1、-1- 11.4.1直线与平面垂直 -2- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习 -3- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 一、直线与直线所成角 1.思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗? 提示:不一定.可能相交、平行或异面. (2)两条垂直的直线必相交吗? 提示:不一定.可能相交垂直,也可能异面垂直. -4- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2.填空 一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别 作与a,b平行或重合的直线a,b,则a与b所成角的大小,称为异
2、面直 线a与b所成角的大小. 为了方便起见,规定空间中两条平行直线所成角的大小为0,这样一 来,空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的.两条直线所成 的角也称为这两条直线的夹角.特别地,空间中两条直线l,m所成角 的大小为90时,称l与m垂直,记作lm. 显然,若ab且bc,则一定有ac. -5- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做一做 (1)设P是直线l外一定点,过点P且与l成30角的异面直线() A.有无数条B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 解析:我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线ll,以 l为轴,与l成30角的圆锥面的所
3、有母线都与l成30角. 答案:A -6- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与 A1B1所成角的余弦值为. 解析:设棱长为1,因为A1B1C1D1, 所以AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角. -7- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 二、直线与平面垂直 1.思考 如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平 面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的? 提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个 平
4、面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可 能在平面内. -8- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2.填空 (1)定义:直线l与平面垂直,指的是直线l与平面内过它们公共点的 所有直线都垂直. (2)充要条件:由空间中两条直线相互垂直的定义可知,直线l与平面 垂直的充要条件是直线l与平面内的任意直线都垂直.这可以用 符号表示为lm,l. (3)画法: 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示. -9- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做一做 (1)判断正误. 若直线l垂直于平面内任
5、意直线,则有l. ( ) 若直线l垂直于内的一个凸五边形的两条边,则有l. ( ) 垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ) 垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( ) 垂直于同一个平面的两条直线平行. ( ) 垂直于同一条直线的直线和平面平行. ( ) 答案: (2)直线l平面,直线m,则l与m不可能 ( ) A.平行 B.相交C.异面D.垂直 解析:直线l平面,l与相交, 又m,l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知lm. 故l与m不可能平行. 答案:A -10- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 三、直线与平面垂直的判定定理与推论 1.思考 (
6、1)世界上的高楼大厦太多了:中国台北的国际金融中心大厦高508 米(含天线),马来西亚吉隆坡的国家石油双子星座大厦高451.9米,中 国广州的中信广场大厦高391米(如图). 中信广场大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系? 提示:垂直. 每列玻璃形成的直线是什么位置关系? 提示:平行. -11- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (2)垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何? 答案:垂直于同一条直线的两个平面平行.已知:AA,AA,求 证:. 证明:如图所示,设经过直线AA的两个平面,分别与平面,相交于 直线b,b和a,a.因为AA,AA,所以A
7、Aa,AAa. 因为AA,a,a都在平面内. 所以aa,所以a(线面平行的判定定理). 同理b.又因为ab=A,所以. -12- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2.填空 (1)判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则 这条直线与这个平面垂直. (2)结论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一 条直线也垂直于这个平面. (3)直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面, 那么这两条直线平行. -13- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做一做 (1)一条直线分别垂直于一
8、个平面内的:三角形的两条边;梯形 的两条边;圆的两条直径;正六边形的两条边.其中不能保证该 直线与平面垂直的是 ( ) A. B. C. D. 解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而 中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直, 故选C. 答案:C -14- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E平面ABCD,F平面 A1B1C1D1,且EF平面ABCD.求证:EFAA1. 证明:AA1AB,AA1AD,且ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面 ABCD, AA1平面ABC
9、D. 又EF平面ABCD, EFAA1. -15- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 四、直线与平面所成的角 1.思考 斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥 梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体 系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体 内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由 索塔、主梁、斜拉索组成. -16- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (1)图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗? 提示:不同. (2)能用角
10、来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗? 提示:能. (3)直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间 角转化为平面角吗? 提示:能. -17- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2.填空 (1)定义:如果A是平面外一点,B是平面内一点,则AB时,AB是 平面的垂线段.类似地,如果C是平面内一点,且AC与不垂直,则 称AC是平面的斜线段(相应地,直线AC称为平面的斜线,称C为斜 足). 因为B为A在平面内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面内的 射影.特别地,ACB称为直线AC与平面所成的角. 结论:平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线. (
11、2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90;一条直 线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0.因此,直线 与平面所成的角的范围是 . -18- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做一做 (1)如图所示,若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍,则AB与 平面所成的角是() A.60B.45 C.30D.120 解析:ABO即斜线AB与平面所成的角,在RtAOB中,AB=2BO,所 以cosABO= ,即ABO=60. 答案:A -19- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (2)如图所示,三棱
12、锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=AB,则直线PB与平 面ABC所成的角等于. 解析:因为PA平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所 以PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在PAB 中,BAP=90,PA=AB,所以PBA=45,即直线PB与平面ABC所成 的角等于45. 答案:45 -20- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 直线与直线所成角直线与直线所成角 例1如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2 ,D,E分别为PC和AB 的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC所成角的大小.
13、 -21- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 解:如图,取AC的中点F,连接DF,EF, 在PAC中,D是PC的中点,F是AC的中点, DFPA,同理可得EFBC, DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角). 在DEF中,DE=3, DE2=DF2+EF2.DFE=90, 即异面直线PA与BC所成的角为90. -22- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 反思感悟求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角用平移法
14、,遇题设中有中点,常考 虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有 困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线. (2)求转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的 角. (3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090,则为所求; 若90180,则180-为所求. -23- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练1在四面体A-BCD中,AB=CD,AB与CD成30角,E,F分别是 BC,AD的中点,求EF和AB所成的角. 解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG. E,F
15、,G分别是BC,AD,BD的中点, EGF(或EGF的补角)为AB与CD所成的角, 即EGF=30或150. AB=CD,EG=GF, 故由等腰EGF知GFE=75或15. 而由FGAB知,GFE就是EF和AB所成的角. 所以EF和AB所成的角为75或15. -24- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 线面垂直的判定线面垂直的判定 例2如图所示,直角ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为 斜边AC的中点. (1)求证:SD平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD平面SAC. -25- 11.4.1
16、直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点, 所以SDAC. 则AD=DC=BD,又因为SB=SA,SD=SD, 所以ADS BDS.所以SDBD. 又ACBD=D,所以SD平面ABC. (2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BDAC. 又由(1)知SDBD, ACSD=D,所以BD平面SAC. 在RtABC中,连接BD. -26- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 反思感悟利用直线与平面垂直的判定定理判定直线
17、与平面垂直的 技巧 证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出 的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、 菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直 的方法. -27- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,DD1=2,P为DD1的中点.求证:直线PB1平面PAC. -28- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 线面垂直
18、性质定理的应用线面垂直性质定理的应用 例3如图,正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相 交.求证:EFBD1. -29- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD. 因为DD1平面ABCD,AC平面ABCD, 所以DD1AC. 又ACBD,DD1BD=D, 所以AC平面BDD1. 又BD1平面BDD1, 所以ACBD1. 同理可证BD1B1C. 又ACB1C=C,所以BD1平面AB1C. 因为EFAC,EFA1D,又A1DB1C, 所以EFB1C.又
19、ACB1C=C, 所以EF平面AB1C.所以EFBD1. -30- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N 是A1C的中点,MN平面A1DC. 求证:(1)MNAD1; (2)M是AB的中点. 证明:(1)因为四边形ADD1A1为正方形, 所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1, 所以CDAD1. 因为A1DCD=D,所以AD1平面A1DC. 又因为MN平面A1DC,所以MNAD1. -31- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课
20、堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 (2)如图,设AD1与A1D的交点为O,连接ON, 在A1DC中, A1O=OD,A1N=NC, 所以ONAM. 又因为MNOA, 所以四边形AMNO为平行四边形. 所以ON=AM. 所以M是AB的中点. -32- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 线面角线面角 例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求： (1)直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值; (2)直线A1B与平面BDD1B1所成的角. -33- 11.4.1直线与平面垂直 课前
21、篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 解:(1)直线A1A平面ABCD, A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角. (2)连接A1C1交B1D1于点O, 在正方形A1B1C1D1中,A1C1B1D1, BB1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1,BB1A1C1, 又BB1B1D1=B1, A1C1平面BDD1B1,垂足为点O. A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角, A1BO=30. 即A1B与平面BDD1B1所成的角为30. -34- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探
22、究三探究四思维辨析当堂检测 反思感悟求线面角的方法 求直线和平面所成角的步骤:寻找过斜线上一点与平面垂直的直 线;连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影 所成的锐角或直角即为所求的角;把该角归结在某个三角形中, 通过解三角形,求出该角. -35- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练4如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则 AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为() 解析:AA1平面A1B1C1D1, AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角,
23、 AA1=1,AB=BC=2,AC1=3, 答案:D -36- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 逻辑推理、数学运算在求解距离中的应用 典例如图所示,已知P为ABC外一点,PA,PB,PC两两垂 直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离. 思路分析作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段的长. -37- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 证明:过点P作PO平面ABC于点O,连接AO,BO,CO, 所以POOA,POOB,POOC.
24、 因为PA=PB=PC=a, 所以PAO PBO PCO. 所以OA=OB=OC,所以O为ABC的外心. 反思感悟求点到平面距离的基本步骤是:(1)找到或作出要求的距 离;(2)使所求距离在某一个三角形中;(3)在三角形中根据三角形的 边角关系求出距离. -38- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练5在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA平面ABCD,且PA=1,取 对角线BD上一点E,连接PE,PEDE,则PE的长为. 解析:如图所示,连接AE. 因为PA平面ABCD, BD平面ABCD, 所以PAB
25、D. 又因为BDPE,PAPE=P, 所以BD平面PAE,所以BDAE. -39- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 1.(多选题)直线l与平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面的关 系是() A.l和平面相互平行 B.l和平面相互垂直 C.l在平面内 D.l与平面相交且不垂直 解析:如图所示,直线l和平面相互平行,或直线l和平面相互垂直或 直线l在平面内，或直线l和平面相交且不垂直都有可能.故选 ABCD. 答案:ABCD -40- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探
26、究二探究三探究四思维辨析当堂检测 2.如图所示,若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍,则AB与平 面所成的角是() A.60B.45 C.30D.120 答案:A -41- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 3.如图所示,AB是O的直径,PA平面O,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则B到平面PAC的距离为. -42- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 解析:连接BC,因为 C为圆周上一点,AB为直径, 所以BCAC.
27、 又因为PA平面O,BC平面O, 所以PABC. 又因为PAAC=A, 所以BC平面PAC,点C为垂足, 所以BC即点B到平面PAC的距离. 在RtABC中, -43- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PCBD,则平行 四边形ABCD一定是. 解析:连接AC,BD,则AC与BD交于点O. PA平面ABCD, PABD. 又PCBD,PAPC=P,PA平面PAC,PC平面PAC BD平面PAC. 又AC平面PAC,BDAC, 又ABCD为平行四边形,ABCD为菱形. 答案:菱形 -44- 11.4.1直线与平面垂直 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:AC平面BDD1B1. 证明:BB1AB,BB1BC, BB1平面ABCD. 又AC平面ABCD,BB1AC. 又四边形ABCD是正方形,BDAC. 又BD平面BDD1B1,BB1平面BDD1B1, BB1BD=B, AC平面BDD1B1.
