面垂直的判定定理 过一定点作给定平面的垂线 将两垂面相交 问题解答 【问题1解法1】 【问题1解法2】 【问题2解法】 【问题2解法】 【问题2解法】 11.4空间中的垂直关系 2020年海淀区空中
20、课堂 高一年级数学学科 CONTENTS 目 录 1 我们身边的“垂直” 2 线面垂直关系 3 面面垂直关系 生活中的线与面： 8 “从我这边看，树 苗挺直的，你那边 呢？” 任务一：同学们，从生活经验中汲取知识，你可以试着给 出线面垂直的定义吗？ 直线和平面垂直？ 如何用数学的眼光来看待生活中的垂直： 1.运用线、面等图形语言数学化生活经验(将生活中的具体 图形数学化） 2.运用几何的符号语言刻画“垂直”这一位置关系 3.明确研究过程中几何学的研究对象及其研究方法 1.利用初中的平面几何知识来 探索解决高中立体几何问题 2.利用平面图形解决立体图形 的问题，将线面垂直转化成在 一个平面内的两
21、条线之间的垂 直关系 空间中垂直概念的建立 ： 如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就 说直线 和平面 互相垂直。记作： 一.直线与平面垂直的定义： 下面请大家再来看几幅图片： 角（平面概念）两个平面垂直的概念 ？ 二.面面垂直： 1.半平面的定义 一个平面内的一条直线将这个平面分成两部分,其中每一 部分都叫半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角 的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2.二面角的定义 3.二面角的表示方法 二面角 l AB C EF D 二面角CAB E 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂 直于棱的两条射线
22、, 这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角，二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面 角的大小等于它平面角大小 A B P A1 B1 P1 l APB= A1P1B1 4.二面角平面角定义: 特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角 当一个二面角为直二面角时，我们就称这两个平面垂直 二面角的大小和顶点在棱上选取的位置无关 （1）.注意:二面角的平面角必须满足： 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 二面角平面角的范围: 0,180 (与顶点位置无关) 请同学们回忆并总结：立体几何中我们学习过哪些角？它们的范围都是什么？ l O A B （2）.
23、范围 ： 5.面面垂直的定义： 平面与平面垂直定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二 面角，那么我们称这两个平面互相垂直。 实际生活 直观感知 平面几何知识 图形特征 数学语言 CONTENTS 目 录 1 我们身边的“垂直” 2 线面垂直关系 3 面面垂直关系 研究空间线面垂直位置关系的思路： 研究空间直线与 平面位置关系 研究空间直线与平面内 直线的位置关系 空间几何问题平面几何问题 问题探究(一)： 1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线 和平面内的直线有怎样的位置关系呢？ 问题探究(一)： 1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线 是否垂直于这个平面内的任意一条直线呢？ 位
24、置关系 代数 几何 异面 相交 距离 度量角 线面垂直性质1： 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平 面内的所有直线. 符号语言： 问题探究(一) ： 2.我们知道，在平面内，如果两条直线同垂直于 另一条直线，那么这两条直线平行，这个性质能 推广到空间吗？ 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线 与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系 ？ A A1 B CD B1 C1 D1 探究：垂直于同一个平面的两条直线平行 ？ 分析： ？ 或 正难则反：反证法 假设欲证结论不成立 正常推理 导出矛盾 原命题得证 ab lo
25、b 已知:a, b, 求证:a / b反证法 否定结论 正确推理 肯定结论 导出矛盾 线面垂直性质2：垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言：图形： 给出了线面垂直的一个必要条件 定义验证旗杆所在 直线与地面上 的任意一条直 线都垂直 问题探究（二）：广场上新竖起了一根旗杆，我 们如何判断旗杆与地面是否垂直？ 从几个角度观察 ，能够让树种的 直呢？大家可以 利用身边的实物 做一下实验 直线与平面垂直的判定定理： 即： 如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面. 思考问题： 小结： 线面垂直性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么 这条直线垂直于这个平面内的所
26、有直线. 线面垂直性质2：垂直于同一个平面的两条直线平行 线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，则该直线和这个平面垂直.简记为“ 线线垂直，线面垂直” 小结： 线面垂直 线面垂直后可以有什么满足什么条件就能线面垂直 判定定理性质定理 定义（界定概念） （线面垂直的必要条件） （线面垂直的充要条件） （线面垂直的充分条件） CONTENTS 目 录 1 我们身边的“垂直” 2 线面垂直关系 3 面面垂直关系 研究空间面面位置关系的思路： 研究空间面面位置关系的思路： 研究空间面面位置关系的思路： 研究空间线面位置关系的思路： 面面垂直定义：如果两个平面相 交所成的二
27、面角是直二面角，那 么我们称这两个平面互相垂直. 问题探究1： 思考 观察猜想？ 观察猜想？ 观察猜想？ 研究思路： 问题探究1： 观察 l l c M N P 简记：面面面面垂直，则线面线面垂直 符号语言： 图形： l l c c 面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 性质定理给出了面面垂直的一个必要条件 观察猜想？ 问题探究2：观察、思考 长方体的侧棱和底面垂直，那么如图，侧棱 所在的一 个侧面 和下底面是什么关系呢？ A A1 B CD B1 C1 D1 A A1 B CD B1 C1 D1 问题探究2：猜想 这难道是一 种巧合吗？ 研究思
28、路： A A1 B CD B1 C1 D1 给出了面面垂直的一个充分条件 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则 这两个平面互相垂直. 面面垂直的判定定理： 图形表示 ： 符号表示： 简记为：线线面面垂直，则面面面面垂直 小结： 面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为“面面垂直， 线面垂直” 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.简记为“线 面垂直，面面垂直” 小结： 面面垂直 面面垂直后可以有什么满足什么条件就能面面垂直 判定定理性质定理 定义（界定概念） （面面垂直的必要条件） （面面垂直
29、的充要条件） （面面垂直的充分条件） 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 空间中的垂直关系典型例题解析2 【分析】【分析】已知：已知：线面垂直线线垂直 01 01 探究线面垂直中的线线垂直问题探究线面垂直中的线线垂直问题 【线面垂直的性质定理】【线面垂直的性质定理】 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面 内的任意直线内的任意直线. . CDEA CD EA CDEB CD EB l la a 01 01 探究线面垂直中的线线垂直问题探究线面垂直中的线线垂直问题 【线面垂直的判定定理】【线面垂直的判定定理】 如果一条
30、直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直 线垂直于这个平面线垂直于这个平面. . EEBEA ABEAB ABECD 面 面 线面垂直线线垂直线线垂直线面垂直 ABCD CD EB CD EA CDEB CDEA 01 01 探究线面垂直中的线线垂直问题探究线面垂直中的线线垂直问题 EEBEA ABEAB ABECD 面 面 线面垂直线线垂直线线垂直线面垂直 ABCD CD EB CD EA CDEB CDEA 关键在于能否寻找到 与CD垂直的并且包含直线AB的一个平面？ 与AB垂直的并且包含直线CD的一个平面？ 【分析】【分析】已知
31、：已知：线面垂直线线垂直 关键在于能否寻找到平面内的两条 相交直线与已知直线垂直？ 01 01 探究线面垂直中的线线垂直问题探究线面垂直中的线线垂直问题 【分析】【分析】 已知：已知：线面垂直线线垂直 所求：所求：线线垂直线面垂直 对几何对象垂直 关系的“转化转化” CDEB CD EB CDEA CD EA ABECD EEBEA CDEB CDEA 面 ABCD ABEAB 面 试证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线 也垂直于这个平面。 符号语言： 【分析】【分析】面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直 图形语言图形语言 文字语言 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究
32、面面垂直中的线面垂直问题 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 【分析】已知：面面垂直的应用 找两个平面的交线 在这两个平面内去寻 找与交线垂直的直线； 推导出线面垂直； 【面面垂直的性质定理】【面面垂直的性质定理】 如果两个平面互如果两个平面互相相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂 直于另外一个平面。直于另外一个平面。 MN a a aMN 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 【分析】已知：面面垂直的应用 找两个平面的交线 在这两个平面内去寻 找与交线垂直的直线； 推导出线
33、面垂直； EG同理可得 EF EF ACEF AC 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 所求：线面垂直的判定所求：线面垂直的判定m 直线直线m垂直于平面垂直于平面内的两条相交直线内的两条相交直线直线直线m平行平行于平面于平面的垂线的垂线 l m lm lm l / 直直线线直直线线直直线线平平面面 ab A m m ba Aba bm am , 直线直直线线直直线线平平面面 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 所求：线面垂直的判定所求：线面垂直的判定m 直线直线m垂直于平面垂直于平面内的两条相交直线内的两条相交直线直线直线m平
34、行平行于平面于平面的垂线的垂线 l m lm lm l / 直直线线直直线线直直线线平平面面 ab A m m ba Aba bm am , 直线直直线线直直线线平平面面 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 线线垂直线面垂直 m EEGEF EGm EFm 即：在平面内找到两条相交直线并与直线m垂直 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 面面垂直线面垂直 EG同理可得 线线垂直线面垂直 m EEGEF EGm EFm EFm m EF 【分析】【分析】面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直 EF EF ACEF AC 02 02 探究
35、面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 面面垂直 线面垂直 线线垂直 线面垂直 m EEGEF EGm EFm 对几何对象垂直关 系的“转化转化” EF EF ACEF AC EFm m EF 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 所求：线面垂直的判定所求：线面垂直的判定m 直线直线m垂直于平面垂直于平面内的两条相交直线内的两条相交直线直线直线m平行平行于平面于平面的垂线的垂线 l m lm lm l / 直直线线直直线线直直线线平平面面 ab A m m ba Aba bm am , 直线直直线线直直线线平平面面 02 02 探究面面垂直中的线面
36、垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 AC ACl l 1 1 1 l在平面内作l1AC， 【分析】【分析】已知：面面垂直的应用已知：面面垂直的应用 找两个平面的交线找两个平面的交线 在这两个平面内去寻在这两个平面内去寻 找与交线垂直的直线；找与交线垂直的直线； 推导出线面垂直；推导出线面垂直； 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 BD BDl l 2 2 2 l 在平面内作l2BD， 【分析】【分析】已知：面面垂直的应用已知：面面垂直的应用 找两个平面的交线找两个平面的交线 在这两个平面内去寻在这两个平面内去寻 找与交线垂直的直线；找与交线垂直的直线； 推导
37、出线面垂直；推导出线面垂直； 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 分析：分析：面面垂直面面垂直 线面垂直；线面垂直； 2 l 1 l 21 /lmlm或者只需证明： / 1 l只需证明： 21 /ll只需证明： 线线平行 线面平行 线线平行 线面垂直 寻找直线寻找直线m平行平行于平于平 面面的垂线的垂线 02 02 探究面面垂直中的线面垂直问题探究面面垂直中的线面垂直问题 面面垂直 线面垂直 线线平行 线面平行 线线平行 线面垂直 对几何对象 垂直关系的 “转化转化” 解决空间中几何元素位置关系转化时：解决空间中几何元素位置关系转化时： 归纳反思：归纳反思：
38、一、审题寻找思路的方法： 1. 直觉 源于是好的空间想象力和一定的解题经验的积累 2. 理性 根据目标和条件，在定理的结构图中调用相应的定理 图形语言图形语言 文字语言文字语言 符号语言符号语言 归纳反思：归纳反思： 解决空间中几何元素位置关系转化时：解决空间中几何元素位置关系转化时： 二、怎样理解和掌握定理？ 1.推导（前提是先弄清平行、垂直的相关概念） 2.明确定理间的结构关系 面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直 关键寻找或者构造经过已知垂线关键寻找或者构造经过已知垂线的的平面平面 线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直 关键在已知关键在已知平面平面中寻找两条相交直线与已知直线中寻找两条相交直线与
39、已知直线 垂直垂直 线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直 关键在一个关键在一个平面平面中寻找一条直线与两垂直平面中寻找一条直线与两垂直平面 的交线垂直的交线垂直 空间中垂直关系的本质即为空间中垂直关系的本质即为“面面”中垂直关系的分析中垂直关系的分析 归纳反思：归纳反思： 空间平行关系的典型例题解析（一） 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 问题背景 中 位 线 定 理 由线段中点的条件，你能得到什么结论呢？ 平行 传递性 线 线 平 行 在上述线线平行结论的基础上，我们又能得到哪些几何要素，及它们的位置关 系呢？ 线面位置关系：直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 如何进行逻辑推
40、理，严格证明线面平行呢？线面平行需要满足哪些条件呢 ？ 线线平行 线面平行 这两组线面平行能带来什么结论呢 ？ 寻找“面” 线面平行 线线平行 中点 线线平行线面平行 面面平行 如何由面面平行得到线线平行呢？ 空间平行关系的典型例题解析（三） 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 问题背景：四棱锥 平行的 传递性 问题背景：四棱锥 问题背景：四棱锥 线面平行的性质 问题背景：四棱锥 线线平行线面平行 线线平行线面平行 问题背景：四棱锥 问题背景：四棱锥 问题背景：四棱锥 中点 问题背景：四棱锥 面面平行线面平行线面平行线线平行 面面平行线面平行线面平行线线平行 中点 中点 中点 问题背景
41、：四棱锥 面面平行 线面平行 小结： 面面平行 线面平行 线线平行 空间中的平行关系基于“面”内平行关系的分析 探索构造“平面” 空间平行关系的典型例题解析（二） 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 问题背景：把一张长方形的纸对折，打开以后如图所示 平行的传递性线线平行 线面平行线线平行 线线平行线线平行 线面平行线线平行 假设存在 矛盾 线面平行 面面平行 矛盾 小结： 线线平行线面平行 关键寻找经过已知直线并和已知平面相交的平面 线面平行线线平行 关键在已知平面中寻找一条直线与已知直线平行 面面平行线面平行 关键在一个平面中寻找两条相交直线均与另一 个平面平行 空间中平行关系的本质
42、即为“面”中平行关系的分析 人教B版必修第四册 11.1空间几何体 初步探究四面体的展开与折叠问题 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 问题引入 四面体也叫三棱锥，是比较常见的几何 体. 问题引入 大家都知道，正四面体的一种表面展开图是正三角形， 但一般四面体的表面展开图不一定是三角形. 那么什么样的四面体，它的表面展开图可以恰好是一个三角形 呢？ 反之，什么样的三角形可以折成一个四面体呢？ 四面体的展开图可以是四边形吗？ 什么样的四边形可以折成四面体呢？ （注：本节课提到的四边形均指凸四边形） （注：本节课提到的展开图只是指从某一个顶点沿侧棱剪开得到的展开图， 折叠也是类似的限制）
43、问题引入 1 什么样的三角形可以折成四面体 ？ 2 什么样的四边形可以折成四面体 ？ 3 一张A4纸可以恰好折成四面体吗 ？ CONTENTS 目 录 什么样的三角形可以折成四面体 01 如果四面体展开图是三角形 问题1 如果四面体的展开图是三角形，那么该四面体的角有什么性质呢？ 如果四面体展开图是三角形 问题2 反之，如果四面体有三个顶点处的三面角之和均为180，那么其展开图就可以是三角形吗？ 如果四面体展开图是三角形 问题3 如果四面体的展开图是三角形，那么该四面体的边有什么性质呢？ 如果四面体三组对棱分别相等 问题4 反之，如果四面体三组对棱分别相等，那么其展开图就可以是三角形吗？ 综上
44、，四面体的表面展开图可以为三角形的充要条件是 四面体的三组对棱分别相等. 四面体展开图中的三角形一定是锐角三角形吗 ？ 问题5 若四面体的展开图是三角形，那么一定是锐角三角形吗？ 锐角三角形一定可以折成一个四面体吗？ 问题6 反之，锐角三角形一定可以折成一个四面体吗？ 1 什么样的三角形可以折成四面体 ？ 2 什么样的四边形可以折成四面体 ？ 3 一张A4纸可以恰好折成四面体吗 ？ CONTENTS 目 录 02 什么样的四边形可以折成四面体？ 如果四面体的展开图是四边形 问题1 如果四面体的表面展开图是四边形，那么该四面体的角有什么性质呢？ 如果四面体存在两个顶点处的三面角之和为180 问题
45、2 如果四面体有两个顶点处的三面角之和均为180，那么其展开图就可以是四边形吗？ 综上，四面体表面展开图为四边形的充要条件是 存在两个顶点上的三面角之和均为180. 四面体展开图为四边形 问题3 若四面体的展开图是四边形，那么该四边形有什么特征呢？ 满足上述条件的四边形可以折成四面体吗？ 问题4 反之，满足上述条件的四边形ABCD，一定可以折成四面体吗？ 1 什么样的三角形可以折成四面体 ？ 2 什么样的四边形可以折成四面体 ？ 3 一张A4纸可以恰好折成四面体吗 ？ CONTENTS 目 录 03 一张A4纸可以恰好折成四面体吗？ 用一张A4纸可以恰好折成一个四面体吗？ 展开与折叠问题是内容
46、非常丰富的问题，上面的结论只是在某些限制条件下得到的部分 结果. 还有很多的问题等待着大家去探究. 比如，如果没有刚才的限制，你可以用一张A4纸恰好折成一个四面体吗？ 1 什么样的三角形可以折成四面体 ？ 2 什么样的四边形可以折成四面体 ？ 3 一张A4纸可以恰好折成四面体吗 ？ 小结 人教B版必修第四册 11.1空间几何体 如何用平面图形直观表达立体图形 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 投影及其分类 一、投影法 在日常生活中，灯光和阳光照射物体时，会在地面、墙面上产生影子. 人们把这种投 影现象加以抽象，总结出投影理论，用以解决立体图形与平面图形的转化问题 . 二、分类 1.
47、中心投影 2. 平行投影 投射线汇交于一点(投影中心)的投影法叫 做中心投影法. 例如：电影、照相和人的眼睛 看物体都是中心投影现象. 若将投影中心移到离投影面无穷远处， 则所有的投射线相互平行，这种投射线相互 平行的投影方法，叫做平行投影法。 中心投影画法及其优缺点 如图1表示一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的 影子就是它在这个平面上的中心投影. 中心投影后的图形具有很强的立体感，看起来与人的视觉效果一致 ，最像原来的物体，所以画家常用中心投影的方法绘画（如图2），但 它的缺点是作图复杂和不能直接度量，因此在立体几何中很少用中心投 影原理来画图. 图1 图2 平行投影的性质 观
48、察图1中窗户的影子，容易观察到，当图中的直线或 线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质： （1）直线或线段的平行投影仍是直线或线段； （2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线； （3）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长. 如图2中，AB与AB，CD与CD都平行且相等. （4）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等 ； （5）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比仍 等于这两条线段的比. 如图3中，A M ：M B = AM：MB. 图1 图 3 图2 接下来要学习的三视图和斜二测 画法都是平行投影的重要应用. 1 三视图 2 斜二测画法 3 正等测画法 CO
49、NTENTS 目 录 三视图 01 三视图 初中我们已经学过用三视图来表示立体图形. 基本几何体的三视图 基本几何体的三视图 基本几何体的三视图 基本几何体的三视图 三视图的应用 下图所示是一个零件，我们可以画出这个几何体的三视图来表示它的基本信息. 三视图的应用 下图所示是一个奖杯的三视图，我们可以根据三视图提供的条件，还原它的相关信息. 三视图的优缺点 三视图能够准确地表达物体的形状，具有较好的度量性，绘图也比较简 单，因此被广泛应用于工程的设计及生产制造中. 但它缺乏立体感，不易想象出物体的形状. 接下来，我们学习轴测图. 轴测图的特点是富有立体感，因此生产上用 的图样经常将轴测图和三视图配合起来运用，以弥补三视图的缺点. 轴测图 下图显示了立方体在投影面上的轴测图. 为了使这种图便于度量和反映点在空间的确切位置， 首先在空间确定了三条互相垂直的坐标轴OX、OY、OZ. 并自O起在每条轴上标上刻度. 然后，按选定的投影方向，将各坐标轴连同物体一起投射到投影面上. 根据投影面上的坐标轴的刻度，就可以测量物体各个轴向的长度， 因此这种投影称为轴测图. 轴测图 在轴测图中，物体与任一坐标轴平行的长度均可按一定的比率来量度. 三轴向的 比率都相同时称为“等测投影”，其中两轴向比率相同时称为“二测投影”，三轴向比率均不相 同时称为“三测投影”. 轴测投影中投射线与投影面垂直的称为“正
